1、 1 高二第二学期期末考试数学（理科）试卷 一、选择题 (本大题共 12小题，共 60分 ) 1.已知集合 M=x|x 2， ? ? 313| xxN，则 MN= （ ） A.? B.x|-1 x 2 C.x|0 x 2 D.x|1 x 2 2.已知集合 M=y| 12 ? xy ， P=x| 12 ? xy ，则集合 M与 P的关系是（ ） A. PM? B. MP? C.M?P D.P?M 3.下命题中正确的（ ） A.若命题 p为真命题，命题 q为假命题，则命题 “ p q” 为真命题 B.命题 “ 若 xy=0，则 x=0” 的否命题为： “ 若 xy=0，则 x0” C.“ 21si
2、n ? ” 是 “ 6? ” 的充分不必要条件 D.命题 “ 02, ? xRx ” 的否定是 “ 02, 00 ? xRx ” 4.“ 131 ?x ” 是 “ 11?x ” 的（ ） A.必要且不充分条件 B.充分且不必要条件 C.充要条件 D.既非充分也非 必要条件 5.已知函数 f（ x） =? ? ? )0(),3( )0(,2 xxf xx ，则 f（ 5） =（ ） A.32 B.16 C.21 D.321 6.下列函数中，既是偶函数又在（ - ， 0）内为增函数的是（ ） A. xy )21(? B. 2?xy C. 12 ?xy D. )(log3 xy ? 7.函数|ln2
3、2x xxy?的图象大致是（ ） A. B. 2 C. D. 8.定义在 R上的偶函数 f（ x）满足 )()3( xfxf ? ，对 3,0, 21 ? xx 且 21 xx? ，都有0)()( 21 21 ? xx xfxf ，则有（ ） A. )81()64()49( fff ? B. )64()81()49( fff ? C. )81()49()64( fff ? D. )49()81()64( fff ? 9.设 3.0lo g,5lo g,2,3.0 223.02 ? dcba ，则 a， b， c， d的大小关系是（ ） A. cabd ? B. cbad ? C. adcb ?
4、 D. acdb ? 10.已知函数 )(xfy? 在定义域（ -1， 1）上是减函数，且 )1()12( afaf ? ，则实数 a的取值范围是（ ） A. ),32( ? B. )1,32( C. )2,0( D. ),0( ? 11.若函数 f（ x） =2x2-lnx 在其定义域内的一个子区间 k-1， k+1内不是单调函数，则实数 k的取值范围是（ ） A.1， 2） B.（ 1， 2） C. ? 23,1D. ? 23,112.若函数?1,3410,lo g)(2 21xxxxxxf ，函数 kxxfxg ? )()( 有两个零点，则 k的值是（ ） A.0或 324? B. 32
5、4? C.0 D. 324? 二、填空题 (本大题共 4小题，共 20分 ) 13.计算： ? ?11 2 )s in12( dxxx_ 14.函数1)( 2? xxxf的单调递减区间是 _ 3 15.已知函数? ? ? 2,2 2,64)( 2 xaxx xxxf是 R上的增函数，则实数 a的取值范围 _ 16.设函数 )(/ xf 是奇函数 )( Rxxf ? 的导函数 ， f（ -1） =0，当 x 0时， 0)()(/ ? xfxxf 成立，则 0)( ?xf 的 x的取值范围是 _ 三、解答题 (本大题共 6小题，共 70分 ) 17.已知数列 an的前 n项和为 32, ? nnn
6、 aSS （ ）求数列 ?na 的通项公式； （ ）求数列 ? ?nna 的前 n项和 Tn 18.在 ABC 中，角 A、 B、 C的对边分别是 a、 b、 c， 且满足 0co sco s)2( ? CaAcb （ 1）求角 A （ 2）若边长 3?a ，且 ABC 的面积是433，求边长 b及 c 4 19.如图，直二面角 D-AB-E 中，四边形 ABCD是正方形， AE=EB， F为 CE上的点，且 BF 平面 ACE （ 1）求证： AE 平面 BCE； （ 2）求二面角 B-AC-E的余弦值 20.如图是从成 都某中学参加高三体育考试的学生中抽出的 40名学生体育成绩（均为整数）
7、的频率分布直方图，该直方图恰好缺少了成绩在区间 70， 80）内的图形，根据图形的信息，回答下列问题： （ 1）求成绩在区间 70， 80）内的频率，并补全这个频率分布直方图，并估计这次考试的及格率（ 60分及以上为及格）； （ 2）从成绩 在 80， 100内的学生中选出三人，记在 90分以上（含 90分）的人数为 X，求 X的分布列及数学期望 21.已知函数 xaexxf ? ln1)( （ ）若曲线 y=f（ x）在 x=1处的切线与 x轴平行，求实数 a的值； （ ）若对任意 x （ 0， + ），不等式 f（ x） 0 恒成立，求实数 a的取值范围 5 22.在平面直角坐标系 xOy
8、中，圆 C的参数方程为? ? ?sin4cos4yx（ 为参数），直线 l经过点 P（ 1，2），倾斜角 6? （ 1）求直线 l的参数方程； （ 2）设直线 l与圆 C相交于 A， B两点，求 |PA|?|PB|的值 6 成安一中高二第二学期期末考试数学（理科） 答案 1.B 2.C 3.D 4.A 5.C 6.B 7.D 8.A 9.B 10.B 11.D 12.A 13. 14.0， 1），（ 1， 2 15.（ - ， 616.（ - ， -1） （ 0， 1） 17.解：（ ）由 Sn=2an-3， 得 a1=3， Sn-1=2an-1-3（ n2 ）， - ，得 an=2an-2a
9、n-1，即 an=2an-1（ n2 ， nN ）， 所以数列 an是以 3为首项， 2为公比的等比数列， 所以 （ nN* ） （ ） ， ， 作差得 ， （ nN* ） 18.解：（ 1） ABC 中， （ 2b-c） cosA-acosC=0， 由正弦定理得（ 2sinB-sinC） cosA-sinAcosC=0，-（ 2分） 2 sinBcosA=sin（ A+C） =sinB， -（ 4分） sinB0 ， 2 cosA=1， cosA=0.5， A=60 -（ 6分） （ 2）由 ABC 的面积是 = ， bc=3 再由 a2=b2+c2-2bc?cosA，可得 b2+c2=6
10、解得 b=c= 19.证明：（ 1） BF 平面 ACE BFAE? （ 2分） 二面角 D-AB-E为直二面角，且 CBAB ， CB 平面 ABE CBAE? （ 4分） AE 平面 BCE ? （ 6分） 解：（ 2）连接 BD 与 AC交于 G，连接 FG，设正方形 ABCD的边长为 2， BGAC ， BG= ， ? （ 7分） BF 垂直于平面 ACE，由三垂线定理逆定理得 FGAC BGF 是二面角 B-AC-E的平面角 ? （ 9分） 7 由（ 1） AE 平面 BCE，得 AEEB ， AE=EB ， BE= 在 RtBCE 中， EC= = ， ? （ 10 分） 由等面积
11、法求得 ， 则 在 RtBFG 中， 故二面角 B-AC-E的余弦值为 ? （ 14 分） 20.解：（ 1）根据各组的频率和等于 1知， 成绩在 70， 80）内的频率为： f4=1-（ 0.012+0.015+0.020+0.005 ） 10=0.4 ， 对应的 小矩形的高为 =0.04， 补全 频率分布直方图如图所示； 依题意， 60 分及以上的分数在第三、四、五、六段， 故其频率和为（ 0.02+0.04+0.01+0.005） 10=0.75 ， 估计学生成绩的及格率是 75%； （ 2）成绩在 80， 100内的人数为（ 0.01+0.005） 1040=6 ， 且在 80， 90
12、）和 90， 100）内的人数分别为 4人和 2 人； X 的可能取值为 0、 1、 2， 计算 P（ X=0） = = ， P（ X=1） = = ， P（ X=2） = = ， X 的分布列为 ： X 0 1 2 P 8 数学期望为 E（ X） =0 +1 +2 =1 21.解：（ ） f（ x） =1+lnx-aex， f （ x） = -aex， x （ 0， + ） 由于曲线 y=f（ x）在 x=1处的切线与 x轴平行， f （ 1） =1-ae=0， 解得 ， （ ）由条件知对任意 x （ 0， + ），不等式 f（ x） 0 恒成立， 此命题等价于 a 对任意 x （ 0， +
13、 ）恒成立 令 ， x （ 0， + ） = （ -1-lnx）， x （ 0， + ） 令 g（ x） =（ -1-lnx）， x （ 0， + ） 则 g （ x） =- - 0 函数 g（ x）在 x （ 0， + ）上单调递减 注意到 g（ 1） =0，即 x=1是 g（ x）的零点， 而当 x （ 0， 1）时， g（ x） 0；当 x （ 1， + ）时， g（ x） 0 又 ex 0，所以当 （ 0， 1）时， h （ x） 0；当 x （ 1， + ）时， h （ x） 0 则当 x变化时， h （ x）的变化情况如下表： x （ 0， 1） 1 （ 1， + ） h （ x） + 0 - h（ x） 极大值 因此，函数 h（ x）在 x （ 0， + ），取得最 大值 ，所以实数 a 22.解：（ 1） 直线 l经过点 P（ 1， 2），倾斜角 ，（ t为参数） （ 2） 圆 C的参数方程为 （ 为参数）， 9 圆 C的直角坐标方程为 x2+y2=16， 把直线的方程 代入 x2+y2=16， 得 t2+（ 2+ ） t-11=0， 设 t1， t2是方程的两个实根，则 t1t2=-11， 则 |PA|?|PB|=|t1t2|=11
