1、 - 1 - 2017-2018 学年第二学期高二年级期末考试 数学 (理科 ) 试卷 （考试时间： 120分钟，满分： 150分） 一、选择题（每题 5分，共计 60 分。） 1.设集合 ? ? ? ? ? ?1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 1 , 2 , 3 , 2 , 3 , 4U A B? ? ?，则 ?)( BACU ? ( ) A.? ?2,3 B.? ?1,4,5 C.? ?4,5 D.? ?1,5 2下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） A. 1yx? B. 2yx? C. 1y x? D. |y x x? 3.设 m,n是整数，则“ m,n均为偶数” 是“ m+
2、n是偶数”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而 不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4 函数 f(x)=xcos2x在区间 0,2 上的零点个数为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 5.命题 :p 所 有有理数都是实数，命题 :q 正数的对数都是负数，则下列为真命题的是（ ） A ()pq? B pq? C ( ) ( )pq? ? ? D ( ) ( )pq? ? ? 6.已知 432a? ， 254b? ， 1325c? ，则 （ ） A.bac? B.abc? C.b c a? D.c a b? 7. 如图，长方形 ABCD 的边 2AB? ， 1BC? ，
3、 O 是 AB 的中点，点 P 沿着边 ,BCCD 与 DA运动， 记 BOP x?.将动点 P 到 ,AB两点距离之和表示为 x 的函数 ?fx，则 ? ?y f x? 的图像大致为 （ ）23424yO x2xOy42342xOy423423424yO xA. B. C. D. 8.定义在 R 上的函数 f（ x）满足 f（ x+6） =f（ x），当 -3 x -1 时， f（ x） =-（ x+2） 2，当-1 x 3时， f（ x） =x。则 f（ 1） +f（ 2） +f（ 3） +? +f（ 2012） = （ ） A.335 B.338 C.1678 D.2012 xPOD C
4、BA- 2 - 9.不等式组 的解集记为 D，有下列四个命题： p1： ? （ x， y） D， x+2y 2 p2： ? （ x， y） D， x+2y 2 p3： ? （ x， y） D， x+2y 3 p4： ? （ x， y） D， x+2y 1 其中真命题是（ ） A p2， p3 B p1， p4 C p1， p2 D p1， p3 10.若,ab是函数? ? ? ?2 0 , 0f x x px q p q? ? ? ? ?的两个不同的零点，且, , 2ab?这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则pq?的值 等于（ ） A 6 B 7 C 8 D 9 11.
5、我国古代数学名著九章算术中 “ 开立圆术 ” 曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径 . “ 开立圆术 ” 相当于 给出了已知 球的体积 V ，求其直径 d 的一个近似公式 3 169dV?. 人们还用过一些类似的近似公式 . 根据 =3.14159 判断，下列近似公式中最精确的一个是 （ ） A 3 169dV?B 32dV? C 3 300157dV?D 3 2111dV?12 已知函数 ? ?21 , 0lo g , 0xxfxxx? ? ? ?，若方程 ? ?f x a? 有四个不 同的解 1 2 3 4, , ,x x x x ， 且 1 2 3 4x x x x
6、? ? ? ，则 ? ?3 1 2 2341x x x xx?的取值范围是 （ ） A ? ?1,? ? B ? ?1,1? C ? ?,1? D ? ?1,1? 二、填空题（每题 5分，共计 20 分。） 13.设函数 2 11() 21xxfx xx? ? ? ?，则 ?)3(ff 14. 72()xxx? 的展开式 中， 4x 的系数是 _ _ (用数字作答 ). 15.已知正四棱锥 S ABCD? 中， 23SA? ，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为 16.设直线 l与抛物线2 4yx?相交于 A， B两点，与圆? ? ? ?2 2250x y r r? ? ? ?相切于点 M，且
7、M为线段 AB的中点 .若这样的直线 l恰有 4条，则 r的取值范围是 三 、 解答题 （共 70分） - 3 - 17.(12分 )在 ABC 中，内角 A B C， ， 对边的边长分别是 a b c， ， ，已知 2c? ， 3C ? （ ） 若 ABC 的面积等于 3 ，求 ab， ； （ ） 若 s in s in ( ) 2 s in 2C B A A? ? ?，求 ABC 的面积 18. (12分 )经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 1t 该产品获利润 500元，未售出的产品，每 1t亏损 300元根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示经销商
8、为下一个销售季度购进了 130t该农产品以 x（单位： t， 100 x 150）表示下一个销售季度内的市场需求量， T（单位：元）表示下一个销售季度内经销 该农产品的利润 （ ）将 T表示为 x的函数； （ ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若 x 100， 110）则取 x=105，且x=105的概率等于需求量落入 100， 110）的频率，求 T的数学期望 19. (12分 )如图，四棱锥 P ABCD? 中，底面 ABCD 为菱形，PA? 底面 ABCD ， 22AC? ， 2,PA E? 是
9、PC 上的一点，2PE EC? 。 （ 1）证明： PC? 平面 BED ； （ 2）设二面角 A PB C?为 90? ，求 PD 与平面 PBC 所成角的大小。 ECB DAP- 4 - 20. (12分 )已知椭圆2 2 12x y?上两个不同的点A，B关于直线12y mx?对称 （ 1）求实数m的取值范围； （ 2）求AOB?面积的最大值（O为坐标原点） 21. (12分 )已知函数 Raexaxexf x ? ,)( 2 （）若曲线 )(xfy? 在点 )1(,1( f 处的切线平行于 x 轴，求函数 )(xf 的单调区间； （）试确定 a 的取值范围，使得曲线 )(xfy? 上存在
10、唯一的点 P ，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点 P 。 选做题（共 10 分。请考生在第 22题、第 23题中任选一题作答。） 22、 在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲 线 1:C co s ()sinxy ? ? ? 为 参 数，以平面直角坐标系 xOy的原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线: (2 sin ) 6l cos? ? ? （ 1）将曲线 1C 上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 3 、 2倍后得到曲线 2C 试写出直线 l 的直角坐标方程和曲线 2C 的参数方程； （ 2）在曲线 2C 上求一点 P，使点 P到直线
11、 l 的距离最大，并求出此最大值 23.已知函数 f（ x） =|2x a|+a （ ）当 a=2时，求不等式 f（ x） 6 的解集； （ ）设函数 g（ x） =|2x 1|，当 x R时， f（ x） +g（ x） 3 ，求 a的取值范围 - 5 - 高二年级期末考试理科数学参考答案 一、选择题 BDADD ABBCD DD 二、填空题 13、 9131941)32()32()3( 2 ? fff 14、 84 15. 2 16.? ?24，三、解答题 17 （ 1）、 2a? ， 2b? （） 1 2 3sin23S ab C? 18.(1)当 100,130)X? 时， 5 0 0
12、3 0 0 (1 3 0 ) 8 0 0 3 9 0 0 0T X X X? ? ? ? ?， 当 (130,150X? 时 , 5 0 0 * 1 3 0 6 5 0 0 0T ?. 所以 8 0 0 3 9 0 0 0 , 1 0 0 1 3 0 ,6 5 0 0 0 , 1 3 0 1 5 0 .XXT X? ? ? ? ?（ 2）依题意可得 T的分布列如图， T 45000 53000 61000 65000 p 0.1 0.2 0.3 0.4 所以 ET=45000 0.1+53000 0.2+61000 0.3+65000 0.4=59400 19.（）证明：由 2PE EC? 得
13、 22( ,0, )33E， 所以 (2 2 , 0, 2)PC ?， 22( , , )33BE a?，(0,2 ,0)BD a? ，所以 22( 2 2 , 0 , 2 ) ( , , ) 033P C B E a? ? ? ? ?， ( 2 2 , 0 , 2 ) ( 0 , 2 , 0 ) 0P C B D a? ? ? ? ?。所以 PC BE? ,PC BD? ，所以 PC? 平面 BED ； （） 设平面 PAB 的法向量为 ( , , )n x y z? ，又 ( 0 , 0 , 2 ) , ( 2 , , 0 )A P A B a? ? ?，由0 , 0n AP n AB?
14、? ? ?得 2(1, ,0)n a? ， 设 平 面 PBC 的 法 向 量 为 ( , , )m x y z? ，又( 2 , , 0 ) , ( 2 2 , 0 , 2 )B C a C P? ? ?，由 0, 0m BC m CP? ? ? ?，得 2(1, , 2 )m a? ，由于- 6 - 二面角 A PB C?为 90 ，所以 0mn? ，解得 2a? 。 所以 ( 2 , 2 , 2)PD ?，平面 PBC 的法向量为 (1, 1, 2)m? ，所以 PD 与平面 PBC 所成角的正弦值为 | | 12| | | |PD mPD m? ?，所以 PD 与平面 PBC 所成角为
15、 6? . 20.【答案】（ 1）63m?或63?；（ 2）2. 试题分析：（ 1）可设直线 AB的方程为1y x bm? ?，从而可知22 121x yy x bm? ? ? ?有两个不同 的解，再由 中点也在直线上，即可得到关于m的不等式，从而求解；（ 2）令1t m，可 将AOB?表示为t的函数，从而将问题等价转化为在给定范围上求函数的最值，从而求解 . 试题解析：（ 1）由题意知0?，可设直线 AB的方程为1y x bm? ?，由22 121x yy x bm? ? ?， 消去y， 得2221 1 2( ) 1 02 bx x bmm? ? ? ? ?， 直线y x与椭圆2 2 1x
16、y?有两 个 不同的交点， 2 242 2 0b m? ? ? ? ? ?， ，将 AB中点2222( , )22m bM mm?代入直线 方程12mx?解得222mb m?， 。由 得63?或63m?；（ 2）令 6 6( , 0) ( 0 , )t m? ? ?，则42223222| | 112ttAB tt? ? ? ? ?，且 O到直线 AB 的距离为22121td t? ?，设AOB?的面积为()St， 221 1 1 2( ) | | 2( ) 22 2 2 2S t AB d t? ? ? ? ? ? ?，当且仅当2 12t ?时，等号成立，故AOB?- 7 - 面积的最大值为2
17、2. 21. （） 2( ) ( ) 2xxf x e a x e x f x e a x e? ? ? ? ? ? ? 由题意得： (1 ) 2 0 0f e a e a? ? ? ? ? ? ? ( ) 0 1 , ( ) 0 1xf x e e x f x x? ? ? ? ? ? ? ? 得：函数 ()fx的单调递增区间为 (1, )? ，单调递减区间为 ( ,1)? （）设 00( , ( )P x f x ； 则过切点 P 的切线方程为 0 0 0( )( ) ( )y f x x x f x? ? ? 令 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )g x f x f x x x f x? ? ? ?；则 0( ) 0gx? 切线与曲线只有一个公共点 P ( ) 0gx?只有一个根 0x 000( ) ( ) ( ) 2 ( )xxg x f x f x e e a x x? ? ? ? ? ? ? ?，且 0( ) 0gx? ? （ 1）当 0a? 时， ( ) 0 , ( ) 0g x x x g x x x? ? ? ? ? ? 得：当且仅当 0xx? 时， m in 0( ) ( ) 0g x g x? 由 0x 的任意性， 0a? 不符合条件（ lby lfx） （ 2）当 0a? 时，令0 0( ) 2 ( ) ( ) 2 0 l n ( 2
