1、 1 高二重点期末考试数学（理）试题 一、选择题 （ 本大题共 12 小题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ） 1已知向量 =（ 1， 1， 0）， =（ 1， 0， 2）且 k + 与 2 互相垂直，则 k的值是（ ） A 1 B C D 2椭圆 x2+my2=1 的焦点在 y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则 m的值为（ ） A B C 2 D 4 3执行如图所示的程序框图，若输入 n的值为 5，则输出 s的值是（ ） A 4 B 7 C 11 D 16 4已知( 3,2,5)a?，1, , 1)bx，且4ab?，则 x的值是（ ） A 6 B 5 C 4 D 3 5过点 O
2、（ 1， 0）作函数 f（ x） ex的切线，则切线方程为（ ） A y e2（ x 1） B y e（ x 1） C y e2（ x 1）或 y e（ x 1） D y x 1 6随机变量 服从二项 分布 B（ n， P），且 E（ ） 300， D（ ） 200，则np等于（ ） 2 A 3200 B 2700 C 1350 D 1200 7要得到函数 y=sin（ 4x ）的图象，只需将函数 y=sin4x的图象（ ） A向左平移 单 位 B向右平移 单位 C向左平移 单位 D向右平移 单位 8假设吉利公司生产的 “ 远景 ” 、 “ 金刚 ” 、 “ 自由舰 ” 三种型号的轿车产量分别
3、是 1600辆、 6000辆和 2000 辆，为检验公司的产品质量，现从这三种型号的轿车中抽取 48 辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取（ ） A 16， 16， 16 B 8， 30， 10 C 4， 33， 11 D 12， 27， 9 9一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A 3 B 4 C 2 +4 D 3 +4 10、 对于任意 k 1,1 ,函数 f(x)=x2+(k 4)x 2k+4的值恒大于零，则 x的取值范围是 A x4 C x3 D xb0)的一个顶点为 B(0,4)，离心率 e55 ，直线 l交椭圆于 M， N两点 (1)若直线 l的方程为 y x
4、 4，求弦 MN的长 (2)如果 BMN的重心恰好为椭圆的右焦点 F，求直线 l方程的一般式 20（ 12 分）抛掷一颗骰子两次，定义随机变量 ? )(,1 )(,0 的点数数等于第二次向上一面当第一次向上一面的点 面的点数数不等于第二次向上一当第一次向上一面的点?4 （ 1）试写出随机变量?的分布列； （ 2）抛掷一颗骰子两次，在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下，求第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率。 21（ 12 分） 设 f(x) a(x 5)2 6lnx， 其中 a R， 曲线 y f(x)在点 (1， f(1)处的切线斜率为 2. (1)确定 a的值； (2)求函数 f(x)的
5、单调区间与极值 22 (12 分 )已 知函数21( ) ln( ) 2x a x a x x? ? ? ?（ a 0） （ ）当 a 3时，求 f（ x）的单调递减区间； （ ）若函数 f（ x）有且仅有一个零点，求实数 a的取值范围； 5 参考答案 一、选择题（本大题共 12 小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A C A A B B B D C C D 二、填空题（本大题共 4小题） 13.12 14. 326 25152 115.? ?3 , 1 1x x x? ? ? ? ?或 16.? ?2 , 1 3x x x? ? ? ?或 三、解答题
6、（本大题共 6小题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17解：（ ）因为1322zi? ?，所以221 1 3 1 3| | | | ( ) ( ) 12 2 2 2iz ? ? ? ? ? ? ? ?1 3 1 3( ) ( )2 2 2 2z i i? ? ? ? ? ?所以原式1 3 1 31 2 2 2 2ii? ? ? ? ?（ ）由题可知1 | 2A y y?， | 1 1 B x m x m? ? ? ? 由于 p是 q的必要条件，所以BA?， 所以11 2m? ? ?，解得34m 综上所述：14 m? 18. 【解析】 (1)由已知得 AM 23AD 2.取 BP的中点
7、T， 连接 AT， TN. 由 N为 PC的中点知 TNBC ， TN 12BC 2. 又 ADBC ， 故 TN 綊 AM， 所以四边形 AMNT为平行四边形 ， 于是 MNAT. 因为 AT?平面 PAB， MN?平面 PAB， 所以 MN 平面 PAB. 6 (2)取 BC的中点 E， 连接 AE.由 AB AC得 AEBC ， 从而 AEAD ， 且 AE AB2 BE2 AB2（ BC2） 2 5. 以 A为坐标原点 ， AE的方向为 x轴正 方向 ，建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz. 由题意知 ， P(0， 0， 4)， M(0， 2， 0)， C( 5， 2， 0)， N
8、( 52 ， 1， 2)， PM (0， 2， 4)， PN ( 52 ， 1， 2)， AN ( 52 ， 1， 2) 设 n (x， y， z)为平面 PMN 的 法向量 ，则?n PM 0，n PN 0，即?2y 4z 0，52 x y 2z 0，可取 n (0， 2， 1)于是 |cos n， AN | |n AN|n|AN| 8 525 . 所以直线 AN 与平面 PMN所成角的正弦值为 8 525 . 【答案】 (1)略 (2)8 525 19. 【解析】 (1)由已知得 b 4，且 ca 55 ，即 c2a215. a2 b2a2 15，解得 a2 20. 椭圆方程为 x220y
9、216 1. 则 4x2 5y2 80与 y x 4 联立消去 y，得 9x2 40x 0， x1 0， x2 409. 所求弦长 |MN| 1 12|x2 x1| 40 29 . (2)椭圆右焦点 F的坐标为 (2,0)，设线段 MN的中点为 Q(x0， y0)，由三角形重心的性质知 BF 2FQ. 又 B(0,4)， (2， 4) 2(x0 2， y0)故得 x0 3， y0 2， 即得 Q的坐标为 (3， 2) 设 M(x1， y1)， N(x2， y2)，则 x1 x2 6， y1 y2 4， 7 且 x2120y2116 1，x2220y2216 1. 以上两式相减，得 x1 x2
10、x1 x220 y1 y2 y1 y216 0. kMN y1 y2x1 x2 45 x1 x2y1 y2 45 6 4 65. 故直线 MN的方程为 y 2 65(x 3)，即 6x 5y 28 0. 20、 解：（ 1）当第一次向上的面的点 数等于第二次向上的面点数时，有 6种情况，所以 61366)1( ?P，由互斥事件概 率公式得，65)1(1)0( ? ? PP所以所求分布列是 ?1 0 P 65（ 2）设第一次掷得向上一面点数是偶数的事件为 A，第二次掷得向上一面点数是偶数的事件为B，在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下，第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率为： ?)|( AB1
11、89)( )()( )( ? An ABnAP ABP=21或?)|( ABP213618369)()( ?APABP21、 解： (1)f( x) 2a(x 5) 6x， 依题意 ， f (1) 6 8a 2， 得 a 12. (2)由 (1)知 ， f(x) 12(x 5)2 6lnx(x 0)， f (x) x 5 6x （ x 2）（ x 3）x . 令 f( x) 0， 得 x 2或 3. x， f (x)， f(x)的变化情况如下表： x (0， 2) 2 (2， 3) 3 (3， 8 ) f(x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 故 f(x)的单调增区间为 (0， 2)和 (3
12、， ) ， 单调减区间为 (2， 3) f(x)的极大值 f(2) 92 6ln2， 极小值 f(3) 2 6ln3. 22 解： （ ） a 3， 21( ) 3 ln( 3 ) 2f x x x x? ? ? ? ?，故( 2)( ) ( 3 )3xxf x xx? ? ? ?令 f （ x） 0，解得 3 x 2或 x 0， 即所求的单调递减区间为 （ 3， 2）和（ 0， ） （ ） ( 1 ) ( ) 1a x x af x xx a x a? ? ? ? ? ? ?（ x a） 令 f （ x） 0，得 x 0或 x a 1 （ 1）当 a 1 0，即 1 a 0时， f（ x）在
13、（ a， 0）和（ a 1， ） 上为减函数，在 （ 0， a 1）上为增函数 由于 f（ 0） aln（ a） 0，当 xa 时， f（ x） 当 x 时， f（ x） ，于是可得函数 f（ x）图像的草图如图， 此时函数 f（ x）有且仅有一个零点 即当 1 a 0对， f（ x）有 且仅有一个零点； （ 2）当 a 1时，21( ) ln( 1 ) 2f x x x x? ? ? ? ?， 9 2( ) 01xfx x? ? ? ， f（ x）在（ a， ）单调递减， 又当 x 1时， f（ x） 当 x 时， f（ x） ， 故函数 f（ x）有且仅有一个零点； （ 3）当 a 1 0即 a 1 时， f（ x）在（ a， a 1）和（ 0， ）上为减函数，在（ a 1， 0）上为增 函数又 f（ 0） aln（ a） 0，当 xa 时， f（ x） ，当 x 时， f（ x） ，于是可得函数 f（ x）图像的草图如图，此时函数 f（ x）有且仅有一个零点； 综上所述，所求的范围是 a 0
