1、 1 新疆石河子市 2016-2017学年高二数学下学期期末考试试题 理 试题总分 :150分 考试时间： 120分钟 一、选择题：本大题共 l2 个小题，每小题 5分，共 60 分 1、设 i 是虚数单位，复数 为纯虚数，则实数 a为 ( ) A、 2 B、 -2 C、 D、 2、下列四个命题中，为真命题的是（ ） A、若 a b，则 ac2 bc2 B、若 a b， c d则 a c b d C、若 a |b|，则 a2 b2 D、若 a b，则 3、已知 ： ， ： ，则 是 成立的 ( ) A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件 4、已知函数 ，
2、则函数 f(x)在点 (0,f(0)处切线方程为 （ ） A、 x-y+1=0 B、 x+y-1=0 C、 D、 5、某种商品的广告费支出 x与销售额 y（ 单位：万元）之间有如下对应数据，根据表中提供的数据，得出 y与 x的线性回归方程为 =6.5x+17.5，则表中的 m的值为（ ） A、 45 B、 50 C、 55 D、 60 6、在今年针对重启“六方会谈”的记者招待会上，主持人要从 5名国内记者与 4名国外记者中选出3 名记者进行提问，要求 3 人中既有国内记者又有国外记者，且国内记者不能连续提问，不同的提问方式有（ ） A、 180种 B、 220 种 C、 260种 D、 320
3、种 7、用数学归纳法证明 ，则当 n=k+1时左端应在 n=k 的基础上增加（ ） A、 k2+1 B、（ k+1） 2 C、 D、（ k2+1） +（ k2+2） +（ k2+3） +? +（ k+1） 2 2 8、设随机变量 N（ ， ? 2），且 P（ 1） =P（ 2） =0.3，则 P（ 2 +1） =（ ） A、 0.4 B、 0.5 C、 0.6 D、 0.7 9、已知双曲线 的一条渐近线方程是 ， 它的一个焦点坐标为（ 2，0），则双曲线的方程为（ ） A、 B、 C、 D、 10、如图所示，在一个边长为 1的正方形 AOBC内，曲 y=x2和曲线 y= 围成一个叶形图（阴影部
4、分），向正方形 AOBC内随机投一点（该点落在 正方形 AOBC内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是（ ） A、 B、 C、 D、 11、双曲 线 的离心率为 2，则 的最小值为（ ） A、 B、 C、 2 D、 1 12、已知函数 是 R上的可导函数，当 时，有 ,则函数的零点个数是 ( ) A、 0 B、 1 C、 2 D、 3 二、填空题：本大题共 4个小题，每小题 5分，共 20 分 13、（ x2 ） 6的二项展开式中 x2的系数为 _（用数字表示） 14、若 （ x2+ ） dx= +ln3，则 a的值是 _ 15、如图，在平面直角坐标系 xOy中， F是椭圆
5、=1（ a b 0）的右焦点，直线 与椭圆交于 B ， C两点，且 BFC=90 ,则该椭圆的离心率是 _. 16、在极坐标系中，曲线 C1的方程为 cos（ + ） = ， 曲线 C2的方程为 =2cos（ ），若点 P在曲线 C1上运动，过点 P作直线 l与曲线 C2相切于点 M，则 |PM|的最小值为 _ 3 三、解答题：本大题共 6小题；共 70 分 17（本题满分 10分） 已 知 a， b， c都是正实数，求证（ 1） （ 2） a+b+c 18、 （本题满分 12分） 已知函数 （）求函数 f（ x）的最小正周期； （）求函数 f（ x）在 上的值域 19、 （本题满分 12分）
6、 如图所示，是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量 (单位：吨 )的频率分布直方图 (1)求直方图中 x的值； (2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取 3位居民 (看作有放回的抽样 )，求月均用水量在 3至 4吨的居民数 X的分布列、数学期望 . 20（本题满分 12分） 某 中学将 100名髙 一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班 50人陈老师采用 A、 B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验为了解教学效果，期末考试后，陈老师对甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析，画出频率分布直方图（如图）记成绩不低于 90 分者为“成绩优秀” （）从乙班随机抽取 2名学生的
7、成绩，记“成绩优秀”的个数为 ，求 =1 的概率 （）根据频率分布直方图填写下面 2 2列联表，并判断是否有 95%的把握认为：“成绩优秀”与教学方式有关 附： K2= 21、 （本题满分 12分） 已知抛物线 y2=2px（ p 0）上一点 P（ 3， t）到其焦点的距离为 4 （ 1）求 p的值；（ 2）过点 Q（ 1， 0）作两条直线 l1 ， l2与抛物线分别交于点 A、 B和 C、 D，点甲班（ A方式） 乙班（ B方式） 总计 成绩优秀 成绩不优秀 总计 4 M， N分别是线段 AB和 CD的中点，设直线 l1 ， l2的斜率分别为 k1 ， k2 ， 若 k1+k2=3，求证：直
8、线 MN 过定点 22、 （本题满分 12分） 已知函数 f（ x） = +alnx（ a 0， a R） （）若 a=1，求函数 f（ x）的极值和单调区间； （）若在区间 1， e上至少存在一点 x0 ， 使得 f（ x0） 0成立，求实数 a的取值范围 5 2018届第二学期期末数学理科试卷答案 1.A 2.C 3.A 4.B 5.D 6.C 7.D 8.D 9.C 10.C 11.A 12.B 13. 15 14. 3 15. 16. 17.证明：（ 1）要证 即证： a2 2ab b2 即证：（ a b） 2 0 显然成立，故得证； （ 2） a， b， c都是正实数， ， , 相加
9、，化简 得 a+b+c 18.解：（ I） = = = 函数 f（ x）的最小正周期是 ； （ II） ， ， ， f（ x）的值域为 19解 (1)依题意及频率分布直方图知， 0 02 0.1 x 0.37 0.39 1，解得 x 0.12. (2)由题意知， X B(3,0.1) 因此 P(X 0) C03 0.93 0.729， 6 P(X 1) C13 0.1 0.92 0.243， P(X 2) C23 0.12 0.9 0.027， P(X 3) C33 0.13 0.001. 故随机变量 X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.729 0.243 0.027 0.001 X的数
10、学期望为 E(X) 3 0.1 0.3. 20解：（ 1）根据频率分步直方图可得成绩优秀的人数是 4， P（ =1） =， （）由频率分步直方图知，甲班成绩优秀和成绩不优秀的人数是 12， 38， 乙班成绩优秀和成绩不优秀的人数是 4， 46 根据列联表可知 =4.762， 由于 4.762 3.841， 有 95%的把握说成绩优秀与教学方式有关 21. 解：（ 1）抛物线 y2=2px 的焦点为（ ， 0），准线为 x= ， 由抛物线的定义可得， 3+ =4，解得 p=2； （ 2）证明：由题意知， k1+k2=3， 不妨设 AB的斜率 k1=k，则 CD的斜率 k2=3 k， 所以 AB
11、的直线方程是： y=k（ x 1）， CD的直线方程是 y=（ 3 k）（ x 1）， 设 A（ x1 ， y1）， B（ x2 ， y2）， 由 ，得， k2x2（ 2k2+4） x+k2=0， 则 x1+x2= ， x1x2=1， 7 所以 y1+y2=k（ x1 1） +k（ x2 1） =k（ 2+ ） 2k= ， 因为 M是 AB 的中点，所以点 M（ 1+ ， ）， 同理可得，点 N（ 1+ ， ）， 所以直线 MN 的方程是： y = （ x 1 ）， 化简得， y=（ k k2）（ x 1） + ，令 x=1，得 y= ， 所以直线 MN 过定点（ 1， ） 22.（ I）因为
12、 ， 当 a=1， ， 令 f（ x） =0，得 x=1， 又 f（ x）的定义域为（ 0， +）， f（ x）， f（ x）随 x的变化情况如下表： x （ 0， 1） 1 （ 1， +） f（ x） 0 + f（ x） 极小值 所以 x=1时， f（ x）的极小值为 1 f（ x）的单调递增区间为（ 1， +），单调递减区间为（ 0， 1）； （ II）因为 ，且 a 0， 令 f（ x） =0，得到 ， 若在区间 1， e上存在一点 x0 ， 使得 f（ x0） 0成立， 其充要条件是 f（ x）在区间 1， e上的最小值小于 0 即可 （ 1）当 a 0时， f（ x） 0对 x（ 0
13、， +）成立， 所以， f（ x）在区间 1， e上单调递减， 故 f（ x）在区间 1， e上的最小值为 ， 由 ，得 ，即 （ 2）当 a 0时， 8 若 ，则 f（ x） 0 对 x1 ， e成立， 所以 f（ x）在区间 1， e上单调递减， 所以， f（ x） 在区间 1， e上的最小值为 ， 显然， f（ x）在区间 1， e上的最小值小于 0不成立 若 ，即 1 时，则有 x f（ x） 0 + f（ x） 极小值 所以 f（ x）在区间 1， e上的最小值为 ， 由 ， 得 1 lna 0，解得 a e，即 a （ e， + ）舍去； 当 0 1，即 a 1，即有 f（ x）在 1， e递增， 可得 f（ 1） 取得最小值，且为 1， f（ 1） 0，不成立 综上，由（ 1）（ 2）可知 a 符合题意
