1、 出版社 建筑分社 画法几何与阴影透视 4.1 概述概述 4.1.1 投影变换的目的投影变换的目的第 章 投影变换 正投影的投射方向是垂直于投影面的。当直线、平面对投影面处于特殊位置时，其投影或具有真实性，或具有积聚性，或直接反映距离，或直接反映交点位置等一些特殊的投影性质。如能把空间几何元素从一般位置改变成为特殊位置，空间几何问题的求解就变得容易。出版社 建筑分社 4.1.2 4.1.2 投影变换的类型投影变换的类型 空间几何元素保持不动，用新的投影面来代替旧的空间几何元素保持不动，用新的投影面来代替旧的投影面，使空间几何元素对新投影面的相对位置变成有利投影面，使空间几何元素对新投影面的相对
2、位置变成有利于解题的位置，作出空间几何元素在新投影面上的投影。于解题的位置，作出空间几何元素在新投影面上的投影。这种方法叫变换投影面法变换投影面法，简称换面法换面法。投影体系（也即投影面）保持不动，使空间几何元投影体系（也即投影面）保持不动，使空间几何元素绕某一轴旋转到有利解题的位置，作出空间几何元素旋素绕某一轴旋转到有利解题的位置，作出空间几何元素旋转后的新投影。转后的新投影。这种方法称为旋转法旋转法。画法几何与阴影透视 出版社 建筑分社 VAHCB c bX aa bc4.2 换面法换面法a1c1b1V1X1X1 4.2.1 4.2.1 基本概念基本概念空间几何元素的位置保持不动，用新的投
3、影面来代替旧的投影面，使其对新投影面的相对位置变成有利于解题的位置，作出在新投影面上的投影并解决有关问题。V/H 体系变为V1/H 体系c1b1a1(b)cabacX新投影面V1H新轴旧投影面旧轴保留的不变投影面 画法几何与阴影透视 出版社 建筑分社 新投影面的选择必须符合以下两个基本条件：新投影面必须使空间几何元素处于有利解题的位置。新投影面必须垂直于保留投影面。VAHCBc bX aabc V1X1c1 b1a1新投影面的选择原则新投影面的选择原则 画法几何与阴影透视 出版社 建筑分社 a1aXVHa VHXX1HV1V1a1X1 V1a1aAa点的投影变换规律 点的新投影和保留投影的连点
4、的新投影和保留投影的连线，必垂直于新投影轴。线，必垂直于新投影轴。点的新投影到新投影轴的距点的新投影到新投影轴的距离，等于点本次被换掉的旧投影到本离，等于点本次被换掉的旧投影到本次被换掉的旧投影轴的距离。次被换掉的旧投影轴的距离。4.2.2 基本作图方法基本作图方法（1 1）点的一次换面点的一次换面 画法几何与阴影透视 出版社 建筑分社 点在V/H1体系中的投影 X1H1Va1VHXaAaa1H1H1X1a1X1XVHaa aa1X1a1x1a xx1x 画法几何与阴影透视 出版社 建筑分社 VXHa2aaa1XVHX1HV1（2 2）点的两次变换）点的两次变换V1X1X2H2V1H2X2a2
5、a1aAa 画法几何与阴影透视 出版社 建筑分社 VHXA aBb a bV1X14.2.3 换面法在解决定位和度量问题中的运用换面法在解决定位和度量问题中的运用 a1 b1a1b1 X1V1H ba b aXVHSC（1 1）把一般位置直线变为）把一般位置直线变为投影面平行线投影面平行线 画法几何与阴影透视 出版社 建筑分社 【例【例4.1】把一般位置直线变为H1投影面平行线。bab aXHVX1H1Va1b1TL 画法几何与阴影透视 出版社 建筑分社 VHXaAabBbH1X1X1H1Va1b1XVHaaa1（2 2）把）把投影面平行线投影面平行线变为变为投影面垂直线投影面垂直线 bbSC
6、AB（b1）a1H1(b1)画法几何与阴影透视 出版社 建筑分社 （3 3）把）把一般位置直线一般位置直线变为变为投影面垂直线（轴测示意图）投影面垂直线（轴测示意图）XHaAa b bBVV1X1H2a2 b2 a1 b1X2 画法几何与阴影透视 出版社 建筑分社 （3 3）把）把一般位置直线一般位置直线变为变为投影面垂直线（投影作图）投影面垂直线（投影作图）X2H2V1a aXVHb ba2（b2）X1HV1a1 b1 画法几何与阴影透视 出版社 建筑分社 aaX b bcc思考题思考题1 1 如何求点如何求点C C 到直线到直线ABAB的距离？的距离？X2H2V1aaXVHbba2 b2X
7、1HV1a1b1提示VH把一般位置直线变为投影面垂直线 画法几何与阴影透视 出版社 建筑分社 aaXbb cdcd思考题思考题2 2 如何求两直线如何求两直线AB AB 与与CD CD 间的距离间的距离？X2H2V1aaXVHbba2 b2X1HV1a1b1V提示H把一般位置直线变为投影面垂直线 画法几何与阴影透视 出版社 建筑分社 X2H2V1X1HV1 a2b2d2c2b1a1d1c1112121ba bdcaXVHdc21 1222【例【例4.2】求两直线AB与CD公垂线的投影及其最短距离。H2SC 画法几何与阴影透视 出版社 建筑分社 a cXVHbb ac VH Xcba bCA c
8、Ba ddDX1H1a1c1b1 d1 dX1H1V db1 a1c1d1（4 4）把一般位置平）把一般位置平面面变为变为投影面垂直面投影面垂直面 画法几何与阴影透视 出版社 建筑分社 k1X1H1Vb1a1c1 d1s1acb ba css【例【例4.3】求点S 到平面ABC的距离。SCHVX dd 画法几何与阴影透视 出版社 建筑分社 a c b bac eNkeN ddX1VH1b1a1c1d1k1ke1【例【例4.4】已知E 到平面ABC 的距离为N，求E点的正面投影e。画法几何与阴影透视 出版社 建筑分社 VH cbXCABbca abca b acXHVa1c1b1X1X1V1Hs
9、x b1a1c1V1V1c1b1a1 画法几何与阴影透视 出版社 建筑分社 a cXVHbbac d db1 a1c1d1X1H1Va2c2b2d2X2V2H1（5 5）把一般位置平）把一般位置平面面变为变为投影面平行面投影面平行面 TS 画法几何与阴影透视 出版社 建筑分社 【例【例4.5】已知点E在ABC上，距离A、B 为15，求E点的投影。a cXVHbbac d db1 a1c1d1X1H1Va2c2b2d2X2V2H11515eee1e2sx 画法几何与阴影透视 出版社 建筑分社 换换 面面 法法 小小 结结一般位置直线投影面平行线投影面垂直线新轴保留投影新轴实长投影求TL、求保留H
10、投影求保留V投影可利用积聚性一般位置平面 换两次，先新轴保留投影换成投影面平行线，再新轴实长投影换成投影面垂直线新轴平面上的投影面平行线的实长投影投影面垂直面投影面平行面新轴积聚投影可利用积聚性；求平面的、求作水平线求作正平线求TS换两次，先新轴平面上的投影面平行线的实长投影换成投影面垂直面，再新轴积聚投影换成投影面平行面 画法几何与阴影透视 出版社 建筑分社 4.3 4.3 绕垂直轴旋转法绕垂直轴旋转法 旋转法就是投影面保持不动，将空间几何元素绕某一轴旋转，使空间几何元素对投影面处在有利于解题的相对位置。此时，将问题所涉及到的其它几何元素，按“绕同一条轴，按同一方向，旋转同一角度绕同一条轴，
11、按同一方向，旋转同一角度”的“三同”原则，求出各几何元素旋转到新位置的投影，以利于解题。在绕垂直轴旋转法的投影变换中，选择什么样的垂直轴，是有利于解题的关键所在。画法几何与阴影透视 出版社 建筑分社 4.3.1 旋转轴的选择旋转轴的选择 如果要保持直线或平面如果要保持直线或平面的水平倾角的水平倾角不变，必须选垂不变，必须选垂直于直于H面的旋转轴；要保持直面的旋转轴；要保持直线或平面的正面倾角线或平面的正面倾角不变，不变，必须选垂直于必须选垂直于V面的旋转轴。面的旋转轴。a图3-21 绕垂轴旋转时的倾角XHb1VB1obOBOA 画法几何与阴影透视 出版社 建筑分社 点的旋转规律点的旋转规律 若
12、点绕某投影面的垂直轴旋转，则点在该投影面上的投影作圆周运动，在另一投影面上的投影作平行于投影轴的直线运动。oo4.3.2 4.3.2 点的旋转规律点的旋转规律VHAaoOo点绕正垂轴旋转点绕正垂轴旋转 轨迹圆平行于V面，其V投影反映实形AaAaaaaaaafffaa 画法几何与阴影透视 出版社 建筑分社 4.3.3 4.3.3 直线、平面的旋转直线、平面的旋转aabb直线旋转的投影规律b1a1a1b1 oooo 直线的旋转可用直线上两点的旋转来决定。且必须遵循绕同一轴、按同一方向，旋转同一角度的“三同原则”，以保证几何元素相对位置不改变。当直线绕垂直于某一投影面的轴线旋转时，直线在该投影面上的
13、投影长度不变长度不变.直线上各点的另一面投影则作平行于投影轴的直线运动。因此因此直线在进直线在进行绕铅垂线旋转法行绕铅垂线旋转法投影变换时，其水投影变换时，其水平面投影长度不变平面投影长度不变。同样道理，同样道理，直线绕直线绕正垂线进行旋转法正垂线进行旋转法投影变换时，其正投影变换时，其正投影长度不变。投影长度不变。（1 1）直线的旋转）直线的旋转 画法几何与阴影透视 出版社 建筑分社 （2 2）平面的旋转）平面的旋转aabb 平面旋转的投影变化规律b1a1a1b1 ccc1c1oooo 平面的旋转由不在同一直线上的三点(或其它几何要素组合)的旋转来决定。必须遵循绕同一轴、按同一方向，旋转同一
14、角度的“三同原则”，以保证几何元素相对位置不改变。当平面图形绕垂直于某一投影面的轴线旋转时，它在该投影面上的投影形状形状和大小不变和大小不变。平面上各点的另一面投影则作平行于投影轴的直线运动。因此因此，当平面绕正垂线旋转时，它的正面投影形状大小不变。当平面绕正垂线旋转时，它的正面投影形状大小不变。当平面绕铅垂线旋转时，它的水平投影形状大小不变。当平面绕铅垂线旋转时，它的水平投影形状大小不变。画法几何与阴影透视 出版社 建筑分社 VHABabb1 aB1 当直线、平面绕垂直于某一投影面的轴旋转时，它们对该投影面的倾角不变，而对另一面投影的倾角则随着旋转而改变。当过直线的端点作旋转轴时,解题更简便
15、.画法几何与阴影透视 出版社 建筑分社 把一般位置直线旋转成投影面平行线ababb1OXb1SCABab1OX 画法几何与阴影透视 出版社 建筑分社 eeabcbacb1c1a1e1a1b1e1c1把一般位置平面旋转成投影面垂直面把一般位置平面旋转成投影面垂直面 把一般位置平面旋转把一般位置平面旋转成正（铅）垂面成正（铅）垂面,实际上实际上就是把平面内的一条水就是把平面内的一条水（正）平线旋转为正（正）平线旋转为正（水）平线。水）平线。求法为：在平面中求一条水平线（BE）将BE旋转成正垂线B1E1，求得一个旋转角度。以同样大小的旋转角度将A、C两点绕B点旋转，求得正垂面A1B1C1(ABC A1B1C1)画法几何与阴影透视 出版社 建筑分社 把投影面垂直面旋转成投影面平行面abcabcb1a1实形实形a1b1 画法几何与阴影透视 出版社 建筑分社 【例【例4.6】过过M点作直线点作直线MN与直线与直线AB正交，并求垂线实长正交，并求垂线实长mababmm1a1b1m1a1b1n1n1nn 第一次旋转：将A绕铅垂线旋转成正平线，M同时旋转。则m1n1a1b1垂线已在作出。为求实长，进行第二次旋转，将AB和M一起绕正垂线旋转，把AB旋转成铅垂线。m2a2b2n2m2a2b2n2SC 画法几何与阴影透视
