1、 - 1 - 山东省德州市 2017-2018 学年高二数学下学期期末考试试题 理 第 卷（共 60 分） 一、 选择题（本大题共 12 个小题 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.下列运算正确的为（ ） A 1C? （ C 为常数） B211( )xx?C ( )xxee? D (sin ) cosxx? 2.已知 21z ii? ，则复数 z? （ ） A 13i? B 13i? C 13i? D 13i? 3.已知曲线 3 1y x x? ? ? 在点 P 处的切线平行于直线 2yx? ，那么点 P 的坐标为（ ） A (1,0) 或 (1,1)? B (1,1)
2、 或 (1,1)? C (1,1)? D (1,1) 4.随机变量 2 (2,3 )XN ，且 ( 1) 0.20PX? ，则 (2 3)PX? ? ?（ ） A 0.20 B 0.30 C 0.70 D 0.80 5.设 *1 1 1( ) ( )1 2 2f n n Nn n n? ? ? ? ?，那么 ( 1) ( )f n f n? ? ?（ ） A 121n? B 122n? C 112 1 2 2nn? D 112 1 2 2nn? 6.从 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9 中不放回地依次取 2 个数，事件 A? “第一次取到的是偶数”， B? “第二次取到的是偶
3、数”，则 ( | )PB A ? （ ） A 15 B 38 C 25 D 12 7.用反证法证明命题“已知函数 ()fx在 ,ab 上单调，则 ()fx在 ,ab 上至多有一个零点”时，要做的假设是（ ） A ()fx在 ,ab 上没有零点 B ()fx在 ,ab 上至少有一个零 点 C ()fx在 ,ab 上恰好有两个零点 D ()fx在 ,ab 上至少有两个零点 8.在 3()nxx?的展开式中，各项系数与二项式系数和之比为 128，则 4x 的系数为（ ） A 21 B 63 C 189 D 729 - 2 - 9.如图是函数 ()y f x? 的导函数 ()fx的图象，则下面判断正确
4、的是（ ） A在 (3,1)? 上 ()fx是增函数 B在 (1,3) 上 ()fx是减函数 C在 (1,2) 上 ()fx是增函数 D在 4x? 时， ()fx取极大值 10.若 X 是离散型随机变量，1 2()3P X x?，2 1()3P X x?，又已知 4()3EX? ，2()9DX? ，则 12xx? 的值为（ ） A 53 B 23 C 3 D 1 11.已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡 .若顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结 账方式的可能情况有（ ）种 A 19
5、 B 26 C 7 D 12 12.已知在 R 上的可导函数 ()fx的导函数为 ()fx，满足 ( ) ( )f x f x? ，且 ( 5)fx? 为偶函数， (10) 1f ? ，则不等式 ()xf x e? 的解集为（ ） A (0, )? B (1, )? C (5, )? D (10, )? 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每小题 5 分，共计 20 分） 13.某研究性学习小组调查研究学生玩手机对学习的影响，部分统计数据如表 玩手机 不玩 手机 合计 学习成绩优秀 4 8 12 学习成绩不优秀 16 2 18 - 3 - 合计 20 10 30 经计算 2K 的值，则有 %
6、的把握认为玩手机对学习有影响 附： 2 0()P K k? 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 ? ? ? ? ? ? ? ? ?22 n a d b cK a b c d a c b d? ? ? ? ?， n a b c d? ? ? ? . 14.由曲线 3yx? 与 13yx? 围成的封闭图形的面积是 15.对于三次函数 32( ) ( 0 )f x a x b x cx d a? ? ? ? ?，定义：设 ()fx是函数 ()y f x? 的 导数(
7、)y f x? 的导数，若方程 ( ) 0fx? 有实数解 0x ，则称点 00( , ( )x f x 为函数 ()y f x? 的“拐点”，有同学发现“任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；且拐点就是对称中心 .”根据此发现，若函数 3231( ) 324f x x x x? ? ? ?，计算1 2 3 2 0 1 8( ) ( ) ( ) ( )2 0 1 9 2 0 1 9 2 0 1 9 2 0 1 9f f f f? ? ? ? ? ? 16.对于函数 ()y f x? ，若存在区间 ,ab ，当 , x ab? 时， ()fx的值域为 , ( 0)ka kb k
8、 ? ，则称 ()y f x? 为 k 倍值函数 .下列函数为 2 倍值函数的是 （填上所有正确的序号） 2()f x x? 32( ) 2 2f x x x x? ? ? ( ) lnf x x x? ()xxfxe?三、解答题（共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17.已知 2zi?， a ， b 为实数 . （）若 2 3 12zz? ? ? ? ，求 ? ； （）若 522az bz iz? ? ，求实数 a ， b 的值 . 18.已知函数 3211( ) ( 1 ) ( )32f x x a x a x a R? ? ? ? ?. （）若 ()fx在 13
9、x? 处取得极值，求 ()fx的单调递减区间； - 4 - （）若 ()fx在区间 (0,1) 内有极大值和极小值，求实数 a 的取值范围 . 19.某校倡导为特困学生募捐，要求在自动购水机处每购买一箱矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱 .现统计了连续 5 天的售出矿泉水箱数和收入情况，列表如下： 售出水量 x （单位：箱） 7 6 6 5 6 收入 y （单位：元） 165 142 148 125 150 学校计划将捐款以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生综合考核前 20 名，获一等奖学金 500 元；综合考核 21 50 名，获二等奖学金 300 元；综合考核 50 名以
10、后的不获得奖学金 . （）若售出水量箱数 x 与 y 成线性相关，则某天售出 9 箱水时，预计收入为多少 元？ （）甲乙两名学生获一等奖学金的概率均为 25 ，获二等奖学金的概率均为 13 ，不获得奖学金的概率均为 415 ，已知甲乙两名学生获得哪个等级的奖学金相互独立，求甲乙两名学生所获得奖学金之和 X 的分布列及数学期望 . 附：回归直线方程 y bx a?，其中 121( )( )()niiiniix x y ybxx?， a y bx? . 20.如图（ 1）是一个仿古的首饰盒，其左视图是由一个半径为 r 分米的半圆和矩形 ABCD 组成，其中 AD 长为 a 分米，如图（ 2） .为
11、了美观，要求 2r a r? .已知该首饰盒的长为 4r 分米，容积为 4 立方分米（不计厚度），假设该首饰盒的制作费用只与其表面积有关，下半部分的制作费用为每平方分米 2 百元，上半部制作费用为每平方分米 4 百元，设该首饰盒的制作费用为 y 百元 . （）写出 y 关于 r 的函数解析式； （）当 r 为何值时，该首饰盒的制作费用最低？ - 5 - 21.已知函数 2( ) 1 ln ( )f x a x x x a R? ? ? ? ?在点 11( , ( )22f 处的切线与直线 2 1 0xy? ? ?垂直 . （）求函数 ()fx的极值； （）若 2() mf x m xx? ?
12、?在 1, )? 上恒成立，求实数 m 的取值范围 . 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为1 cos23 sin2xtyt? ? ?（ t 为参数， 0 2? ），以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为2 2 cos 3 0? ? ? ? ?. （）求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程； （）若直线 l 与曲线 C 交于 A 、 B 两点，求 AB 的最小值 . 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数 2( ) 3f x x ax? ? ?， ( ) 1g x x x a? ? ?
13、 ?. （）若 ( ) 1gx? 恒成立，求 a 的取值范围； （）已知 1a? ，若 ( 1,1)x? ? 使 ( ) ( )f x g x? 成立，求实数 a 的取值范围 . - 6 - 高二 数学（理科）试题参考答案 一、选择题 1-5: CABBD 6-10: BDCCD 11、 12： BA 二、填空题 13. 99.5 14. 1 15. 2018 16. 三、解答题 17.解：（） 2zi?， 2zi?. 2 3 12zz? ? ? ? 2( 2 ) 3 ( 2 ) 1 2 3i i i? ? ? ? ? ? ? ?， 22( 3) 1 10? ? ? ? ?； （） 2zi?，
14、 (2 ) (2 )2 2 (2 )a z b z a i b izi? ? ? ? ? ?22 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) a b a b i i a b a b iii? ? ? ? ? ?2 ( ) 5 2b a a b i i? ? ? ? ? ?. 51baab? ? ?， 解得 32ab? ?， a ， b 的值为： -3， 2. 18.解： 2( ) ( 1)f x x a x a? ? ? ?， （） ()fx在 13x? 处取得极值， 1( ) 03f ?， 11( 1) 093 aa? ? ? ?， 23a? ， 2 5 2 1( ) ( ) ( 2 )3 3 3f
15、 x x x x x? ? ? ? ? ?，令 ( ) 0fx? ，则 1( )( 2) 03xx? ? ?， 1 23 x? ? ? ， 函数 ()fx的单调递减区间为 1( ,2)3? . （） ()fx在 (0,1) 内有极大值和极小值， - 7 - ( ) 0fx? 在 (0,1) 内有两不等实根，对称轴 12ax ? ， 01012(0) 0(1) 0aff? ? ? ? ?， 即2( 1) 4 01101 1 0aaaaaa? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?3 2 2 3 2 2110aaaa? ? ? ? ? ? ? ? ?或， 0 3 2 2a? ? ? . 19.
16、解：（） 7 6 6 5 6 65x ? ? ? ?， 1 6 5 1 4 2 1 4 8 1 2 5 1 5 0 1465y ? ? ? ?， 19 21 202b ?， 146 20 6 26a ? ? ? ?， 所以线性回归方程为 20 26yx?， 当 9x? 时， y 的估计值为 206 元； （）甲乙两名同学所获得奖学金之和 X 的可能取值为 0， 300， 500， 600， 800， 1000； 4 4 1 6( 0 ) 1 5 1 5 2 2 5PX ? ? ? ?； 1 4 8( 3 0 0 ) 2 3 1 5 4 5PX ? ? ? ? ?； 2 4 1 6( 5 0 0
17、 ) 2 5 1 5 7 5PX ? ? ? ? ?； 1 1 1( 6 0 0 ) 3 3 9PX ? ? ? ?； 2 1 4( 8 0 0 ) 2 5 3 1 5PX ? ? ? ? ?； 2 2 4( 1 0 0 0 ) 5 5 2 5PX ? ? ? ?. X 0 300 500 600 800 1000 P 16225 845 1675 19 415 425 所以 X 的数学期望 ( ) 600EX? . - 8 - 20.解：（）由题知 2 3 214 4 ( 2 ) 2 82r r a r r a r? ? ? ?， 33224 2 284rra rr?. 又因 2r a r? ，得 332284r?， 222 ( 4 8 8 ) 4 ( 4 )y a r a r r r r r? ? ? ? ? ? 2224 16 20a
