1、第一节 平面向量及其运算的坐标表示第二节 距离公式、斜率第三节 直线方程第四节 平面上两直线的位置关系第一节 平面向量及其运算的坐标表示 在第六章，我们学习了平面向量及其运算.现在学习用坐标表示平面向量及其运算.一、平面向量的坐标,a,bOP x,yOP 在给定的平面直角坐标系内,平面上的点和有序实数对之间可以建立一一对应关系.完全类似地,以原点 为始点,以平面上一点 为终点 可以得到惟一的一个向量.因此平面上的点和平面向量也可以建立一一对应关系,于是平面向量与有序实数对之间也可以建立一一对应关系.,.,.(?)P x,yOPP x,yx,yOPx yOPx,y 义 在给定的平面直角坐标系内,
2、对于平面内任意一点 向量 称为点 的位置向量 称做向量 的直角坐标称为坐标分量 由此可见,位置向量的坐标就是其终点坐标,可记为=零向量的直角坐标是什么 定1122,;设向量为实数.规定:x yxyab1212,8 1 xxyya+b11,82 xya=121283 x xy ya b=1122212,.1 已知是平面上两点 求向量的坐标P x yP xyPP例1122,OPPPOP 1如图8-1所示,12212212122211,.83,PPOPOPPPxx yyxy 1 所以所以在式中 如果则于是向量长度a=b,a a=a2211.84 xya,.(!)如果直线 与平面上一个非零向量平行 则
3、称向量 为直线 的.称为直线 的一组方向数,显然,如果是直线 的方向数,是非零常数,则,也是直线 的一组方向数直线的方向数不止一组lx ylx,ylx,ylxyl方向向量aa图8-1 例1解题图形Oxy111,P x y222,P xy解11222121,反之 如果是直线 的两个方向向量,则于是=x,y=x,ylxx yyabb=a,121222:8511即 或 xyxxyyxy85式实际上也是判断两个非零向量平行的充要条件.(!)在第六章,我们学习过两向量垂直的充要条件是:0零向量与任何向量都平行=.a b83:由式得1122,:平面上两向量垂直的充要条件是=x,y=x,yab2121 =0
4、.8-6 x xy y,1,1,cos.已知向量=2,-1求例2ababa,b 解2222215,112,2 1111.aba b110cos1052a ba,ba b,1,2,已知4,32,3求使=x,yxy例3a=b=cab+c.xyx+yxy 因为 2,3+24,3b+c=2=4所以 3+2=3x+yxy:5,6,解之得所以=5-6.xy abc解思考题：课堂练习题：习 题1.写出用向量坐标形式平行和垂直的充要条件.,2.写出的坐标 点和向量的书写形式有何不同?xye e :(1)1,0;(2)2,3.1.写出直角坐标系内下列各点对应的位置向量 xoyAB2.3,2,2,0,1,4,23
5、.abcabc 设求向量的坐标3.3,2,6,/,.abbyabby已知且求答 案答 案答 案答 案答 案第二节 距离公式、斜率一、两点间距离公式1122,A x,yB xyA BAB 设是平面上任意两点 两点间的距离实际上就是向量的长度.由式 8-4 及上节例1,我们可以得到两点间距离公式.22212187 d=ABxxyy 1221,0.A Bxy=y=,ABxx 特别地 当 两点都在 轴上时,1221,0,.当两点都在 轴上时A ByxxAByy 22,.平面上任一点到原点的距离P x yOPxy,2,1,21,1,21,:.已知333是的三个顶点 求证是等腰直角三角形ABCABCABC
6、 例1 2222112,112,ABAC .所以是等腰三角形ABC22222202,而又BCBCABAC 所以是等腰直角三角形.ABC证明二、线段中点坐标公式1122212121282,.,P x yP xyP x,yPPPP PPPPPP 1 如图所示,是平面上两点.是线段 的中点则向量 的长度 方向都相同 于是(与 可以看作是一个向量!)2211x-x,y-yx-x,y-y1212,288即=2 x+xyy xy1288 式也称做线段的点标PP中坐公式.图8-2 线段的中点Oxy,P x y111,P x y222,P xy,5,1,2,5.ABCABCABCD 三个顶点的坐标分别为 3,
7、7 求 边上中线 的长 例2.88:ABDx,y先求 边上中点 的坐标 由式得71354,322xy 87:再由式得22423510010.!两点间距离公式dCD 解,1,3,.ABAB 有一质量均匀的细棒,它的中点坐标是-5,1 端点 的坐标是求端点 的坐标 例3,88:Bx,y设端点 的坐标是由式得135,122xy .所以=-9,=5,即端点 的坐标为-9,5xyB解三、直线的倾斜角和斜率,x 上节介绍了用向量和实数对表示直线的方向 除了用方向向量或方向数之外,通常我们还用直线对 轴的倾斜程序来表示直线的方向.xxx 线倾 一条直线与 轴的位置关系,一般是相交的,在特殊情况下是与 轴平行
8、.当直线与 轴相交时,我们规定:1.直的斜角 1212,.xll 一条直线向上方向与x轴正向的夹角,指的是 轴按逆时针方向转动到这条直线时所成的最小正角.这个角称为这条线倾,简称倾.如图8-3 a 所示中的 分别是直线 和 的倾角直的斜角角 0,0.x 当直线与 轴平行或重合时,规定它的倾角为,如图8-3 b 所示.这样,每一条直线都有惟一确定的倾角,并且,如果 是一条直线的倾角 它的取值范围是 图8-3 直线的倾斜角(a)(b)Oxy1l2l12Oxy2.直线的斜率 直线倾角的正切称为直线的斜率.tan.kk用 表示,就是=,tan2当时的值不存在,这时,我们说直线的斜率不存在.,.kk 不
9、同的倾角 对应于不同的斜率 反之确定的斜率 对应于确定的倾角 利用三角函数表可以由直线的斜率查出倾角的度数.x 直线的倾角和斜率都是表示直线相对于 轴的倾斜程度的量.直线的斜率也可由直线的方向向量或方向数求得.121,0,.!0,0,y=x,ylxkxyylx ykxx2 设是直线 的方向向量 当时 直线的斜率可以看作直线 过和两点,即=a 求出下列两点所确定的直线的一个方向向量,及直线的斜率和倾角.例4(1)42,122,33.2ABk 向量就是直线的一个方向向量 :tan1.5,:5619;即查表得1(2)3,1,3 向量就是直线的一个方向向量.CDk 15tan.150.63 即所以或
10、0,当时 直线与 轴平行或重合 这时直线斜率不存在.xykk如果直线斜率为,易得 1,就是直线的一个方向向量.解习 题1.?直线的倾斜角大小有什么限制 斜率大小有什么限制是否有直线都有倾斜角 是否所有直线都有斜率?思考题：课堂练习题：,5 0,10 17,2.已知和的距离是求A aBa.1.2,0,5,3.AB求过两点的直线的斜率和倾斜角2.2,3,1,3,3,9?ABC三点共线吗答 案答 案答 案答 案第三节 直 线 方 程一、直线方程的概念,.y=kx+b klykxb 直线是平面曲线中最简单 最基本的一种图形.一次函数0 图像就是一条直线 函数 和直线之间具有以下关系(1),ykxbx
11、yl 以满足方程 的每一组 的值为坐标的点都在直线 上;(2),lx,yykxbx yykxb 直线 上的任何点的坐标都满足方程 即是方程 的解.ykxbl 这样,我们把 称为线 ,直线 称为 图直的方程方程的像.ly=kx+b二、直线的标准方程 平面上一条直线是由两个独立的条件决定的.因此，根据不同的条件，直线方程可以有不同的表示形式.利用直线与方程的这种关系.我们可以由直线的特征建立直线的方程.000,.a bP xy 已知一条直线的方向向量和直线上一点 求该直线的方程0000.,P x,yPPPxxyy 设 是直线上不同于 的任意一点也是直线的一个方向向量.由式 8-5 得0089 xx
12、yyab000,0,0.特别地 当0时,方程理解为当时 方程理解为a=xxbyy,23,20,6.1 求经过和两点的直线的方程PP例103,623,4.89,:PP 12 是直线的一个方向向量由式所求直线方程为3234xy 1122,一般地 过两点的直线方程为:x yxy1218 10121 -x-xyyxxyy218 10,?21 式称为线两点.(当或者时如何理解)xxyy直的式方程解把式(8-9)称为直线的标准方程.三、直线的点斜式方程0,abk=a 在直线的标准方程中,如果 则由直线的方向向量可求得直线的斜率0089,:这时式可化为 by-y=xxa00即 8-11y-y=k xx 式（
13、8-11）称为直线的点斜式方程.知道了一条直线的斜率和直线上一点，可以写出直线的点斜式方程.四、直线的斜截式方程0,0,8 11:在直线的点斜式方程中 如果 选取为直线与 轴的交点则式可化为Pyb 8-12ykxb8 12 式中的 是直线与 轴交点的纵坐标,称为直线的纵截距,简称截距.因为方程是由斜率和截距确定的,所以式 8-12称为线by直的斜截式方程.2,1,.3求过点3倾角为的直线方程例2 02,1,tan3,8 11,3:1,xykyx 0由已知条件3由式所求直线方程为33 即 203xy,.6求与 轴交于0,-2倾角为的直线方程yB例3 根据已知条件 得:3tan3b=k=-2;63
14、8 1223由式所求直线方程为 y=x解解习 题思考题：课堂练习题：1.直线斜率的两种形式,斜率不存在直线的位置是什么?2.直线与轴相交得横截距为纵截距为,这两交点坐标是什么?x,ya,b3.写出直线方程的斜截式与一般式.1.-2,3,.4已知直线过点倾斜角为求直线方程A42.0,3,.3求与 轴交于点且斜率是的直线一般方程yB答 案答 案答 案答 案答 案第四节 平面上两直线的位置关系一、点与直线的位置关系 我们知道，点与直线的位置关系有两种，一种是点在直线上，一种是点不在直线上.如果点在直线上，点的坐标满足直线方程.如果点不在直线上，这点的坐标就不满足直线方程.000000,Ax+By+C
15、=P xyP xyAx+By+C=d 当点不在直线上时,就会有如何计算点到直线的距离问题.如果已知直线 0 和直线外一点 那么点 到直线 0 的距离 可用下列公式计算00228 13=Ax+By+CdAB340.求点4,-2 到直线的距离Pxy例1由式 8-13 得解 223 442434d 0,.(!)对于给定的直线它把平面分成两部分可以按的符号划分AxByCAxByC000000000,00.CAxByCCxyAxByCCxyCAx+By+CAx+By+C 当 时 如果 与 同号 则点 与原点在直线的同一侧.如果 与 异号 则点 与原点在直线的异侧.因此,我们可以借助 的符号讨论一次不等式
16、 或 的区域问题(1)00C Ax+By+CAx+By+C 当0时,的区域是原点所在的直线的一侧,的区域是异于原点所在的直线的一侧.(2)000C 画出不等式 2-3+10 的区域.例2 C=因为 10,所以原点所在的直线的一侧即为所求的区域,如图8-4所示的斜线部分,不含边界.图8-4 例2的解题图形OxyO2310 xy 解,53,?MMMAMAMMA,BMM12121212某工厂生产 与 两种产品已知生产 1t 需用 种原料 2t,B 种原料 6t;生产 1t 需用 种原料 t,B 种原料 3t.又如 每吨价值4万元,每吨价值 万元 但所用原料 分别不能超过10t和18t.试求生产,两种
17、产品各多少吨时产值最大 例3 2,M Mxy1设两种产品分别生产 t和 t,则:18:2510;:63Ax+yBx+y,必须是非负的 即 0,0时.x yxy,43.这时,如果产值为万元则SSxy 解,85,.,43,:25100,631802.5,1,2.5,113A BSxySxyxyxyS 因为 的区域是图中阴影部分 包括边界上的点所以 在与这个区域有共同部分的直线中 最大的是过两直线交点的直线 也就是 当 时,取最大值.即 4 2.5+3 1 万元万元.22.5,1,13MM1 所以生产 t t时 产值最大 最大产值为万元.图8-5 例3的解题图形xyO6318xy2510 xy2.5
18、,14313xy二、平面上两直线的位置关系 从平面几何我们知道，平面上两直线的关系有相交、平行、重合.现在通过直线的方程来研究两直线的位置关系.1112222:0,:0.1两线点 已知直线 lAxB yClA xB yC 1.直的交 222,111显然 如果 与 相交 那么这个交点同时在 和 上 所以交点的坐标一定同时满足 与 的方程.即交点坐标是方程组llllll11122208 140 AxB yCA xB yC的解.2.,1 反之,以式 8-14 的任一解为坐标的点,必须同时在 和 上于是 我们可以根据方程组解的情况来讨论平面上两直线的位置关系:ll 如果式 8-14 有惟一解,此时两直
19、线相交,所求的解就是交点坐标;,如果式 8-14 无解 此时 两直线无公共点 即两直线平行;如果式 8-14 有无穷多组解,则两直线重合.:2370,:4530.12 求下列两直线的交点.lxylxy例4 解方程组:解2370,.4530得 2,-1,即 所求交点为 2,-1xyx=y=xy 2.两直线的相交、平行与重合 根据方程组的理论，对于方程组（8-14），1122,当时ABAB有惟一解;111222,当时ABCABC.无解111222,当时ABCABC有无穷多组解.于是,我们可以得到:111222:0:0.(?)lAxB yClA xB yC12 对于两直线 和 如何用斜率判断两直线的
20、位置关系1122,当时ABAB相交;111222,当时ABCABC;平行111222,当时ABCABC.重合(1)(2)(3)x y+x+yxyxyxyxy判断下列各组直线的位置关系.-5=0与-5=0;2-3-7=0与4-6+3=0;-2+3=0与2-4+6=0;例5 解1(1),;11 因为所以两直线相交137(2),632 因为所以两直线平行;423(3),.461 因为所以两直线重合23.两直线的夹角 12,.是平面上两条直线 如果它们不平行,不重合,则它们一定相交,这时两直线构成四个角 图8-6l l1212,llll 我们将其中负称为两直线 与 的夹角 如果 与 平行或重合,我们规
21、定它们的夹为不大于直角的非角角零.11112222:0,:0,lAxB yClA xB yC 是平面上两条直线设它们的夹角为,可以证明:121222221122cos,02A A+B BABAB=式（8-15）称为两直线的夹角公式.8-15xyO图8-6 两直线的夹角2l1l如果直线方程都是点斜式或斜截式111222:,:8 16 lyk xb lyk xb120,?当1+时k k式（8-16）也可化为12211212tan,02 8-17ABA BA AB B12120,?当时A AB B2:2100:3201求两直线与的夹角.lxylxy 例6 由式 8-15 得解一22221 32112
22、cos0.14142,105 21231 1arccos8152.5 2所以 由式 8-17 得解二37,1 3211 1-2tan=arctan78152.所以4.两直线的垂直,.28 15:如果两直线的夹角=则称两直线是垂直的由两直线夹角公式知1212cos0,08 18即 A AB B1212,0,28 18.反之 由也可判断两直线夹角为所以可用式判断两直线是否垂直A AB B12120,由可得A AB B12121112 或 AAk kBB :,即 两条相互垂直的直线 它们的斜率互为负倒数.12l,l 已知直线 的方程分别为例7 AxyxyA-3+1=0和6-4+1=0.当 取什么值时
23、,两直线垂直.,6120,2.AA 由式 8-18如果两直线垂直 则即 当=-2时,两直线垂直.A 一般地,如果直线的一般式方程为=0,则直线-=0与它垂直.Ax+By+CBx Ay+D2330,.Pxy 一直线过点 3,2 且垂直于直线求它的方程例8xy DP设所求直线方程3-2+=0,将 点坐标代入,得:3 32 20,5.DD 3250.所求直线方程为 xy解解5.两平行直线间的距离,如果两条直线平行 我们可以把两直线的方程化为:122:0:0,.1和这时 我们可以求出这两条平行直线间的距离lAxByClAxByC001,.:设是直线 上一点则P xyl0010010,.即AxByCAx
24、ByC 0022,1 点到 的距离 就是两平行直线 与 之间的距离.由式 8-13P xyldll0022122228 19 AxByCCCdABAB式（8-19）也称为两平行直线间的距离公式.2:34100,340.lxylxy1求两平行直线:间的距离例9:由式 8-19 得220 10234d解习 题思考题：课堂练习题：1.?平面上两直线间的位置关系有哪些2.?怎么利用系数判断两直线位置关系1.:230 32,.已知两直线和求它们的夹角xyxy2.,21640.(1);(2);(3).ACAxyxyc当 及 取何值时 直线和有 一个公共点 平行 重合3.348 34140 求两平行直线和间
25、的距离?xyxy121212 ,?4.设直线与都不平行于轴如何利用斜率判断平行和垂直 若两条线中之一条平行轴 当/时 两直线方程有何特点llyyll ll答 案答 案答 案答 案答 案答 案答 案 部 分思考题解答：11221.,.若ax ybxy11221122/0,.即xyabx yx yxy12120abx xy y返 回思考题解答：2.10,1,0.xxyxeeee即01,0,1,3,4,3,4.yxyyeeeeAa即点坐标向量返 回课堂练习题解答：1.(1)0;xyxOAeee =-1(2)323.xyxyOBeeeee =2 为基底返 回课堂练习题解答：2.232 323,2203
26、 411,16.abc 返 回课堂练习题解答：3./,ab 32 612.by4.by返 回思考题解答：1.0,;,;,;2.k直线倾斜角取值范围是斜率 可正 可负 也可为零 当倾斜角是时 直线斜率不存在 每一条直线都有唯一确定的倾斜角返 回思考题解答：22152.17,0a 0-264a 8.a 返 回课堂练习题解答：0331.1,tan1,.254k 斜率于是3,.4所以 这条直线的斜率是-1,倾斜角是返 回课堂练习题解答：33392.6,6.2 123,.ABACkkAA B C 因为 斜率相等且又共点所以三点在同一直线上返 回思考题解答：1.:tan,k直线斜率公式 已知倾斜角,211
27、1222121,0.yyA x yB xykxxxx已知两点 返 回思考题解答：2.:,0,0,.ab这两点坐标分别为返 回思考题解答：3.:,.斜截式为纵截距ykxb b:0,.AxByCA B直线一般式 其中不全为零返 回课堂练习题解答：1.2,3,tan1.4xyk 由已知 32,50.yxxy 即所求直线方程:返 回课堂练习题解答：442.,3033kyx 由所给条件,4390.xy即所求直线方程:返 回思考题解答：1.有相交(含垂直)、平行、重合三种.返 回思考题解答：1112222.00AxB yCA xB yC对于两直线和1111122222111222;ABABCABABCAB
28、CABC当时两线相交 当时两线平行当时两线重合.返 回课堂练习题解答：121.2,3.kk 由已知两直线斜率分别是212132tan1.11 3 2kkk k 即它们的夹角是4返 回课堂练习题解答：22.(1)3.64AA 有一个公共点是两直线相交.21(2)32.64AACC 平行有但21(3)32.64AACC 重合有但返 回课堂练习题解答：3.34800,234140.xyPPxy在直线上任取一点则两平行线间的距离就是点 到直线的距离223 04 2 146.534d 返 回课堂练习题解答：1212121212124./,1;/,:.llkkllk kyllxa llybxa 由已知则有:两直线斜率两直线若两直线中有一条平行 轴则时 直线方程为时直线方程为和返 回
