1、 1 沾益区第四中学 2016届高二上学期理科数学期末试卷 一、 选择题（本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60分） 1. 已知集合 2 | log 3M x x?, | 2 1, N x x k k z? ? ? ?,则 MN? A (0,8) B 3,5,7 C 0,1,3,5,7 D 1,3,5,7 2.已知命题 p：函数 f (x)=|cosx|的最小正周期为 2；命题 q：函数 y=x3+sinx 的图像关于原点中心对称，则下列命题是真命题的是 (A)p q (B) p q (C)( p) ( q) (D)p ( q) 3. 若 :1px? ， 1:1q x? ，则 p 是 q
2、 的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4.已知 等于（ ） AB C D 5.已知某三棱锥的三视图 (单位： cm)如图所示，那么该三棱锥的体积等于 3 1 正（主）视图 侧（左）视图 1 3 俯视图 （ A） 32 cm3 （ B） 2 cm3 （ C） 3 cm3 （ D） 9 cm3 6.设,mn是两条不同的直线，,?是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A若?，,?，则?B若/，,，则/mn3 3 2 C若mn?，,?，则?D若m?，/mn，n?，则?7.设0, 0ab?，若 2是22与的等比中项，则11ab?的最小值为 A.8 B.4 C
3、.2 D.1 8.阅读右侧的算法框图，输出的结果 S的值为 A. 3B.0 C. 3D. 32?9.设函数 )32sin()( ? xxf ，则下列结论正确的是（ ） )(xf 的图像关于直线 3?x 对称； )(xf 的图像关于点 )0,4(? 对称； )(xf 的图像向左平移 12? 个单位，得到一个偶函数的图像； )(xf 最小正周期为 ? ，且在 ? 6,0?上 为增函数； A. B. C. D. 10. 已 知 等 差 数 列 ?na 的前 , 20151 OBaOAaOCSn n ?若项和为 且 满 足 条 件? 2015,2 SCBAC 则 （ ） A. 22016 B.2016
4、 C. 22015 D.2015 11. 已知 ABP的顶点 A， B 分别为双曲线 x216y29 1的左、右焦点，顶点 P在双曲线上，则|sin A sin B|sin P 的值等于 ( ) A.45 B. 74 C.54 D. 7 12已知 P为抛物线 xy 42? 上的任意一点，记点 P到 y轴的距离为 d，对给定点 A（ 3， 4）， 则 |PA|+d的最小值为（ ） A 52 B 152 ? C 152 ? D 252 ? 二、填空题（本大题共 4小题，共 20分） 13.已知 O 是坐标原点，点 A 的坐标为? ?,1，若点? ?,Bxy为平面区域41xyxyx?上的一3 个动点
5、，则z OAOB?的最大值是 _. 14.命题“存在实数 ,0x 使 01)1( 020 ? mmxxm ” 是假命题，则实数 m的取值范围为 _。 15. 已知 (cos ,1, sin )a ?r ， (sin ,1, cos )b ?r ，则向量 ab?rr与 ab?rr的夹 角是 16 设双曲线 221xyab?( 0, 0)ab?的一个焦点为 F ，虚轴的一个端点为 B ，线段 BF与双曲线的一条渐近线交于点 A ，若 2FA AB?uur uuur ，则双曲线的离心率为 _ 三、解答题（ 本大题共 6小题，共 70 分） 17.(本小题满分 10分 ) 设 na 是一个公比为 (
6、0, 1)q q q?等比数列 ， 1 2 34 ,3 ,2a a a成等差数列 ,且它的前 4项和 4 15s? . （ ）求数列 na 的通项公式； （ ） 令 2 , ( 1, 2 , 3 .)nnb a n n? ? ?,求数列 nb 的前 n 项和 . 18. （ 本 题 满 分 12 分 ） 在 中 ， 角 的 对 边 分 别 为 ，且， . （ 1）求角 B的大小； （ 2）若等差数列 的公差不为零，且 =1，且 成等比数列，求的前 项和 . 19. （ 本题满分 12 分 ） 已知向量 )c o s,( s i n),s i n3,( s i n xxnxxm ? ，设函数nm
7、xf ?)( . （ ）求函数 ()fx在 30, 2? 上的单调递增区间； （ ）在 ABC? 中， a ， b ， c 分别 是角 A ， B ， C 的对边， A 为锐角，若1)62s in ()( ? ?AAf ， 7?cb ， ABC? 的面积为 32 ，求边 a 的长 4 5 20（本小题满分 12分） 某市调研学校师生的环境保护意识，决定在本市所有学校中随机抽取 60 所进行环境综合考评，成绩达到 80 分以上（含 80分）为达标， 60 所学校的考评结果频率分布直方图如图所示，其分组区间为 100,90),90,80),80,70),70,60),60,50 (1) 试根据样本
8、估计全市学校环境综合考评的达标率和中位数； （ 2）若考评成绩在 90,100内为优秀，且甲、乙两所学校考评结果均为优秀，从考评结果为优秀的学校中随机地抽取两所学校作为经验交流报告，求甲、乙两所学校至少有一所被选中的概率。 21（本小题共 12分） 如图，在 四 棱锥 P ABCD? 中，底面 ABCD 为正方形 ， PA? 底面 ABCD ， AB AP? ,E为棱 PD 的中点 . （ ）证明 :AE CD? ； （ ）求 直线 AE 与平面 PBD 所成角的正弦值 ； （ ） 若 F 为 AB 中点，棱 PC 上是否存在一点 M，使得FM AC? ，若存在，求出 PMMC 的值，若不存在
9、，说明理由 . 22 （本小题满分 12分 ） 已知椭圆22ax +22by =1（ ab0 ) 的离心率为 32 ，且过点（ 2 ，22 ). （ 1）求椭圆方程； （ 2）设不过原点 O 的直线 l ： y kx m?( 0)k? ，与该椭圆交于 P 、 Q 两点，直线 OP 、OQ 的斜率依次为 1k 、 2k ，满足 124k k k?，试问：当 k 变化时， 2m 是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由 6 理 科 数 学 参 考 答 案 1-12. DBAAAD CBDCDB 13. 6 14. 233m? 15.2? ， 16. 2 三、解答题 解： 1
10、7（ ） 因为 na 是一个公比为 ( 0, 1)q q q?等比数列 ， 所以 11 nna aq ? 因为 1 2 34 ,3 ,2a a a 成等差数列， 所以 2 1 36 4 2 ,a a a?即 2 3 2 0qq? ? ? 解得 2, 1 ( )qq?舍 . 又它的前 4和 4 15s? ， 得 41 (1 ) 1 5 ( 0 , 1 )1aq qqq? ? ? ?， 解得 1 1a? 所以 12nna ? . （ ）因为 2nnb a n?， 所以1 1 1 2 2 ( n 1 ) 1n n n niii i ib a i n? ? ? ? ? ? ? ? ? ?18. 【 解
11、 】 ：（ 1 ）由 所以，又 由， ， ，则 为钝角。，则 解得。 ? 6分 7 (2) 设 的 公 差 为 ， 由 已 知 得 ， 且 . 又 , . . ? 9分 . ? ? 12 分 19.（ 1）由题意得 3分 令 , 解得： ， ， ，或 所以函数 在 上的单调递增区间为 ， 6分 （ 2）由 得： 化简得： 又因为 ，解得： 9分 由题意知： ，解得 ， 又 ,所以 8 故所求边 的长为 . 12 分 20.(I）由频率分布直方图得，考评分不低于 分的频率为 ，所以估计全市学校的达标率为 。 中位数 76.25 . （ II）考评分在 的频率为 ，所以参加考评且结 果为优秀的学校
12、有（所）。又已知甲乙两所学校考评结果均为优秀，这 所学校分别记为：甲、乙、丙、丁、戊、己。故从中抽取 所共有 种结果 。且甲乙两所学校至少有一所被选中的有 种结果。所以甲乙两所学校至少有一所被选中的概率为 。 21. 如图，在四 棱锥 P ABCD? 中，底面 ABCD 为正方形 ， PA? 底面 ABCD ， AB AP? ,E为棱 PD 的中点 . （ ）证明 :AE CD? ； （ ）求 直线 AE 与平面 PBD 所成角的正弦值 ； （ ） 若 F 为 AB 中点，棱 PC 上是否存在一点 M，使得 FM AC? ，若存在， 求出 PMMC 的值，若不存在，说明理由 . （ ） 证明：
13、因为 PA? 底面 ABCD ， 所以 PA? CD 因为 AD CD? ， 所以 CD PAD?面 . 由于 AE PAD?面 ， 所以有 CD AE? ? 分 （ ） 解：依题意，以点 A 为原点建立空间直角E B C A D P z y x E B C D A P 9 坐标系（如图）， 不妨设 2AB AP?，可得 (2,0,0)B ， (2,2,0)C ， ( )0,2,0D ， ( )0,0,2P . 由 E 为棱 PD 的中点，得 (0,1,1)E . (0,1,1)AE?uuuv 向量 ( 2,2,0)BD ?uuur , (2,0, 2)PB ?uur . 设 ( , , )n
14、 x y z?r 为平面 PBD 的法向量，则? ? ? 00PBn BDn 即 ? ? ? 022 022 zx yx 不妨令 1y= ，可得 ?n （ 1,1,1）为平面 PBD 的一个法向量 . 所以 6cos , 3AE EF ?uuuv uuuv . 所以，直线 EF 与平 面 PBD 所成角的正弦值为 63 . （ ） 解：向量 ( 2, 2,2)CP ? ? ?uur ， (2,2,0)AC?uuur ， (2,0,0)AB?uuur . 由点 M 在棱 PC 上，设 , ( 0 1)C M C P? ? ?uuur uur . 故 ( 1 2 , 2 2 , 2 )F M F C C M ? ? ? ? ? ? ?u u ur u uur u u ur. 由 ACFM? ，得 0?ACFM ， 因此， (1 - 2 ) 2 ( 2 - 2 ) 2 0? ? ? ?，解得 34? . 所以 13PMMC? . 22.（ 1）根据题意可得：，解方程组可得 ， ，故椭圆方程为。 .4分 （ 2）当 变化时， 为定值，证明如下：由 ，把 代入椭圆方程得：；设 ， ，由二次函数根与系数关系得：。 .8分 10 因为直线 、 斜率依次是 、 ，且满足 ，所以，该式化为 ,代入根与系数关系得： ，经检验满足 。即 为定值 。 .12分
