1、 1 福建师大附中 2017-2018学年下学期期末考试 高二理科数学试卷 时间： 120分钟 满分： 150分 一、选择题（每小题 5分，共 60分；在 给出的 A,B,C,D 四个选项中，只有一项符合题目要求） 1.复数 (i为虚数单位 )的共轭复数是 （ ） A. 1+i B. 1?i C. ?1+i D. ?1?i 2 设随机变量 X 服从正态分布 2( , )N? ， 若 ( 4) ( 0)P x P x? ? ?， 则 ? （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 3.计算 ( ) A. 1 B C D 4. 函数 ? ? ln 2f x x x?的递减区间是（ ） A 10,2?B
2、 1,02?和 1,2? C 1,2?D 1,2?和 10,2?5 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件 A? 两次的点数均为奇数 ， B? 两次的点数之和小于 7 ，则 ? ?P BA ? （ ） A 13 B 49 C.59 D 23 6. 设 0p1，随机变量 的分布列是 0 1 2 P 则当 p在（ 0， 1）内增大时 ， ( ) A. D（ ）减小 B. D（ ）增大 C. D（ ）先减小后增大 D. D（ ）先增大后减小 7. 若 20182018102018)21( xaxaax ? ?)( Rx? , 则2018221 222 aaa ? ?的 值 为2 （ ） A 2 B 0
3、C -1 D -2Z。 8. 我 校校友 数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是 “ 每个大于 2的偶数可以表示为两个素数的和 ” ，如 在不超过 30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是 （ ） A. B. C. D. 9已知随机变量 X满足 5)1( ?E ， 5)1( ?D ，则下列说法正确的是（ ） A 5)(,5)( ? ? DE B 4)(,4)( ? ? DE C 5)(,5)( ? ? DE D 5)(,4)( ? ? DE 10. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个
4、班，则不同分法的种数为（ ） A. 18 B.24 C.30 D.36 11. 已知在 10 件产品中可能存在次品，从中抽取 2 件检查，其次品数为 ? ，已知? ? 161 45P ? ，且该产品的次品率不超过 40% ，则这 10 件产品的次品率为 （ ） A 10% B 20% C 30% D 40% 12. 已知函数 )3ln()( ? xexf x ,则下面对函数 )(xf 的描述正确的是（ ） A. 31)(),3( ? xfx B. 21)(),3( ? xfx C. 1)(),3( 00 ? xfx D. )1,0()( min ?xf 二、 填空题（每小题 5分，共 20分）
5、 13. 甲、乙两人各进行一次射击，假设两人击中目标的概率分别是 0.6和 0.7，且射击结果相互 独立，则甲、乙至多一人击中目标的概率为 _ 14. 从 1， 3， 5， 7， 9中任取 2个数字，从 0， 2， 4， 6中任取 2个数字，一共可以组成 _个没有重复数字的四位数 .(用数字作答 ). 15.若 55221032 )2()2()2()3( ? xaxaxaaxx ?，则 ?2a _ 16. 从装有 个球（其中 n个白球， 1个黑球 ）的口袋中取出 m个球（ ，3 共有 种取法 . 在这 种取法中，可以分成两类：一类是取出的 m个球全部为白球，共有 种取法；另一类是取出的 m个球
6、有 个白球和 1个黑球，共有 种取法 . 显然 mnmnmn CCCCC 111101 ? ? ,即 mnmnmn CCC 11 ? ? 成立 .试根据上述思想化简下列式子： _. 三、解答题（要求写出过程，共 60分） 17. (本小题满分 10分 ) 已知 nxxx )1( 3?展开式中奇数项的二项式系数和为 128 （）求展开式中二项式系数最大的项的系数； （）求展开式中的所有有理项 . 18.(本小题满分 10分 ) 已知曲线 1C ： tty tx (sin3 cos4? ? ?为参数 )， 曲线 2C ： 422 ?yx ( )在同一平面直角坐标系中，将曲线 2C 上的点按坐标变换
7、? ? yy xx 2后得到曲线 C? ， 求曲线 C? 的普通方程，并写出它的参数方程； ( )若 1C 上的点 P对应的参数为 t 2? ， Q为 C? 上的动点，求 PQ中点 M 到直线 3C ： tty tx (42? ? 为参数 )的距离的最 大 值 . 19. (本小 题满分 12分 ) 某幼儿园为训练孩子的数字运算能力，在一个盒子里装有标号为 1,2,3,4,5的卡片各 24 张，让孩子从盒子里任取 3张卡片，按 卡片上最大数字的 9倍计分，每张卡片被取出的可能性都相等，用 X表示取出的 3张卡片上的最大数字 . ( )求取出的 3张卡片上的数字互不相同的概率； ( )求随机变量
8、 x的分布列； ( )若孩子取出的卡片的计分超过 30 分就得到奖励，求孩子得到奖励的概率 . 20.(本小题满分 12分 ) 已知复数 iaaz )1(21 21 ?， iRaiaz ,()1(22 ? 是虚数单位） . （）若复数 21 zz? 在复平面内对应的点在第四象限，求实数 a 的取值范围； （）若虚数 1z 是实系数一元二次方程 044 2 ? mxx 的根，求实数 m 的值 . 21.(本小题满分 12分 ) 某轮胎集团有限公司生产的轮胎的宽度 (单位 : )服从正态分布 ,公司规定 :轮胎宽度不在 内将被退回生产部重新生 产 . ( )求此轮胎不被退回的概率 (结果精确到 )
9、； ( )现在该公司有一批轮胎需要进行初步质检 ,检验方案是从这批轮胎中任取 件作检验 ,这件产品中至少有 件不被退回生产部 ,则称这批轮胎初步质检合格 . (1)求这批轮胎初步质检合格的概率 ; (2)若质检部连续质检了 批轮胎 ,记 为这 批轮胎中初步质检合格的批数 ,求 的数学期望 . 附 :若 ,则 0.6826, P . 5 6 22.(本小题满分 14分 ) 设函数 ? ? ln mf x x x?， m R. ( )当 m e(e为自然对数的底 数 )时，求 f(x)的极小值； ( )讨论函数 ? ? ? ? 3xg x f x? 零 点的个数； ( )若对任意 b a 0， 1
10、f b f aba? ? ? ? ? 恒成立，求 m的取值范围 7 福建师大附中 2017-2018学年下学期期末考试卷 高二理科数学 选修 2-3参考答案 一、 1.B 2.B 3.A 4.C 5.D 6.D 7.C 8.C 9.D 10.C 11. B 12.B 二、 13. 0.58； 14. 1260； 15. 1； 16. mknC? . 三、 17. 解： 依题意得： 71 21282 ?n n=8 ( ) n=8 二项展开式共有 9项 二项式系数最大项为 5T ，其系数为 .7048 ?C （） 6111283881 )1()(rrrrrr xCxxxCT ? ?若 Zr? 61
11、1 且 80 ?r 60或?r 展开式中的有理项为 121 xT? 和 .28687 xxCT ? 18. 解 :（ ） 由? ? yy xx 2得到?yyxx 21 将 代入 422 ?yx ，得42x? 2y? 4，即162x?42y? 1. 因此圆 x2 y2 4 经伸缩变换后得到的曲线方程是162x42y 1. 它的参数方程为 ?(sin2cos4? ?yx为参数）， （） 当 2?t 时， P（ -4,4）， 设 Q（ ?cos4 , ?sin2 ） ,故 M(-2+2cos ， 2+sin ). 曲线 C3： (t为参数 )为直线 x-2y+8=0, M到 C3的距离 d= |(-
12、2+2cos )-2(2+sin )+8| = |2cos -2sin +2|= |1)4co s(2|5 52 ? ?从而 = )(24 Zkk ? ? 时 d 的最 大 值为 |12|552 ?=5 52102 ?. 8 19. 解：（）记“取出的 3张卡片上的数字互不相同”为事件 ， 则 ,即取出的 3张卡片上的数字互不相同的概率为 （）随机变量 的所有可能取值为 2， 3， 4， 5， 相应的概率为： ， ， ， ， 随机变量 的分布列为： 2 3 4 5 （） 从盒子里任取 3 张卡片，按卡片上最大数字的 9倍计分，所以要计分超过 30 分，随机变量 的取值应为 4或 5， 故所求概
13、率为 . 20. 解 ：（ ） iaaazz )(221 221 ?在第四象限 ?002212 aaa? ? ? 01 2,5.2 aaa 01 ? a . （） 1z 是实系数一元二次方程 044 2 ? mxx 的根 044 121 ? mzz 0)1(42 )1(824)1(4)2( 4 22222 ? ? iaaamaaa 0)1(42 )1(8 22 ? aaa且 024)1(4)2( 4 222 ? maaa 0?a 5?m . 9 21. 解： ( ) ， . ， 即此轮胎不被退回的概率为 ( )(1)这批轮胎初步质检合格的概率为 . (2)由题可得 服从二项分布 ， . 22.
14、 解： ( )由 题设，当 m e时， ? ? elnf x x x?，则 ? ?2exfx x? ， 当 x (0， e)， f( x) 0， f(x)在 (0， e)上单调递减， 当 x (e， )， f( x) 0， f(x)在 (e， )上单调递增， x e时， f(x)取得极小值 f(e) ln e ee 2， f(x)的极小值为 2. ( )由题设 ? ? ? ?2133x m xg x f x xx? ? ? ? ? ?(x 0)， 令 g(x) 0，得 313m x x? ? (x 0)， 设 )0(31)( 3 ? xxxx? ， 则 ( x) x2 1 (x 1)(x 1)
15、， 当 x (0,1)时， ( x) 0， (x)在 (0,1)上单调递增； 当 x (1， )时， ( x) 0， (x)在 (1， )上单调递减 x 1是 (x)的唯一极值点，且是极大值点，因此 x 1也是 (x)的最大值点， (x)的最大值为 2(1) 3? ? . 又 (0) 0，结合 y (x)的图像 (如图 )， 可知 10 当 23m? 时，函数 g(x)无零点； 当 23m? 时，函数 g(x)有且只有一个零点； 当 20 3m?时，函数 g(x)有两个零点； 当 m 0时，函数 g(x)有且只有一个零点 综上所述，当 23m? 时，函数 g(x)无零点； 当 23m? 或 m 0时，函数 g(x)有且只有一个零点； 当 20 3m?时，函数 g(x)有两个零点 ( )对任意的 b a 0， 1f b f aba? ? ? ? ? 恒成立， 等价于 f(b) b f(a) a（ *）恒成立 设 h(x) f(x) x ln x mx x(x 0)， (*)等价于 h(x)在 (0， )上单 调递减 由 ? ?21 10mhx xx? ? ? ?=在 (0， )恒成立， 得 m x2 x 21124x? ? ?(x 0)恒成立， 1 1 1= , 0 =4 4 2m m h x x? ? ? ?对 仅 在 时 成 立， m
