1、5.3 二次根式 的加法和减法 第1课时 二次根式的加减运算学习目标学习目标 能正确合并同类二次根式。能正确合并同类二次根式。会进行二次根式的加减运算会进行二次根式的加减运算。想一想：想一想：1、满足哪些条件的二次根式，、满足哪些条件的二次根式，叫做最简二次根式？叫做最简二次根式？（1）被开方数不含分母；）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽）被开方数中不含能开得尽 方的因数或因式方的因数或因式.2、判断下列哪些根式是最简二次根式？不、判断下列哪些根式是最简二次根式？不是最简二次根式的，请化成最简二次根式是最简二次根式的，请化成最简二次根式.21501875-127341abba3
2、一：交流与发现一：交流与发现 要用栅栏围成两个相邻的正方形羊要用栅栏围成两个相邻的正方形羊圈，它们的面积分别为圈，它们的面积分别为27平方米和平方米和48平方米，栅栏的长度为多少米？平方米，栅栏的长度为多少米？与同学交流。与同学交流。小羊圈小羊圈大羊圈大羊圈这两个正方形的边分别为这两个正方形的边分别为 米米 米，米，栅栏的长度为（栅栏的长度为（3 +4 ）米）米你能把你能把3 +4 进一步化简吗？进一步化简吗？274827482748,3333272=因为因为3434482=.32531639484273=+=+.325,米米栅栏的长度等于栅栏的长度等于因此因此 几个二次根式化成几个二次根式化
3、成最简二次根式最简二次根式后，如果后，如果它们的它们的被开方式被开方式相同，那么，它们是相同，那么，它们是同类二次同类二次根式。根式。说明：（说明：（1）必须是最简二次根式）必须是最简二次根式 （2）根指数与被开方数相同）根指数与被开方数相同 （3）与二次根式的系数无关。）与二次根式的系数无关。请判断：请判断：1、被开方数相同的根式是同类、被开方数相同的根式是同类 二次根式二次根式 （）2、与与 是同类二次根式（是同类二次根式（）3、与与 是同类二次根式（是同类二次根式（）1251557ab ccab请选择：请选择：下列根式中是下列根式中是 -的同类二次的同类二次根式的有（根式的有（）-218
4、2513216038A.和和 B.和和 C.和和 D.和和 1.以下二次根式：以下二次根式：,12222327,中，与中，与3是同类二次根式的是是同类二次根式的是（）.2.下列二次根式中，哪些是同类二次下列二次根式中，哪些是同类二次根式？根式？481,21,8,12,18C,18和和821是同类二次根式，是同类二次根式，12和和481是同类二次根式是同类二次根式.(1)两列火车分别运煤两列火车分别运煤2x吨和吨和3x吨吨,问这两问这两列火车共运多少？列火车共运多少？_2x+3x=5x吨吨(2)两列火车分别运煤两列火车分别运煤2x吨和吨和3y吨吨,问这两问这两列火车共运多少？列火车共运多少？_(
5、2x+3y)吨吨 24231+241883+以下问题你能用同样的方法计算吗？以下问题你能用同样的方法计算吗？252+看一看，想一想：看一看，想一想：同类二次根式可以像同类项那样进行合并同类二次根式可以像同类项那样进行合并例如例如 5 +=（5+1）=6 6 4 =（64）=2 二次根式如何进行加减呢二次根式如何进行加减呢?22225555175453925aa+例 计算：（1）12（2）80（）353275121+=+解：解：373)52(=+=535445802=55)34(=aaaa532593+=+aa8)53(=+=比较二次根式的加减比较二次根式的加减与整式的加减，你能与整式的加减，你
6、能得出什么结论？得出什么结论？二次根式的加减实质是二次根式的加减实质是合并同类二次根式合并同类二次根式整式的加减的实质是合整式的加减的实质是合并同类项并同类项先化简先化简,后合并后合并 与合并同类项类似与合并同类项类似,把把同类二次根式的系同类二次根式的系数相加减数相加减,做为结果的系数做为结果的系数,根号及根号内部根号及根号内部都不变都不变,29=2432+=242322+=24188+总结二次根式加减运算的步骤总结二次根式加减运算的步骤计算计算:如何合并如何合并同类二次同类二次根式根式?（3）合并同类二次根式。）合并同类二次根式。一化二找三合并二次根式加减法的步骤：二次根式加减法的步骤：（
7、1）将每个二次根式化为最简二次根式；）将每个二次根式化为最简二次根式；（2）找出其中的同类二次根式；）找出其中的同类二次根式；交流归纳例例1 计算：计算：（1）+;(2)+5424a93243a解 (1)+=+=(2)略 54+246964636265例例2 计算计算 +解解:=9020254590202545+109542+55545103+5452103522.计算：计算：7672)1(52080)2(+)2798(18)3(+)681()5.024)(4(+74)1(552)2(+33210)3(+24163)4(+先化简先化简,后合并后合并练习：计算332232(1)3+）（）（解：原
8、式3332223+=322=12188(2)+342924+=解：原式322322+=3225+=强调：先化简，再合并2163 483(2)(1220)(35)21(3)96234xxxx+例 计算：(1)2 1252 8200(2)2 203 4580(3)2 48(27243)(4)(5 754 12)(5 1083 27)+计算：(1)753例例1:下列各式中下列各式中,哪些是同类二次根式哪些是同类二次根式?12453112150观察例例 题题 解解 析析183248注意：注意：判断一组式子是否为同类二次根式，只需看化判断一组式子是否为同类二次根式，只需看化为为最简二次根式后的被开方数是
9、否相同最简二次根式后的被开方数是否相同，与最简二次，与最简二次根式前面的因式及符号根式前面的因式及符号无关无关 25 23 34 32 332 53 24 221.在下列各组根式中，是同类二次根式的在下列各组根式中，是同类二次根式的是（是（）A.B.C.D.122,212,24ab,ab11+a,a3.如果最简二次根式如果最简二次根式 与与 是同类二次根式是同类二次根式,求求m、n 的值的值.22+nmnm B12271624321252.与与 是同类二次根式的是是同类二次根式的是()A.B.C.D.D课后练习课后练习见本课时练习 很久很久以前很久很久以前,有一个国家的田地都要求是有一个国家的
10、田地都要求是正方形正方形的的,有一天这个国家的公主被妖怪抓到了有一天这个国家的公主被妖怪抓到了森林里森林里,两个农夫到森林打猎时打死了妖怪救出两个农夫到森林打猎时打死了妖怪救出 了公主。国王要赏赐他们了公主。国王要赏赐他们,这两个农夫原来各有这两个农夫原来各有 一块边长为一块边长为a米的地米的地,第一个农夫就对国王说：第一个农夫就对国王说：“您可不可以再给我一块边长为您可不可以再给我一块边长为b米的地呢？米的地呢？”国王答应了他，国王问第二个农夫：国王答应了他，国王问第二个农夫：“你是不是你是不是要跟他一样啊要跟他一样啊?”第二个农夫说：第二个农夫说：“不，我只要您不，我只要您把我原来的那块地
11、的边长增加把我原来的那块地的边长增加b米就好了。米就好了。国王想不通了，他说：国王想不通了，他说：“你们的要求不是你们的要求不是一样的吗？一样的吗？”同学们，你觉得两个农夫的要求同学们，你觉得两个农夫的要求是一样的吗？是一样的吗？b 农夫农夫一一a图一baab图二农夫农夫二二a2+b2(a+b)2你能用纸片拼出两个农夫土地的总面积吗？你能用纸片拼出两个农夫土地的总面积吗？你能得到什么结论？你能得到什么结论？ab 用不同的形式表示第二个农夫用不同的形式表示第二个农夫 得到赏赐后田地的总面积得到赏赐后田地的总面积,并进行并进行比较比较,你发现了什么你发现了什么?ba(a+b)2=+a22abb2+
12、a2ab+(a+b)2=ab+b2=a2+2ab+b2 (ab)2=a22abb2你能用自己的话叙述你能用自己的话叙述一下上面的公式吗？一下上面的公式吗？两数和的平方两数和的平方,等于它们等于它们的平方和加上它们乘积的的平方和加上它们乘积的2 2倍倍.左边左边是两项的和的平方是两项的和的平方,即（首即（首+尾）尾）2右边右边是三项，第一项是首的平方，第二项是是三项，第一项是首的平方，第二项是首尾乘积的首尾乘积的2倍，第三项是尾的平方倍，第三项是尾的平方例例1.计算计算:(x+2y)2解解:(x+2y)2=(a+b)2=a2+2 a b+b2=x2+4xy+4y2x2+2x2y+(2y)2 (a
13、+1)2=()2+2()()+()2 (-4x+5y)2 =()2+2()()+()2 =(2)(2a+3b)2=()2+2()()+()2 利用和的完全平方公式计算利用和的完全平方公式计算:=提问提问:（ab）2等于什么？等于什么？是否可以写成是否可以写成a（-b）2?你能继续做下去吗？你能继续做下去吗？完全平方公式完全平方公式首平方，尾平方，首尾两倍中间放首平方，尾平方，首尾两倍中间放 公式变形为公式变形为（首（首尾）尾）2首首22首首尾尾尾尾2 例例2.计算计算:(x-2y)2(x-2y)2=(a-b)2=a2-2 a b+b2x2-2 x 2y+(2y)2 =x2-4xy+4y2 (r
14、-h)2=()2 2()()+()2 (-2x-3y)2 =()2 2()()+()2 =(2)(m-2)2=()2 2()()+()2 利用两数差的完全平方公式计算利用两数差的完全平方公式计算:=12 例例3 用完全平方公式计算用完全平方公式计算：（1）(x+2y)2（2）(2a-5)2（3）(-2s+t)2（4）(-3x-4y)2=X2+4xy+4y2=4a2-20a+25=4s2-4st+t2=9x2+24xy+16y2思考思考：（1）完全平方展开有几项？）完全平方展开有几项？（2）每一项的符号特征？）每一项的符号特征？(7y)2 比较下列计算结果，你能得到什么结论比较下列计算结果，你能
15、得到什么结论？(2s-t)2(-2x-3y)2(a-b)2(-a+b)2互为相反数的两个数的完全平方相等互为相反数的两个数的完全平方相等(2)(-2s+t)2(1)(y7)2 (3)(2x+3y)2(-a-b)2(a+b)2y2-14y+49y2-14y+494s2-4st+t24s2-4st+t24x2+12xy+9y24x2+12xy+9y2 比较平方差公式和完全平方公式：比较平方差公式和完全平方公式：(a-b)(a+b)=a2-b2(a+b)2=a2+2 a b+b2(a-b)2=a2-2 a b+b2公式公式相乘多项式相乘多项式的特征的特征展开式项数展开式项数平方差公式平方差公式一项相
16、同，另一项相反2项完全平方公式完全平方公式两项都相同3项练一练练一练选择适当的公式计算：选择适当的公式计算：(1)（2x-1)(-1+2x);(2)(-2x-y)(2x-y)(3)(-a+5)(-a-5);(4)(ab-1)(-ab+1)例例4：一花农有一花农有2块正方形茶花苗圃，边块正方形茶花苗圃，边长分别为长分别为30.1m，29.5m。现将这。现将这2块苗圃的块苗圃的边长都增加边长都增加1.5m，求各苗圃的面积分别增，求各苗圃的面积分别增加了多少加了多少m。解解：设原正方形设原正方形苗圃的边长为苗圃的边长为am,边长都增边长都增1.5m，新正方形的边长为（新正方形的边长为（a+1.5）m
17、，（a+1.5）2-a2=a2+3a+2.25-a2=3a+2.25当当a=30.1时，时，3a+2.25=330.1+2.25=92.55当当a=29.5时，时，3a+2.25=329.5+2.25=90.75答答：苗圃的面积分别增加了苗圃的面积分别增加了92.55m2,90.75m2 完全平方公式完全平方公式2222bababa+=+2222bababa+=口诀：口诀：首平方，尾平方，首尾两倍中间放首平方，尾平方，首尾两倍中间放 我们把完全平方和公式与完全平方差我们把完全平方和公式与完全平方差公式统称为完全平方公式（也叫乘法公式）公式统称为完全平方公式（也叫乘法公式）2222)(bababa+=发散练习发散练习,勇于创新勇于创新1.如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是()(A)11 (B)9 (C)-11 (D)-92.已知(a+b)2=11,ab=1,求(a-b)2的值.B1、计算：、计算：22)21)(1(+a)1)(1)(2(+xx2)(3(cba+2、若、若 ，则，则 =。31=+xx221xx+aabb(a-b)=2)(ba2aab222aabb=+aababab2b+bbb两数差的完全平方公式：的图形理解的图形理解
