1、12.3 角的平分线的性质角的平分线的性质第第2课时课时 角平分线的判定角平分线的判定R八年级上册八年级上册我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，反过来，到角的两边的距离相等的点离相等，反过来，到角的两边的距离相等的点是否在这个角的平分线上呢？这节课我们来对是否在这个角的平分线上呢？这节课我们来对这个问题进行探究这个问题进行探究.学习目标：学习目标：1能说出角平分线的性质的逆定理，并能给能说出角平分线的性质的逆定理，并能给 予证明予证明.2能够熟练地运用角平分线的性质的逆定理能够熟练地运用角平分线的性质的逆定理 解决一些相关的数学问题解决一些相
2、关的数学问题.如图，要在如图，要在S 区建一个集贸市场，使它到公区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路和铁路的交叉路、铁路的距离相等，并且离公路和铁路的交叉处处500 m.这个集贸市场应建于何处在图上标出这个集贸市场应建于何处在图上标出它的位置，比例尺为它的位置，比例尺为1：20 000？思考角的内部角的内部到角的两边到角的两边的的距离相等的点在角距离相等的点在角的平分线上的平分线上交换角的平分线的性质中的和结论，交换角的平分线的性质中的和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？你能得到什么结论，这个新结论正确吗？知识点1PDOA，PEOB，PD=PE，点点 P 在在AOB
3、的平分线的平分线上上OP 平分平分 AOB角的内部角的内部到角的两边到角的两边的的距离相等的点在角距离相等的点在角的平分线上的平分线上你能证明这个结论的正确性吗你能证明这个结论的正确性吗？这个结论可以这个结论可以用来用来判定角的平分线，而角判定角的平分线，而角的平分线的性质可用来证明线段相等的平分线的性质可用来证明线段相等这个结论与角的平分线的性质在应用上有这个结论与角的平分线的性质在应用上有 什么不同？什么不同？角相等角相等角平分线的性质定理和它的逆定理，揭示角平分线的性质定理和它的逆定理，揭示了了“角相等和角相等和“线段相等之间的一种特殊线段相等之间的一种特殊关系关系.角平分线性质角平分线
4、性质角平分线性质定理的逆定理角平分线性质定理的逆定理线段相等线段相等这为今后我们证明角相等，线段相等提供这为今后我们证明角相等，线段相等提供了一种解题思路了一种解题思路.知识点2例例如图如图，ABC 的角平分线的角平分线 BM，CN 相相交于点交于点 P求证：点求证：点 P 到三边到三边 AB，BC，CA 的的距离相等距离相等证明：证明：过过P 点作点作 PD，PE，PF分别垂直于分别垂直于 AB，BC，CA，垂，垂足分别为足分别为 D，E，F.BM 是是ABC的角平分线，的角平分线，点点P 在在BM 上，上，PD=PE.同理同理 PE=PF.PD=PE=PF.即点即点P 到三边到三边AB，B
5、C，CA 的距离相等的距离相等EDF练习练习1 判断题：判断题：1如图，假设如图，假设QM=QN，那么，那么OQ 平分平分AOB；ABOQMN判断题：判断题：2如图，假设如图，假设QMOA 于于M，QNOB 于于N，那么，那么OQ是是AOB 的平分线；的平分线；ABOQMN判断题：判断题：3：Q 到到OA 的距离等于的距离等于2 cm，且且Q 到到OB 距离等于距离等于2 cm，那么，那么Q 在在AOB 的平分线上的平分线上 ABOQMN如图，要在如图，要在S 区建一个集贸市场，使它到公区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路和铁路的交叉路、铁路的距离相等，并且离公路和铁路的交
6、叉处处500 m.这个集贸市场应建于何处在图上标出这个集贸市场应建于何处在图上标出它的位置，比例尺为它的位置，比例尺为1：20 000？图上距离图上距离500m120000=解：解：图上距离图上距离=0.025m=2.5cm.P如下图：如下图：P点即为所求点即为所求;理由：理由：P点在这个交叉口的角平分线上，所点在这个交叉口的角平分线上，所以以P点到公路与铁路的距离相等点到公路与铁路的距离相等.作其中任意两角的平分线，交点即为所要作其中任意两角的平分线，交点即为所要找的点找的点.练习练习2 要在三角形的内部找到一点，使这要在三角形的内部找到一点，使这一点到三角形的三边的距离都相等，这个点应一点
7、到三角形的三边的距离都相等，这个点应如何确定？如何确定？练习练习3 如图，如图，ABC 的的ABC 的外角的平的外角的平分线分线 BD 与与ACB 的外角的平分线的外角的平分线 CE 相交于相交于点点 P.求证：点求证：点 P 到三边到三边 AB，BC，CA 所在直所在直线的距离相等线的距离相等.证明：证明：过过P作作PMAC于于M，PNBC于于N，PQAB于于Q.CE为为MCN的平分线，的平分线，PM=PN，同理同理PN=PQ，点点P到到三边三边AB，BC，CA的距离相的距离相等等.QNM1.如下图，表示三条相互交叉的公路，如下图，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公
8、路现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，那么可供选择的地址有的距离相等，那么可供选择的地址有 根底稳固根底稳固D2.如图，点如图，点P是是ABC的外角的外角CBE和外角和外角BCF的平分线的交点，求证：的平分线的交点，求证：AP平分平分BAC.综合应用综合应用证明：证明：作作PQBC，PMAE，PNAF，垂足分别为，垂足分别为Q，M，N.P点在点在CBE和和BCF的平分的平分线上，线上，PM=PQ，PN=PQ，PM=PN.NQM又又PMAE，PNAF，AP平分平分BAC.3.如图，如图，AD是是ABC的角平分线，的角平分线，DEAB，DFAC，垂足分别是，垂足分别是E、F连接连接E
9、F，EF与与AD交于交于G，AD 垂直平分垂直平分EF吗？证明你的结论吗？证明你的结论拓展延伸拓展延伸解：解：AD垂直平分垂直平分EF.证明如下：证明如下：AD是是ABC的角平分线，的角平分线，DEAB，DFAC，1=2，AED=AFD=90，DE=DF.AED AFDAAS.AE=AF，在，在AEG和和AFG中，中，AEG AFGSAS.AGE=AGF=90，EG=FG.ADEF.AD垂直平分垂直平分EF.AEAFAGAG 12，通过前面分式的学习，我们知道分式和分数有通过前面分式的学习，我们知道分式和分数有很多的相似性，如性质、约分和通分很多的相似性，如性质、约分和通分.事实上，事实上，在
10、运算上它们也有许多的相似性在运算上它们也有许多的相似性.今天我们一起今天我们一起类比分数的运算来研究分式的运算，首先学习类比分数的运算来研究分式的运算，首先学习分式的乘除分式的乘除.学习目标：学习目标：1知道并熟记分式乘除法法那么知道并熟记分式乘除法法那么.2能准确地进行分式的乘除法的计算能准确地进行分式的乘除法的计算.3通过分式乘除法法那么得出体会类比的数通过分式乘除法法那么得出体会类比的数学思学思 想方法想方法.知识点11这个长方体容器的高怎么表示？这个长方体容器的高怎么表示？Vab问题问题1 一个水平放置的长方体容器，其容积一个水平放置的长方体容器，其容积为为V，底面的长为，底面的长为a
11、，宽为，宽为b，当容器内的水占容，当容器内的水占容积的积的 时，水面的高度为多少？时，水面的高度为多少？mn容器内水面的高与容器高的比和容器内的水所容器内水面的高与容器高的比和容器内的水所占容积的比相等占容积的比相等.Vmabn 所以水面的高度为所以水面的高度为 2容器内水面的高与容器内的水所占容积间容器内水面的高与容器内的水所占容积间有何关系？有何关系？问题问题1 一个水平放置的长方体容器，其容积一个水平放置的长方体容器，其容积为为V，底面的长为，底面的长为a，宽为，宽为b，当容器内的水占容，当容器内的水占容积的积的 时，水面的高度为多少？时，水面的高度为多少？mn平均每天的耕地量平均每天的
12、耕地量.问题问题2大拖拉机大拖拉机m 天耕地天耕地a hm2，小拖拉，小拖拉机机n天耕地天耕地b hm2，大拖拉机的工作效率是小拖，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？拉机的工作效率的多少倍？1此题中出现的此题中出现的“工作效率的含义是什么？工作效率的含义是什么？大拖拉机的工作效率为大拖拉机的工作效率为 hm2/天；天；ambn小拖拉机的工作效率为小拖拉机的工作效率为 hm2/天天.2大拖拉机和小拖拉机的工作效率怎样表示？大拖拉机和小拖拉机的工作效率怎样表示？问题问题2大拖拉机大拖拉机m 天耕地天耕地a hm2，小拖拉，小拖拉机机n天耕地天耕地b hm2，大拖拉机的工作效率是小拖，
13、大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？拉机的工作效率的多少倍？大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的 倍倍.ambn和和 中，其中涉及到分式的有哪些中，其中涉及到分式的有哪些运算？你能用学过的运算法则求出结果吗运算？你能用学过的运算法则求出结果吗？Vmabn abmn 观察上述两个问题中所列出的式子观察上述两个问题中所列出的式子在计算的过程中，你运用了分数的什么法那么在计算的过程中，你运用了分数的什么法那么？你能表达这个法那么吗？你能表达这个法那么吗？如果将分数换成分式，那么你能类比分数的乘如果将分数换成分式，那么你能类比分数的乘除法法那么，
14、说出分式的乘除法法那么吗？除法法那么，说出分式的乘除法法那么吗？怎样用字母来表示分式的乘除法法那么呢怎样用字母来表示分式的乘除法法那么呢？315315125252 （）；（）问题问题3 计算：计算：acacacadadbdbdbdbcbc ；用文字语言来描述：用文字语言来描述：乘法法那么：乘法法那么：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母的积作为积的分母.分式的乘除法法那分式的乘除法法那么：么：除法法那么：除法法那么：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘后，与被除式相乘.322
15、3245123422xyaba bycdxc （）；（）例例 计算：计算：33244213263xyxyyxx yx （）；322322223222542422542510.aba babcdcdcca bab cdbdaca b c （）解解:知识点2例例“丰收丰收1号小麦的试验田是边长为号小麦的试验田是边长为a ma1的正方形去掉一个边长为的正方形去掉一个边长为1 m的正方形的正方形蓄水池后余下的局部，蓄水池后余下的局部，“丰收丰收2号小麦的试验号小麦的试验田是边长为田是边长为a-1m的正方形，两块试验田的的正方形，两块试验田的小麦都收获了小麦都收获了500 kg1哪种小麦的单位面积产量高
16、？哪种小麦的单位面积产量高？2高的单位面积产量是低的单位面积产量高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？的多少倍？思考以下问题：思考以下问题：你能说出小麦的你能说出小麦的“单位产量的含义吗？单位产量的含义吗？如何表示这两块试验田的单位产量？如何表示这两块试验田的单位产量？怎样确定哪种小麦的单位产量高？怎样确定哪种小麦的单位产量高？你能列式表示你能列式表示2的问题吗？的问题吗？0a-12 a2-1，25001-a25001-a（）.即即“丰收丰收2号小麦的单位面积产量高号小麦的单位面积产量高解：解：（1）“丰收丰收1号号”小麦的试验田面积是小麦的试验田面积是单位面积产量是单位面积产量是 kg
17、/m2 25001-a（）（a2-1）m2，单位面积产量是单位面积产量是 kg/m2；“丰收丰收2号号”小麦的试验田面积是（小麦的试验田面积是（a-1）2 m2，25001a 2250050011-aa（）所以，所以，“丰收丰收2号号”小麦的单位面积产量是小麦的单位面积产量是“丰收丰收1号号”小麦的单位面积产量的小麦的单位面积产量的 倍倍11+-aa解：解：211+=.=.-aa2250015001-=-aa（）1.计算：计算：2224534(1 1)a bc dcdab 2225454(2)(2)yxxyxyxxy 222205312(1)=;a bc dacbab cd解：原式 5454(2)=.yxyxxyyxxyxxxy 原式2.先化简，再求值先化简，再求值 ，其中其中 x=2.212111xxxx 解：原式解：原式=，当当x=2时，时，原式原式=.11xx 2121 133.已知已知x-3y=0，求，求 的值的值.2222xyxyxxyy 解：解：原式原式=，将，将x=3y代入其中，代入其中，得原式得原式=303,.xyxy 2xyxy 23732.yyyy
