1、 - 1 - 宜昌市部分示范高中教学协作体 2018年春期末联考 高二（理科）数学 （全卷满分： 150分 考试用时： 120分钟） 一、选择题（本大题共 12小题， 每小题 5分， 共 60分 ，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ） 1.下列各式的运算结果为纯虚数的是 （ ） A. 2(1 )ii? B. 2(1 )ii? C. 2(1 )i? D. (1 )ii? 2.已知某随机变量 X的分布如下 （ p， q R） 且 X的数学期望 1()2EX? ，那么 X的方差 ()DX等于 （ ） X 1 P p q A. 32 B. 34 C. 12 D. 1 3.若 1 0
2、2 1 00 1 2 1 0( 2 )x a a x a x a x? ? ? ? ? ?， 则 1 2 3 10a a a a? ? ? =（ ） A. 1 B. 1 C. 1023 D. 1023 4.下列求导运算正确的是 （ ） A.(cos ) sinxx? B. 3(3 ) 3 logx x e? C. 1(lg ) ln10x x? D. 2( cos ) 2 sinx x x x? 5.已知 ( 2,0)M? ， (2,0)N ， 4PM PN? ，则动点 P的轨迹是 （ ） A. 一条射线 B. 双曲线 C. 双曲线左支 D. 双曲线右支 6.已知 m， n R，则 “ 0mn
3、? ” 是 “ 方程 221xymn?表示双曲线 ” 的 （ ） A. 充分不必要条 件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 7.由曲线 2yx? ， yx? 围成的封闭图形的面积为 （ ） A. 16 B. 1 C. 23 D. 13 8.从 1， 2， 3， 4， 5中任取 2个不同的数，事件 A=“ 取到的 2个数之和为偶数 ” ，事件 B=“ 取到的 2个数均为偶数 ” ，则 ( / )PB A ? （ ） A. 18 B. 14 C. 25 D. 12 - 2 - 9.在区间 ? ?0,1 上随机取两个数 x， y，记 P为事件 “ 23xy? ”
4、的概率，则 P=（ ） A. 23 B. 12 C. 49 D. 29 10.设双曲线 22 1 ( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?的离心率是 3，则其渐近线的方程为 （ ） A. 2 2 0xy? B. 2 2 0xy? C. 80xy? D. 80xy? 11.图 1 是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图 ， 第 1次到 14次的考试成绩依次记为 A1， A2， ? ， A14， 图 2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图 ，那么算法流程图输出的结果是 （ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 12.已知命题 p： ? ?1,2x? ，使得
5、0xea? ， 若 p? 是假命题，则实数 a的取值范围为 （ ） A. 2( , e? B. ( , e? C., )e? D. 2 , )e ? 二、 填空题：本大题共 4小题，每 小题 5分，共 20 分把答案填在 答题卡 题中横线上 13.设随机变量 X 2(2, )N ? ，且 ( 4) 0.2PX?，则 (0 4)PX?_ 14.设 x， y满足约束条件3310xyxyy?，则 z x y? 的最大值为 _ 15.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 5 次试验 ， 根据收集到的数据 （ 如表 ） ，由最小二乘法求得回归方 0.67 54.9yx? ?
6、- 3 - 零件数 x个 10 20 30 40 50 加工时间 y(min) 62 75 81 89 现 发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为 _ 16.观察下列式子：2131 22?，221 1 51 2 3 3? ? ?，2 2 21 1 1 71 2 3 4 4? ? ? ?，? ， 根据以上式子可以猜想：2 2 21 1 11 2 3 2 0 1 3? ? ? ? ?_ 三、 解答题：本大题共 6小题，共 70 分解答 时 应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17.（ 12 分） 已知二次函数 2( ) 2f x ax ax b? ? ?，其图象过点 （ 2, 4）
7、，且 (1) 3f? ? （ 1） 求 a， b的值； （ 2） 设函数 ( ) ln ( )h x x x f x?，求曲线 h(x)在 x =1处的切线方程 18.（ 12分） 某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的 100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图 （ 如图所示 ） ，规定 80 分及以上者晋级成功，否则晋级失败 （ 1） 求图 中 a的值； （ 2） 根据已知条件完成下表，并判断能否有 85%的把握认为 “ 晋级成功 ” 与性别有关？ （ 3） 将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取 4人进行约谈，记这 4人中晋级失败的人数为 X，求 X的分布列与数学期望
8、E(X) (参考公式： 22 ()( )( )( )( )n a d b ck a b c d a c b d? ? ? ? ?，其中 dcban ? ) )( 02 kkP ? 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0k 0.780 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 19 （ 12分） 如图，设 P是圆 2225xy?上的动点，点 D是 P在 x轴上的投影， M为 PD上一点，且 45MD PD? （ 1） 当 P在圆上运动时，求点 M的轨迹 C的方程 （ 2） 求过点 （ 3,0） ，且斜率为 45 的直线被 C所截线段的长度 晋级成功 晋
9、级失败 合计 男 16 女 50 合计 - 4 - 20 （ 12分） 已知函数 2( ) lnf x x a x? （ 1） 当 2a? 时，求函数 ()fx的单调区间和极值； （ 2） 若 2( ) ( )g x f x x?在 1,+ ） 上是单调增函数，求实数 a的取值范围 21 （ 12分） 已知圆 C： 221( 1) 4xy?，一动圆与直线 12x? 相切且与圆 C外切 （ 1） 求动圆圆心 P的轨迹 T的方程； （ 2） 若经过定点 Q（ 6,0） 的直线 l与曲线 T相交于 A、 B两点， M是线段 AB 的中点，过 M作x 轴的平行线与曲线 T相交于点 N，试问是否存在直线
10、 l，使得 NA NB? ，若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由 选 考题 （ 10 分） 请考生在 22， 23 题中任 选 一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用 2B铅笔在答题卡上把所 选 题目的题号涂黑。 22 已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与 x轴的正半轴重合，圆 C的极坐标是2 sina? ， 直线 l 的参数方程是3545x t ayt? ? ? ?（ t为参数 ） （ 1） 若 a=2， M为直线 l与 x轴的交点， N是圆 C上一动点，求 MN 的最大值； （ 2） 若直线 l被圆 C截得的弦长为 26，求 a的值 23 已知函数 11() 22f
11、 x x x? ? ? ?， M为不等式 ( ) 2fx? 的解集 （ 1） 求 M； （ 2） 证明：当 a， b M时， 1a b ab? ? ? - 5 - 宜昌市部分示范高中教学协作体 2018年春期末联考 高二理科数学答案 一、选择题 （本大题共 12小题， 每小题 5分， 共 60分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B D C A C D B D B D B 二、 填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分 13、 0.6 14、 3 15、 68 16、 40252013 三、 解答题：本大题共 6小题，共 70 分 17（本小题满
12、分 12分） 解： 由题意可得 ， 即为 ， ? 1分 又 ，可得 ， ? 3分 解方程可得 ； ? 5分 函数 ， 导数 ， ? 7分 即有曲线 在 处的切线斜率为 ， ? 9分 切点为 ， ? 10分 则曲线 在 处的切线方程为 ，即为 ? 12分 18（本小题满分 12分） 解： 由频率分布直方图各小长方形面积总和为 1， 可知 ，解得 ； ? 2分 由频率分布直方图知，晋级成功的频率为 ， 所以晋级成功的人数为 人 ， 填 表如下： 晋级成功 晋级失败 合计 男 16 34 50 - 6 - 女 9 41 50 合计 25 75 100 假设 “ 晋级成功 ” 与性别无关， 根据上表数
13、据代入公式可得 ， 所以有超过 的把握认为 “ 晋级成功 ” 与性别有关； ? 6分 由频率分布直方图知晋级失败的频率为 ， 将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取 1人进行约谈， 这人晋级失败的概率为 ， 所以 X可视为服从二 项分布，即 ， ， 故 ， ， ， ， ， 所以 X的分布列为 X 0 1 2 3 4 ? 10 分 - 7 - 数学期望为 ， 或 ? 12分 19.（本小题满分 12分） 解： 设 M的坐标为 ， P的坐标为 ， 由 ，解得： 在圆上， ，即 ，整理得： ， 即 C的方程为： ； ? 4分 过点 ，斜率为 ，的直线方程为： ? 6 分 设直线与 C的交
14、点为 ， ， 将直线方程 代入 C的方程，得 ，整理得： ? 8分 由韦达定理可知： ， ? 10 分 线段 AB 的长度为 ， 线段 AB 的长度丨 AB丨 ? 12分 20（本小题满分 12分） - 8 - 解： 函数 ， 函数 的定义域为 ? 1分 当 时， ? 3分 当 x变化时， 和 的值的变化情况如下表： x 1 0 递减 极小值 递增 由上表可知，函数 的单调递减 区间是 、单调递增区间是 、极小值是 ? 6分 由 ，得 若函数 为 上的单调增函数，则 在 上恒成立， ? 8分 即不等式 在 上恒成立 也即 在 上恒成立 ? 9分 令 ，则 当 时， ， 在 上为减函数， ? 1
15、1分 的取值范围为 ? 12分 - 9 - 21（本小题 满分 12分） 解： 设 ，则由题意， ， ? 2分 ， ? 3分 化简可得动圆圆心 P的轨迹 T的方程为 ； ? 5分 设 ， 由题意，设直线 l的方程为 ，联立抛物线方程可得 ， ， ， ， ? 8 分 假设存在 ，使得 ，则 ， ， ， 代入化简可得 ， ， 存在直线 l： ，使得 ? 12 分 22（本小题满分 10分） 解： 直线 l 的参数方程是 ， 时，化为普通方程： 令 ，解得 ，可得 圆 C的极坐标是 ，即 ，可得直角坐标方程：- 10 - ，即 ， 的最大值为 ? 5分 圆 C的方程为： ，直线 l的方程为： ， 圆心 C到直线 l的距离 ，解得 ? 10 分 23（本小题满分 10分） 解： 当 时，不等式 可化为： ， 解得： ， ， 当 时，不等式 可化为： ， 此时不等式恒成立， ， 当 时， 不等式 可化为： ， 解得： ， ， 综上可得： ；
