1、 1 2016-2017 学年度下学期期末高二年级文科数学试题 （ 考试时间： 120分钟 分值： 150分） 第 卷 （选择题 共 52分） 一、选择题：本大题共 13 小题，每小题 4 分，共 52 分 。 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.复数 2 2(1 ) 1i i? 的共轭复数是（ ） A 1i? B 1i? C 1i? D 1i? 2.已知集合 ? ?| | 2A x R x? ? ?， ? ?2| 2 0B x R x x? ? ? ? ?，则下列结论正确的是（ ） A RBA ? B ?BA? C ?BA? D ?BA? 3.平面向量 a 与 b 的夹
2、角为 60? ， a =(2,0)， 1?b ，则 ? ba 2 （ ） A 6 B 23 C 36 D 12 4.已知 2cos sin4?，则 sin2? 的值为（ ） A.78 B.18 C. 18? D. 78? 5.已知实数 x ， y 满足 3232 3 1 0yxyxy?，则 z x y? 的取值范围为（ ） A.? ?0,3 B.? ?3,7 C.? ?2,0 D.? ?2,7 6.已知 0,2x ?， :sinp x x ， 2:sinq x x ，则 p 是 q 的（ ） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.某几何体的三视图如
3、图所示，则该几何体的表面积为（ ） A. 40 12? B 36 12? C 36 16? D 40 16? 8. 定义在 R 上的函数 ?fx满足? ? ? ? ?2lo g 8 , 01 , 0xxfx f x x? ? ? ，则 ?3f ? （ ） A 2 B. 2log9 C 3 D 2log7 9.已知圆 22:4C x y?，直线 :l y x? ，则圆 C 上任取一点 A 到直线 l 的距离小于 1的概率为（ ） A 34 B 13 C 23 D. 12 10.已 知三棱锥 A BCD? 的 四个顶点 A 、 B 、 C 、 D 都 在球 O 的 表面上， BC CD? ， AC
4、? 平面 BCD ， 且22AC? ， 2BC CD?， 则球 O 的 表面积为（ ） A.16? B.4? C.8? D.22? 11.已 知抛物线 2:4C y x? 的 焦点为 F ， 准线为 l ， 过点 F 的 直线交抛物线 于 A 、 B 两点 （ A 在 第一象限），过点 A 作准 线 l 的垂 线，垂足为 E ， 若 60AFE? ? ? ， 则 AFE 的 面积为（ ） A.23 B.433C.43 D.23312.已 知函数 ? ? ? ?sinf x A x?的 部分图象如图所示，点 B 、 C 是 该图象与 x 轴 的交点，过点 C 的直线与该 图象交于 D 、 E 两
5、点， 则? ? ? ?CEBEBEBD ? 的值为 （ ） 2 A. 1? B.2 C. 12?D.1213.已 知 函数 ?fx是 定义在 ? ? ? ?,0 0,? ?上 的偶函数，当 0x? 时， ? ? ?12 1, 0 21 2 , 22x xfx f x x? ? ? ? ? ?，则 函数? ? ? ?21g x f x?的 零点个数为（ ）个 A.2 B.4 C.8 D.6 第 卷（非选择题，共 98分） 二、填空题：本大 题共 4小题，每小题 4分，共 16分。把答案直接答在答题纸上。 14.某校有男教师 80 人，女教师 100 人现按男、女比例采用分层抽样的方法从该校教师中
6、抽 取 x 人参加教师代表大会，若抽到男教师 12人，则 x? _. 15.已知函数 ?fx为偶函数，当 0x 时， ? ? lnf x x x x?，则曲线 ? ?y f x? 在点 ? ? ?,e f e?处的切线方程为 _. 16.已 知数列 ?na 的 前 n 项 和为 nS ， 若 ? ?1 1 nnna a n? ? ? ?， 则 40S? 17.设函数 ()y f x? 图象上不同两点 11( , )Ax y ， 22( , )Bx y 处的切线的斜率分别是 Ak ， Bk ，规定|( , ) |ABkkAB AB? ? （ |AB 为线段 AB 的长度）叫做曲线 ()y f x
7、? 在点 A 与点 B 之间的“弯曲度”，给出以下命题： 函数 3yx? 图象上两点 A 与 B 的横坐标分别为 1和 1? ，则 ( , ) 0AB? ? ； 存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数； 设点 A ， B 是抛物线 2 1yx?上不同的两点，则 ( , ) 2AB? ? ； 设曲线 xye? （ e 是自然对数的底数）上不同两点 11( , )Ax y ， 22( , )Bx y ，则 ( , ) 1AB? ? 其中真命题的序号为 （将所有真命题的序号都填上） 三、解答题：本大题共 7小题，共 82 分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18.在 ABC
8、 中 ，2 cos 2 3 4 cosAA? . （ 1） 求角 A 的 大小； （ 2） 若 2a? ， 求 ABC 的 周长 l 的 取值范围 . 19 已知数列 ?na 中， 1 1a? ， ? ?*1 3nn naa n Na? ? (1)求证： 112na?是等比数列，并求 ?na的通 项公式 na ； (2)数列 ?nb 满足 ? ?31 2nnnnnba? ? ? ?，求数列 ?nb 的前 n 项和为 nT 20. 累积净化量（ CCM） ” 是空气净化器质量的一个重要衡量指标，它是指空气净化器从开始使用到净化效率为 50%时对颗粒物的累积净化量，以克表示，根据 GB/T1880
9、1-2015空气 净化器国家标准，对空气净化器的累计净化量（ CCM） 有如下等级划分： 累积 净化量（ 克 ） ? ?35， ? ?58， ? ?812， 12以 上 等级 P1 P2 P3 P4 为 了 了解 一批空气净化器（共 2000台 ）的质量，随机抽取 n 台机器作为样本进行估计，已知这 n 台 机器的累积净化量分 布 在区间 ? ?4,14 中 ，按 照 ? ?4,6 ， ? ?6,8 ， ? ?8,10 ， ? ?10,12 ， ? ?12,14均匀 分组，其中累积净化 量 在 ? ?4,6 的 所有 数据 有： 4.5 ，4.6 ， 5.2 ， 5.3 ， 5.7 和 5.9
10、 ， 并绘制了如下频率分布直方图： （ 1） 求 n 的 值及频率分布直方图中的 x 值 ； （ 2） 以样本估计总体，试估计这批空气净化器（共 2000台 ）3 中等级为 P2的 空气净化器有多少台？ （ 3） 从累积净化量在 ? ?4,6 的 样本中随机抽取 2台 ，求恰好有 1台 等级为 P2的 概率 . 21. 已知 在四棱锥 P ABCD? 中 ，底面 ABCD 是 矩形，且 2AD? ， 1AB? ， PA? 平面 ABCD ， E ， F 分别 是线段 AB ， BC 的 中点 . （ 1）证明 ： PF FD? ； （ 2）若 1PA? ， 求点 E 到 平面 PFD 的 距离
11、 . 22. 已知动圆 M 恒过点 ? ?0,1 ，且与直线 1y? 相切 （ 1）求圆心 M 的轨迹方程 ； （ 2）动直线 l 过点 ? ?0, 2P ? ，且与点 M 的轨迹交于 AB、 两点，点 C 与点 B 关于 y 轴对称，求证：直线AC 恒过定点 23. 函数 11( ) ln 2f x x x? ? ?， 2211() 22xg x e x a x a? ? ? ?（ e 是自然对数的底数， aR? ） （）求证： 2 1| ( ) | ( 1) 2f x x? ? ? ?； （）已知 ?x 表示不超过 x 的最大整数，如 ? ?1.9 1? ， ? ?2.1 3? ? ，若对
12、任意 1 0x? ，都存在 2 0x? ，使得 ? ?12( ) ( )g x f x? 成立，求实数 a 的取值范围 24.设函数 ( ) | |f x x a?（ 0a? ） （）证明： 1( ) ( ) 2f x f x? ? ?； （）若不等式 1( ) (2 ) 2f x f x?的解集非空，求 a 的取值范围 河北冀州中学 2016-2017学年度下学期期末 高二年级文科数 学试题答案 4 一、选择题 A 卷： ADCCB BCADC ADA B 卷： CCBAD AACBA CBD 二、填空题 14.27 15.y=x-e 16.420 17. 三、解答题 18.（ 1） 因为
13、2 cos 2 3 4 cosAA? ， 所以 2 12 cos 2 cos2AA?， 所 以 24 cos 4 cos 1 0AA? ? ?， 所以 1cos2A?， 又因为 0 A ? ， 所以3A?. （ 2） 因为sin sin sina b cA B C?，3A?， 2a? ， 所 以 4 sin3bB?， 4 sin3cC?， 所以 ? ?42 2 s in s in3l b c B C? ? ? ? ? ?， 因为 23BC?，所 以 42 s i n s i n 2 s i n363l B B B? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 又 因为
14、 203B ?， 所以 1 sin 126B ? ? ?， 所以 ? ?4,6l? . 19.(1)证明：由 ? ?1 *3nn naa n Na? ?，得13131nn n naa a a? ? ?， 11 1 1 1322nnaa? ? ? ?所以数列 112na?是以 3为公比，以11 1 322a? 为首项的等比数列，从而 11 1 3 232 2 3 1n n nn aa ? ? ? ? ? ?； (2) ? ?1 0 1 2 2 11 1 1 1 11 2 3 12 2 2 2 2 2nn n n nnb T n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1
15、2 11 1 1 11 2 12 2 2 2 2n nnT nn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 两式相减得： 0 1 2 11 1 1 1 1 222 2 2 2 2 2 2n n n nT nn? ? ? ? ? ? ? ? ? ?124 2n nnT ? ? ?20.（ 1） 因为 ? ?4,6 之间 的数据一共有 6个 ， 再 由频率分布直方图可知： 落在 ? ?4,6 之间 的频率为 0.03 2 0.06? .因此 ： 6 1000.06n?.? ?0 .0 3 0 .1 2 0 .1 4 0 .1 5 2 1x? ? ? ? ? ?， 0.06x? . （ 2） 由频率
16、分布直方图可 知 ：落在 ? ?6,8 之间 共： 0.12 2 100 24? ? ? 台 ， 又 因为在 ? ?5,6 之间 共 4台 ， 落在 ? ?5,8 之间 共 28 台 .故 ，这批空气净化器等级为 P2的 空气净化器共有 560台 . （ 3）设 “ 恰好 有 1台 等级为 P2“ 为事件 B ， 依 题意，落在 ? ?4,6 之间 共有 6台 ，记为： 1 2 3 4 5 6, , , , ,A A A A A A， 属于国 标 2P 级 有 4台 ， 我 们记为： 3456, , ,A A A A ，则 从 ? ?4,6 中 随机抽取 2个 ， 所有可能的结果有 15 种
17、，它们是： ? ?12,AA ， ? ?13,AA ， ? ?14,AA ， ? ?15,AA ， ? ?16,AA ， ? ?23,AA ， ? ?24,AA ， ? ?25,AA ， ? ?26,AA ， ? ?34,AA ， ? ?35,AA ， ? ?36,AA ， ? ?45,AA ， ? ?46,AA ， ? ?56,AA ， 而 事件 B 的 结果有 8 种 ， 它们是： ? ?13,AA ， ? ?14,AA ， ? ?15,AA ， ? ?16,AA ， ? ?23,AA ， ? ?24,AA ， ? ?25,AA ，5 ? ?26,AA ，因此 事件 B 的 概率为 ? ?
18、 815PB? . 21 证明 ：（ 1）连接 AF ， 则 2AF? ， 2DF? ， 又2AD? ， 2 2 2DF AF AD?， DF AF? ， 又 PA? 平面 ABCD ， DF PA? ， 又 PA AF A? ， DF? 平面 PAF ， 又 PF? 平面 PAF ， DF PF? . （ 2） 53244E F D A D E B E F C D FA B C DQ S S S S S? ? ? ? ? ? ? 平 面， 1 1 3 113 3 4 4P E F D E F DV S P A? ? ? ? ? ? ?， E PFD P EFDQV V? ， 1 1 6 13 3 2 4E P F D P F DV S h h? ? ? ? ， 解得 64h?， 即 点 E 到 平面 PFD 的 距离为 64. 22 解：（ 1）动点 M 到直线 1y? 的距离等于到定点 ? ?0,1C 的距离， 动点 M 的轨迹为抛物线，且12p? ，解得 ： 2p? ， 动点 M 的轨迹 方程为 2 4xy
