1、 1 凌源二高中 2017-2018 高二下期期末考试 数 学 试 题 卷（理科） 第 I 卷 一 .选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1已知集合 2 1,0,1,2A ? ? ? ， ， ? ?( 1)( 2 ) 0B x x x? ? ? ?,则 AB? （ ） A ? ?0,1 B ? ?1,0? C ? ?1,0,1? D ? ?0,1,2 2. “ 3a? ” 是 “ 函数 2( ) 2 2f x x ax? ? ?在区间 ( ,2? 内单调递减 ” 的 （ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件
2、D.既不充分也必要条件 3. 下列说法中正确的是 （ ） A “ ? ?00f ? ” 是 “ 函数 ?fx是奇函数 ” 的充要条件 B若 20 0 0: , 1 0p x R x x? ? ? ? ?，则 2: , 1 0p x R x x? ? ? ? ? ? C若 pq? 为假命题，则 ,pq均为假命题 D “ 若 6? ，则 1sin 2? ” 的否命题是 “ 若 6? ，则 1sin 2? ” 4.函数 ? ? ? ? ? ?1 lnf x x x x? ? ? ?的定义域为（ ） A. ? ?0xx? B. ? ? ? ?10xx? C. ? ?1xx? D. ? ?1xx? 5.
3、二项式 636ax?的展开式中 5x 的系数为 3 ，则 20axdx?（ ） A. 13 B.12 C.1 D.2 6. 已知 ()fx 是 周期为 4 的 偶 函数，当 0,2x? 时 ? ? 22, 0 1lo g 1,1 2xxfx xx? ? ? ? ? ，则? ? ? ?2014 2015ff?（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 7. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥四个面的面积中最大的是（ ） A. 5 B. 3 2 C. 352 D.35 8. PM2.5 是指空气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物（也称可 入肺颗粒物），为了探究车流量与 PM2.5 的浓度是否相关
4、，现采集到某城市周一至周五某时间段车流量与 PM2.5 浓度的数据如下表： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 车流量 x （万辆） 100 102 108 114 116 浓度 y （微克） 78 80 84 88 90 根据上表数据，用最小二乘法求出 y 与 x 的线性回归方程是（ ） A. ? 0.62 7.24yx? B. ? 0.72 6.24yx? C. ? 0.71 6.14yx? D. ? 0.62 6.24yx? 参考公式： 121( )( )()niiiniix x y ybxx?， a y b x? ? ? ；参考数据： 108x? ， 84y? ； 9.某次联欢会要安排
5、 3 个歌舞类节目， 2 个小品类节目和一个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ） A.72 B. 120 C. 144 D. 168 10. 已知椭圆 221 1 12211: 1( 0 )yxC a bab? ? ? ?与双曲线 222 2 222: 1( 0 , 0 )yxC a bab? ? ? ?有相同的焦点 12,FF，点 P 是曲线 1C 与 2C 的一个公共点， 1e ， 2e 分别是 1C 和 2C 的离心率，若1 2PF PF? ，则 22124ee? 的最小值为 ( ) A 92 B 4 C 52 D 9 11.设函数21 22 8( ) lo g (
6、1) 31f x x x? ? ? ?，则不等式212(log ) (log ) 2f x f x?的解集为（ ） A.(0,2 B. 1,22? C.2, )? D. 1(0, 2, )2 ? 12.（原创） 已知 ()fx 是定义在 1,1? 上的奇函数，对任意的 12, 1,1xx? ，均有2 1 2 1( ) ( ( ) ( ) ) 0x x f x f x? ? ?. 当 0,1x? 时， 2 ( ) ( ) , ( ) 1 ( 1 )5xf f x f x f x? ? ? ?，则3 2 9 0 2 9 1( ) ( )2 0 1 6 2 0 1 3 1 4 3 1 5( ) (
7、)2 0 1 6 2 0 1 66 ff ff ? ? ? ? ? ? ? ?（ ） A. 112?B. 6? C. 132? D. 254? 第 II 卷（非选择题，共 90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题至第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答 .第 22 题至第 24 题为选考题，考生根据要求作答 . 二 .填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 . 13. 若幂函数 ()mf x x? 的 图像过点 2(2, )2 ，则 (4)f 的值为 . 14 在 ABC? 错误 !未找到引用源。 中， 2a? ， 7b? ， 60B? 错误 !未找到引用源。 ，则错误
8、 !未找到引用源。 的面积等于 . 15（原创）若关于 x 的不等式 24 logx a x? （ 0a? ，且 12a? ） 的解集是 1 |0 2xx? ，则a 的取值的集合是 16已知函数 ? ? ? ? ?2 1 11xxxfx ex? ? ? ? ?，若 ? ? ? ?,a b f a f b?，则实数 2ab? 的取值范围为 . 三 .解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17 （ 本 题 满 分 12 分） （ 原 创 ） 已 知 函 数 2 2 1( ) 4 5 2 16xxgx ? ?， 函 数2 24( ) log 4 log (4 )xfx x? ?，记集合
9、 | ( ) 0A x g x?. （ I）求集合 A ； （ II）当 xA? 时，求函数 ()fx的值域 . 18（本题满分 12 分）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数： ? ? 31f x x? ，? ? ? ?233 , 2xf x f x?， ? ?4 21xxfx ? ? ， ? ? ? ? ? ?56s in , c o s .2f x x f x x x? ? ? （ I）从中任意拿取 2 张卡片，若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数，在此条件下，求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率； （ II）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到
10、一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数 ? 的分布列和数学期望 . 4 19（本题满分 12 分）（原创 ）如图，已知长方形 ABCD 中， 22AB? ， 2AD? ， M 为DC 的中点将 ADM? 沿 AM 折起，使得平面 ADM 平面 ABCM （ I） 求证： AD? BM ； （ II） 若点 E 是线段 DB 上的一动点， 当 二面角 E AM D?的余弦值为 22 时，求线段DE 的长 20（本题满分 12 分）（原创）已知椭圆 :C 22 142yx ?的左右焦点分别为 12,FF，直线 1l 经过椭圆的右焦点与椭圆交于 ,AB两点，且 | | 3AB?
11、. （ I）求 直线 1l 的方程； （ II）已知过右焦点 2F 的动直线 2l 与椭圆 C 交于 ,PQ不同两点，是否存在 x 轴上一定点 T ，使 OTP OTQ? ? ？（ O 为坐标原点）若存在，求出点 T 的坐标；若不存在说明理由 . 21（本题满分 12 分）（原创） 设函数 ? ? ? ? 21 mxg x x e mx? ? ?， ( ) ( ) (2 ) mxf x g x x e? ? ?，(其中 m?R ). （ I） 当 1m? 时 ,求函数 ?gx的极值 ; （ II）求证：存在 (0,1)m? ，使得 ( ) 0fx? 在 (0, )? 内恒成立，且方程 ( )
12、0fx? 在 (0, )? 内有唯一解 . 请考生在 22、 23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号 . 22 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知直线 l 的方程为 4yx? ，圆 C 的参数方程为 2cos2 2sinxy ? ? ?（ ? 为参数），以原点为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系 （ I）求直线 l 与圆 C 的交点的极坐标； （ II）若 P 为圆 C 上的动点，求 P 到直线 l 的距离 d 的最大值 2（本小题满分 10 分）选修 4-5 不等式选讲 5 已知函数 ( ) | 3|f x m x? ? ?
13、，不等式 ( ) 2fx? 的解集为 |2 4xx? . （ I）求实数 m 的值； （ II）若关于 x 的不等式 | | ( )x a f x? 恒成立，求实数 a 的取值范围 . 6 凌源二高中 2017-2018 高二下期期末考试 理科数学答案 一 .选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 . 15： BADCA； 610： DCBBA； 1112： BC 12 题 解：在 2 ( ) ( )5xf f x? 中，令 0x? 得 (0) 0f ? ，在 ( ) 1 (1 )f x f x? ? ?中，令 1x? 得(1) 1f
14、 ? ； 在 2 ( ) ( )5xf f x? 中 ， 令 1x? 得 11()52f ? ，在 ( ) 1 (1 )f x f x? ? ?中，令 15x? 得14( ) 1 ( )55ff? ， 41()52f ? ； 当 12xx? 时， 12( ) ( )f x f x? ，所以当 1455x? 时，恒有 1()2fx? 在 2 ( ) ( )5xf f x? 中，令 15x? 得 1 1 1 1 12 ( ) ( ) ( )2 5 5 2 2 5 4f f f? ? ? ?，在 2 ( ) ( )5xf f x? 中，令45x? 得 4 4 1 4 12 ( ) ( ) ( )2
15、5 5 2 2 5 4f f f? ? ? ?， 当 12xx? 时， 12( ) ( )f x f x? ，所以当 1425 25x?时，恒有 1()4fx? ， 290 3151425 2016 2016 25? 2 9 0 2 9 1( ) ( )2 0 1 6 2 0 1 3 1 4 3 1 5( ) ( )2 0 1 6 2 0 1 66 ff ff ? ? ? ? ? ? ? ?2 9 0 2 9 1 ( ) ( ) 3 1 4 3 1 5( ) ( ) 20162 0 1 6 2 0 1 06 2 1 6ffff? ? ? ?131426 2? ? 二 .填空题：本大题共 4 小
16、题，每小题 5 分 . 13. 12 ； 14.332 ;15 ? ?24 ;16 ? 1,2e ? ? ? . 三 .解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17（本题满分 12 分） 解： （ I） ( ) 0gx? 即 2 2 14 5 2 16 0xx? ?， 2 44 10 16 0xx ?，令 4 xt ? ，即有 2 10 16 0tt? ? ? 得 ( 2)( 8) 0tt? ? ? 28t? ， 2 4 8x?， 31224 4 4x?，解得 31 | 22A x x? ? ? ； （ II ） 22 2 4 4 2 2( ) ( l o g l o g 4 )
17、( l o g 4 l o g ) ( l o g 2 ) ( l o g 1 )f x x x x? ? ? ? ? ?，令223log 1,log 2ux? ? ?则 22 32 , 1, lo g 2y u u u? ? ? ? ?， 二 次 函 数 的 对 称 轴0231 1,log 22u ? ? ?，? 9 ,04y? 18（本题满分 12 分）解： ( ) ? ? 31f x x? 为奇函数； ? ?2 3xfx? 为偶函数； ? ?3 2fx? 为7 偶函数； ? ?4 21xxfx ? ?为奇函数 ; ? ? ? ?5 sin 2f x x?为偶函数； ? ?6 cosf x
18、 x x? 为奇函数，所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数 均为奇函数；另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数，一个为偶函数；基本事件总数为 1 1 23 3 3CC C? ，满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数，满足条件的基本事件个数为 23C ，故所求概率231 1 23 3 3 14CP C C C?. ( )? 可取 1,2,3,4. ? ? 1316 11 2CP C? ? ? ? ? 11331165 32 10CCP CC? ? ? ?；? ? 1113321 1 16 5 4 33 20CCCP C C C? ? ? ?; ? ? 111133211 1 1 16 5 4 3 14 20CCCCP C C C C? ? ? ?； 故 ?的分布列为 3 3 7111 2 3 42 1 0 2 0 2 0 4E ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. ? 的数学期望为 74 . 19（本题满分 12 分） （ I）证明： 长方形 ABCD 中， 4, 2AB AD?， M 为 CD 的中点， 22AM BM?，故 AM BM? A B C MA D M AA B C M A MB M A MDBCM ? ?平 面 平 面平 面 平 面平 面 BM ADM?平 面
