1、第五章一第五章一 元元 函函 数数 积积 分分 学学(一)本 章 内 容 小 结(二)常见问题分类及解法(三)思 考 题(四)课 堂 练 习(一一)本章内容小结本章内容小结一、主要内容一、主要内容1、原函数和不定积分的概念；基本积分公式，基本积分法则，换元法，分部积分法.2、定积分的定义；微积分基本定理；牛顿-莱布尼兹公式及其应用.二、重点和难点二、重点和难点 本章重点是不定积分的计算和利用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分.难点是不定积分的计算和定积分的定义.四、对学习的建议四、对学习的建议 1、不定积分的计算掌握得熟练与否不仅影响着定积分的计算和应用，而且将影响到今后学习多元函数积分的计算以及微
2、分方程的求解等，因此务必给予重视.不定积分的计算中凑微分法的使用是个难点，它的基本思路是通过恒等变化积分表达式中的微分形式，使积分表达式在形式上符合基本积分公式，从而解决积分问题.要熟练掌握凑微分法，一是要熟记基本积分公式，二是熟悉常用的微分公式，三是多做多看，积累经验，熟悉技巧.分部积分法主要是针对被积函数为乘积形式的积分，其方法是将所给积分化为形如 ,然后利用公式udv，udvuvvdu其中 的选取有两个原则：一是 便于求出；二是 好积.uvvdu()1()()()对于计算不定积分具体操作的建议是，拿到一个题目首先考虑是否通过变化被积函数而可使用基本积分法则或者使用凑微分法；被积函数若含根
3、式，一般首先考虑第二换元法；被积函数若为乘积形式，仍要首先考虑可否使用凑微分法，然后考虑使用分部积分法，其中被积函数为乘积形式也可广义理解，例如，可以认为是，并且有时被积函数为一个函数时也可考虑使用分部积分法.f xf xg xg x 总之，不定积分的解法很灵活，求解途径不止一种，以下所说都是一些基本情况和常规思路，而实际上面对的情况是千变万化的，有时解法需要技巧性很强，例如，即使被积函数中无根式，也可考虑使用第二换元法等.这就要求多看多练，多总结归纳.2、对于定积分的定义应通过引入例题深刻理解，它的精要之处是“分割求近似，求和取极限”，这种数学思想在利用定积分解决实际问题中尤为重要.()利用
4、牛顿-莱布尼兹公式()()()(注意()在 ，上连续)解定积分，关键在于求出()的一个原函数()，这就把定积分问题转化成了不定积分问题.因此，从根本上说这个公式已经解决了定积分的计算问题，但在实际操作上仍有一些小技巧：若在求 的过程中需要利用第baf x dxF bF af xabf xF xF x()()babbbaaaF xF xudvudvuvvdu二换元法，可把定积分的上下积分限做相应的改变，这样就不需要把引入的新变量再还原成原来的积分变量，这个过程广义地称之为“换元变限”.若在求 的过程中需要利用分部积分法，则不需要求出 后，再利用牛顿-莱布尼兹公式，而是把被积表达式先化成 的形式，
5、然后直接用公式 计算.无穷积分是广义积分的一种，即积分区间是无穷的.从无穷积分定义来看，无穷积分是一般定积分与求极限的结合，应该说没有多少新的内容，但它在实际中的应用是很有意义的.已经知道，把火箭发射到太空所要做的功为22 为引力常数 计算的结果表明，把火箭送到无穷远处所做的功却是有限的，这不是很有趣吗?RMmGdrmgRrR gGM五、本章关键词五、本章关键词不定积分积分法定积分公式定理(二二)常见问题分类及解法常见问题分类及解法一、直接积分法求不定积分一、直接积分法求不定积分解解222212sin2 cos(1)1 求下列不定积分：(1)；(2)；(3).xdxxdxdxxxxxxx例例1
6、 1 许多不定积分先要对被积函数适当变形，根据不定积分的性质，结合代数和三角公式的恒等变形，直接利用基本积分公式求不定积分.(1)用分式拆项法，得21xdxxx222(1)(1)(1)x xxdxxxxx222(1)(1)x xxdxxx221x dxx xdx32211(1)32xxd x33221(1)33；xxc(2)用三角公式恒等变换与分式拆项法，得sin2 cosdxxx22sin cosdxxx222sincos2sin cosxxdxxx1tan seccsc2xxdxxdx1(secln|csccot|)2；xxxc(3)用分式拆项法得22212(1)xdxxx2222(1)(
7、1)xxdxxx22111dxdxxx1arctan.xcx 二、利用第一换元积分法二、利用第一换元积分法(凑微分法)求不定积分求不定积分 在不定积分的计算中，凑微分法就是根据被积函数，利用微分形式不变性，“凑”成一个在基本积分公式中的函数，求出不定积分.凑微分法比较灵活，应该通过较多的训练，将凑微分法掌握好.可以看到，许多不定积分的计算用凑微分法显得比较简单.该方法的一般计算步骤如下：()()()()凑微分 先凑微分，即 ；fxx dxfx dx()()()()()()令 再进行变量代换后积分，令，即 ；uxuxfx dxf u duF uc()()()回代 最后回代，即 这种先 凑微分式，
8、再进行变量代换的积分方法，称为第一换元 法，也称凑微分法.f u duF ucFxc应用凑微分法时，需注意运用以下几个凑微分思路：222sin2(2sin)2sin2sin 当分母函数的导数正好是分子函数时，将分子凑微分，如 xdxdxxx222111(1)2 当根号内函数的导数等于根号外函数(或相差常数倍)时，将根号外函数凑微分，如 xx dxx dxsinsinsinsincossincossincossin 通常以被积式中的复合函数的中间变量为目标凑微分，如 积分，是复合函数，以中间变量 为目标，将 凑成，即 xxxxxedxexxdxdxxedxedx2222lnln1(ln1)ln(
9、ln1)ln12ln1 有时需分步完成凑微分，如 xxdxdxdxxxxxsin cos 求不定积分 .dxxx例例2 2解解用凑微分法，得sin cosdxxx2tan cosdxxx(tan)tandxxln|tan|.xc432sin cos1 sinlntan9sin cos 求下列不定积分：(1)；(2)；(3)；(4).axxxdxdxaxxxxdxdxxxx例例3 3解解用凑微分法，得22222212()dxad axaxax(1)axdxax22axdxax1222arcsin()；xaaxca4sin cos1 sin(2)xxdxx4sinsin1 sinxdxx2221(
10、sin)2 1(sin)dxx21arctan(sin)2；xc329(3)xdxx2221()29xd xx222199()29xd xx22219(9)()229d xd xx2219ln(9)22；xxclntansin cos(4)xdxxx2lntantan cosxdxxxlntan(tan)tanxdxxlntanln(tan)xdx21ln(tan)2.xc三、利用第二换元积分法求不定积分三、利用第二换元积分法求不定积分1()()()()()()()()在不定积分的计算中，若被积函数有根式，一般都先消去根号，再求不定积分.第二类换元积分法基本思想也是消去根号，因此要具体地根据被
11、积函数的情况，选择合适的变换，使得新的被积函数 具有原函数，再从 中得出反函数 代入，即得 的原函数.当被积函数中含有被开方因式为一次式的根式 mxtfttF txttxF tf xaxb222222sintansec时，令，可以消去根号，从而求得积分.当被积函数中含有被开方因式为二次式的根式，一般地说，可进行三角代换：若被积函数含有，可进行代换；若被积函数含有，可进行代换；若被积函数含有，可进行代换.在具体解题时，要具体分析，用什么样的积分方法为好，有时用凑微分法可能会更好.maxbtaxxataxxatxaxat先换元后积分的具体计算步骤如下：()()()()()先换元，令，即 ；xtxt
12、f x dxftt dt()()()积分 再积分，即 ；ftt dtF tc1()11()()()回代 最生回代，即 .txtxF tcFxc 由以上三步组成的方法称为第二换元积分法.1()()()0()()运用第二换元积分法的关键是选择合适的变换函数.对于，需要单调可微，且，其中 是 的反函数.xtxtttxxt26666ln|1|2(回代 )tttctx321 求 .dxxx例例4 4解解6令，tx656则，xtdxt dt321所以 dxxx36121dttt53416t dttt261tdtt21 161tdtt 1611tdtt 366366ln|1|.xxxc323 求 .xdxx
13、例例5 5253513325(回代 )ttctx 解解33令，tx3233则，.xtdxt dt 323故 xdxx3223(3)ttdtt 43(5)ttdt 233 19(3)52.xxc 2233153(3)(3)(3)25xxxc 29 求 .xdxx例例6 6解解3sec令，xt3sec tan则 dxttdt29故 xdxx据题意作图如图 5-1 所示.29sec tan3secttdtt23 tan tdt23sec tdtdt3tan3ttc2393arccos.xcxtx329x 图 5-1 例 6 示意421 求 .dxxx例例7 7解解tan令，xt2sec则，dxtdt
14、421故 dxxx据题意作图如图 5-2 所示.24secsec tantdttt42(sin)(sin)sinsindtdttt2323(1)13.xxcxx tx121x图 5-2 例 7 示意311sin3sintct 四、利用分部积分法求不定积分四、利用分部积分法求不定积分,udvudv 在不定积分的计算中，当遇到两个不同类型的函数相乘时，一般用分部积分法.运用分部积分法的关键是恰当地选择 和 一般选择 和 的原则如下：要用凑微分法容易求出.v 要比 容易积出.vduudv 表 5-1 给出了适用分部积分法求不定积分的题型及 和 的选取法.udv 如果被积函数是幂函数与指数函数的乘积、
15、幂函数与正(余)弦函数的乘积、幂函数与对数函数或三角函数的乘积以及指数函数与正(余)弦函数的乘积，就可以考虑用分部积分法.表表 5-15-1 分部积分表分部积分表不定积分的题型、选取udv()axP x e dx()sinP xaxdx()cosP xaxdx()lnP xxdx()arcsinP xxdx()arctanP xxdxsinaxebxdxcosaxebxdx()uP x()uP x()uP xlnuxarcsinuxarctanuxsinubxaxuecosubxaxueaxdve dxsindvaxdxcosdvaxdx()dvP x dx()dvP x dx()dvP x
16、dxsin或axdve dxdvbxdxcos或axdve dxdvbxdx()注：其中 表示 的多项式；，为常数.P xxab2lncos(ln)求下列不定积分：(1)；(2).xxdxx dx例例8 8解解2ln(1)xxdx3222ln()3xd x32224lnln33xxxxdx3322228lnln()39xxxd x33222288lnln399xxxxxdx33322222816lnln3927xxxxxc322248lnln339；xxxccos(ln)(2)x dxcos(ln)sin(ln)xxx dxcos(ln)sin(ln)cos(ln)，xxxxx dxcos(l
17、n)cos(ln)sin(ln)2所以 .xx dxxxc21 求不定积分 .dxx x 例例9 9解法一解法一sec用三角换元法，令，xtsec tan则 得dxttdt据题意作图(见图 5-3).tx121x 图 5-3 例 9 示意21dxx x sec tansec tanttdtttdttc 1arccos；cx解法二解法二21用直接换元法，令，tx21则 xdxdtx即，有xdxtdt21dxx x 221xdxxx2(1)tdttt2(1)dttarctantc2arctan1；xc 解法三解法三1用倒数换元法，令，xt21则，得dxdtt 21dxx x 21dtt arcsi
18、ntc 1arcsin.cx 由此可见，不定积分计算要根据被积函数的特征灵活运用积分方法.在具体的问题中，常常是各种方法综合使用，针对不同的问题就采用不同的积分方法.五、可变上限的定积分对上限的求导五、可变上限的定积分对上限的求导 如果定积分的上限是 的函数，那么利用复合函数求导数公式来对上限求导；如果定积分的下限是 的函数，那么将定积分的下限变为可变上限的定积分，利用复合函数求导数公式来对上限求导；如果定积分的上限、下限都是 的函数，那么利用区间可加性将定积分写成两个定积分的和，其中一个定积分的上限是 的函数，另一个定积分的下限也是 的函数，都可以化为可变上限的定积分来对上限求导.xxxxx
19、12sin()，求 .xdyytdtdx例例1010解解21sin()因 ，xytdt 22sin()()sin()故 .dyxxxdx 003cos0 设，求 .yxtdye dttdtdx例例1111解解003cos0方程 确定了 是 的隐函数，方程两端对 求导，得yxte dttdtyxx3cos0ydyexdx3cos故 .ydyxdxe 3241()()1 已知，求 .xxF xdtF xt例例1212解解3241()1xxF xdtt3204401111xxdtdttt2344001111xxdtdttt()所以 F x2381211()()11xxxx 21283211.xxxx
20、六、利用换元积分法计算定积分六、利用换元积分法计算定积分 应用定积分的换元法时，要考虑被积函数的特点，与不定积分换元法类似，定积分的换元法也包括凑微分、简单根式代换、三角代换等.必须指出换元法中定积分与不定积分不同的是：定积分在换元时，若用新的字母表示积分变量一定要 换积分限；应用换元法计算出不定积分后，要将变量回代，即要 代回原来的积分变量.而定积分的最后结果是数值，不需要变量回代.30(1 sin)求 .d例例1313解解30(1 sin)d300sindd 200(1 cos)cosd301(coscos)343.ln8ln31 求 .xe dx例例1414解解1令，xte222ln(1
21、)1则，txtdxdttln32ln83当 时，当 时，于是xtxtln8ln31xe dx232221tdtt322221dtt3212ln1ttt2ln3ln2.七、利用分步积分法计算定积分七、利用分步积分法计算定积分 定积分的被积函数的特点与不定积分的分部积分法类似，但不必先由不定积分的分部积分法求出原函数再用牛顿-莱布尼兹公式求出原函数在积分上限和下限值的差，而直接应用定积分的分部积分法，可能会使积分简化.40cos(1)求 .xdx例例1515解解1令，xt 2(1)则 dxtdt0141当 时，；当 时，.xtxt 40cos(1)于是 xdx112(1)costtdt112(1)
22、sintdt11112(1)sin2sintttdt4sin1.1()sin ln()已知 的一个原函数是，求 .f xxxxfx dx例例1616解解()sin ln因 的一个原函数是，f xxxsin()(sin)ln cos ln故 xf xxxxxx1()于是 xfx dx1()xdf x11()()xf xf x dx11(cos)lnsin(sin)ln xxxxxxlnsin1.八、利用函数的奇偶性计算定积分八、利用函数的奇偶性计算定积分100|sin|求 .x dx例例1717解解|sin|由于 以 为周期，据周期函数积分的性质：x100|sin|x dx2210|sin|x
23、dx2020sin20.xdx0sinsin 证明：如果，是正整数，那么 .mnmnmxnxdxmn例例1818证证1sinsincos()cos()2因为 mxnxmn xmn x所以 当 时，mnsinsinmxnxdx1cos()cos()2mn xmn x dx0cos()cos()mn xmn x dx011sin()sin()0；mn xmn xmnmn当 时，mnsinsinmxnxdx2sin nxdx0(1 cos2)nx dx01sin22，xnxn0sinsin 所以 .mnmxnxdxmn(三三)思考题思考题答答 案案答答 案案答答 案案答答 案案1、凑微分法求不定积分
24、的步骤是什么？2、试写出不定积分与定积分在应用换元法时的区别是什么？4、熟记微积分基本公式即牛顿-莱布尼兹公式.23223 10?、是否正确为什么xxdx(四四)课堂练习题课堂练习题答答 案案答答 案案答答 案案答答 案案21 .1、求xdxe2 cos.、求xxedx203 sin.、求xxdx2020sin4 lim.、求xxtdtx返返 回回1、先凑微分，再进行变量代换后积分，最后回代.返返 回回2、第一：定积分在换元时，一定要将积分上、下限也作相应 变换.第二：不定积分在换元时，要将变量回代；而定积分不需 回代，它是一个数.返返 回回3 .、是正确的，因为被积函数是奇函数，它在区间-2,2 上积分为零返返 回回 4 .、bbaaf x dxF xF bF a返返 回回1、：解212211112ln 1.xxxxxxedxdxdeeeeeC 返返 回回2、：解coscossin.xxxxedxxdxe dxxeC返返 回回3、：解22220000sincoscoscosxxdxxdxxxx dx 20sinsinsin01.2x返返 回回4、：解220200sinsinlimlim0.2 2xxxtdtxxxx
