1、数数 学学 必修必修5 第三章第三章 不等式不等式 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 34 基本不等式 abab 2 数数 学学 必修必修5 第三章第三章 不等式不等式 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 自主学习 新知突破 数数 学学 必修必修5 第三章第三章 不等式不等式 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 1了解基本不等式的代数和几何背景 2会用基本不等式进行代数式大小的比较及证明不等 式 3理解并掌握基本不等式及其变形 4会用基本不等式求最值问题和解决简单的实际问题 数数 学学 必修必修5 第三章第三章 不等式不
2、等式 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 已知代数式a2b2,2ab(a，bR)， 问题1 比较两个式子的大小 提示 a2b22ab(ab)20， a2b22ab. 问题2 “”在什么条件下成立？ 提示 ab 数数 学学 必修必修5 第三章第三章 不等式不等式 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 已知 a0，b0，代数式 ab 与 2 ab. 问题 3 比较两个式子的大小 提示 a0，b0， ab2 ab( a b)20， ab2 ab. 问题 4 不等式 ab2 ab中的“”什么时候成立？ 提示 ab 数数 学学 必修必修5 第三章第三章 不等
3、式不等式 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 基本不等式 (1)重要不等式：对于任意实数 a，b，都有 a2b2_2ab， 当且仅当_时，等号成立 (2)基本不等式：ab_ ab 2 (a0，b0)，当且仅当 _时，等号成立其中ab 2 和 ab分别叫做正数 a，b 的 _和_ ab ab 算术平均数 几何平均数 数数 学学 必修必修5 第三章第三章 不等式不等式 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 基本不等式 abab 2 (a，bR*)的应用 (1)两个正数的和为定值时， 它们的积有最大值， 即若 a0， b0，且 abM，M 为定值，则 a
4、bM 2 4 ，当且仅当 ab 时 等号成立即：abM，M 为定值时，(ab)maxM 2 4 . (2)两个正数的积为定值时， 它们的和有最小值， 即若 a0， b0，且 abP，P 为定值，则 ab2 P，当且仅当 ab 时 等号成立 数数 学学 必修必修5 第三章第三章 不等式不等式 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 1设x，y满足xy40，且x，y都是正数，则xy的最大值 为( ) A400 B100 C40 D20 答案： A 解析： xy xy 2 2400，当且仅当 xy20 时，等号成 立，故选 A. 数数 学学 必修必修5 第三章第三章 不等式不等式
5、 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 2 若 a， bR， 且 ab0， 则下列不等式中， 恒成立的是( ) Aa2b22ab Bab2 ab C.1 a 1 b 2 ab Db a a b2 解析： a2b22ab(ab)20，A 错误 对于 B，C，当 a0，则 x2 x的最小值为_ 解析： x0x2 x2 2，当且仅当 x 2 x即 x 2时取 “” 答案： 2 2 数数 学学 必修必修5 第三章第三章 不等式不等式 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 4已知函数 f(x)x a x2(x2)的图象过点 A(11,12)，求函 数 f(x)
6、的最小值 解析： 由题意知，1211 a 112，解得 a9. 所以函数 f(x)x 9 x2. 数数 学学 必修必修5 第三章第三章 不等式不等式 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 又 f(x)x 9 x2x2 9 x22 2x2 9 x228(x2) 当且仅当 x2 9 x2， 即 x5 时取“”， 即 f(x)的最小值为 8. 数数 学学 必修必修5 第三章第三章 不等式不等式 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 合作探究 课堂互动 数数 学学 必修必修5 第三章第三章 不等式不等式 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能
7、提升 利用基本不等式证明不等式 已知 a，b，c0，求证：a 2 b b 2 c c 2 a abc. 思路点拨 判断a，b，c，a 2 b ，b 2 c ，c 2 a 均大于0证a 2 b b2a 证b 2 c c2b证c 2 a a2c得所证不等式 数数 学学 必修必修5 第三章第三章 不等式不等式 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 规范解答 证明：a，b，c，a 2 b ，b 2 c ，c 2 a 均大于 0， a 2 b b2 a2 b b2a. 当且仅当a 2 b b 时等号成立. 3 分 b2 c c2 b2 c c2b. 当且仅当b 2 c c 时等号成
8、立. 6 分 数数 学学 必修必修5 第三章第三章 不等式不等式 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 c2 a a2 c2 a a2c， 当且仅当c 2 a a 时等号成立. 9 分 相加得a 2 b bb 2 c cc 2 a a2a2b2c， a 2 b b 2 c c 2 a abc. 12 分 数数 学学 必修必修5 第三章第三章 不等式不等式 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (1)在利用 ab2 ab时，一定要注意是否 满足条件 a0，b0. (2)在利用基本不等式 ab2 ab或ab 2 ab(a0，b0) 时要注意对所给代数式通
9、过添项配凑，构造符合基本不等式的 形式 (3)另外， 在解题时还要注意不等式性质和函数性质的应用. 数数 学学 必修必修5 第三章第三章 不等式不等式 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 1已知 a，b，c(0，)，且 abc1. 求证： a1 a b1 b c1 c 10. 证明： a1 a b1 b c1 c aabc a babc b cabc c 4 b a a b c a a c c b b c 数数 学学 必修必修5 第三章第三章 不等式不等式 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 422210， 当且仅当 abc1 3时取等号 a1
10、a b1 b c1 c 10. 数数 学学 必修必修5 第三章第三章 不等式不等式 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (1)已知 x2，求 x 4 x2的最小值； (2)已知 x0，y0，且1 x 9 y1，求 xy 的最小值； (3)已知 02， 且 xy15， 求 z(x1)(y2)的最大值 利用基本不等式求最值 思路点拨 利用基本不等式时，应按照“一正，二定， 三相等”的原则挖掘条件，检查条件是否具备，再利用基本不 等式解之 数数 学学 必修必修5 第三章第三章 不等式不等式 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 边听边记 (1)x2，x2
11、0， x 4 x2x2 4 x222 x2 4 x226， 当且仅当 x2 4 x2，即 x4 时，等号成立 所以 x 4 x2的最小值为 6. 数数 学学 必修必修5 第三章第三章 不等式不等式 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (2)方法一：x0，y0，1 x 9 y1， xy 1 x 9 y (xy)y x 9x y 1061016， 当且仅当y x 9x y ，又1 x 9 y1， 即 x4，y12 时，上式取等号 故当 x4，y12 时，(xy)min16. 数数 学学 必修必修5 第三章第三章 不等式不等式 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评
12、 知能提升 方法二：由1 x 9 y1，得 (x1)(y9)9(定值) 可知 x1，y9， xy(x1)(y9)10 2 x1y91016， 当且仅当 x1y93， 即 x4， y12 时， 上式取等号， 故当 x4，y12 时，(xy)min16. 数数 学学 必修必修5 第三章第三章 不等式不等式 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (3)01，y2， x10，y20. 又由 xy15，得(x1)(y2)12 z(x1)(y2) x1y2 2 236. 当且仅当 x1y2 时，z 有最大值 36. 数数 学学 必修必修5 第三章第三章 不等式不等式 自主学习 新知突
13、破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 在利用基本不等式求最值时要注意三点：一 是各项为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值， 求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理发现拆分项或 配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件. 数数 学学 必修必修5 第三章第三章 不等式不等式 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 2(1)函数 y2x2 x(x0)的最小值是( ) A2 B3 C4 D6 (2)设 x0，y0，且 2xy1，求1 x 1 y的最小值 解析： (1)y2x2 x2 2x 2 x4，当且仅当 2x 2 x，x 1 时取等号，ymin4.
14、故选 C 项 数数 学学 必修必修5 第三章第三章 不等式不等式 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (2)方法一：x0，y0,2xy1， 1 x 1 y 2xy x 2xy y 3y x 2x y 32 y x 2x y 32 2， 当且仅当y x 2x y ，即 y 2x 时，等号成立 解得 x1 2 2 ，y 21， 当 x1 2 2 ，y 21 时，1 x 1 y有最小值 32 2. 数数 学学 必修必修5 第三章第三章 不等式不等式 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 方法二：1 x 1 y 1 x 1 y 1 1 x 1 y (2xy
15、)32x y y x3 2 y x 2x y 32 2， 以下同方法一 答案： (1)C 数数 学学 必修必修5 第三章第三章 不等式不等式 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 利用基本不等式解应用题 某商品进货价为每件 50 元，据市场调查，当销售 价格为每件 x(50x80)元时，每天销售的件数为 105 x402，若 想每天获得的利润最多，则销售价应定为多少元？ 思路点拨 设出变量列函数关系式 利用基本不等式求最值作出结论 数数 学学 必修必修5 第三章第三章 不等式不等式 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 解析： 方法一：设当销售价格为
16、每件 x 元时，获得的利 润为 y，由题意知， y(x50) 105 x402 (x50) 105 x50220x50100 105 x50 100 x5020 . 数数 学学 必修必修5 第三章第三章 不等式不等式 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 x500，x50 100 x5020， y 105 20202 500， 当且仅当 x50 100 x50，即 x60 或 x40(舍去)时，等号 成立，ymax2 500. 数数 学学 必修必修5 第三章第三章 不等式不等式 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 方法二：由题意知，y(x50) 1
17、05 x402， 令 x50t，xt50(t0)， 则 y 105t t102 105t t220t100 105 t100 t 20 105 20202 500， 数数 学学 必修必修5 第三章第三章 不等式不等式 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 当且仅当 t100 t ，即 t10 时，等号成立， 此时 x60，ymax2 500. 答：当销售价格定为 60 元时，每天获得的利润最多，最多 利润为 2 500 元 数数 学学 必修必修5 第三章第三章 不等式不等式 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 在应用基本不等式解决实际问题时，应注意
18、 如下思路和方法： (1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函 数； (2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值 或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案 数数 学学 必修必修5 第三章第三章 不等式不等式 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 3某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕 捞，第一年需要各种费用12万元从第二年起包括维修费在内 每年所需费用比上一年增加4万元该船每年捕捞总收入50万 元 (1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？ (2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？ 数数 学学
19、必修必修5 第三章第三章 不等式不等式 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 解析： (1)设该船捕捞 n 年后的总盈利 y 万元则 y50n98 12nnn1 2 4 2n240n98 2(n10)2102 当捕捞 10 年后总盈利最大，最大是 102 万元 数数 学学 必修必修5 第三章第三章 不等式不等式 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (2)年平均利润为y n2 n49 n 20 2 2n 49 n 20 12， 当且仅当 n49 n ，即 n7 时上式取等号 所以，当捕捞 7 年后年平均利润最大，最大是 12 万元 数数 学学 必修必
20、修5 第三章第三章 不等式不等式 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 求函数 f(x) x23 x22的最小值 【错解】 f(x) x23 x22 x221 x22 x22 1 x222， f(x)min2. 数数 学学 必修必修5 第三章第三章 不等式不等式 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 【错因】 f(x) x23 x22 x221 x22 x22 1 x222， 此处的等号取不到 只有当x22 1 x22 时，等号成立，而此时x22 1 x22是无解的 数数 学学 必修必修5 第三章第三章 不等式不等式 自主学习 新知突破 合作探究 课
21、堂互动 高效测评 知能提升 形如 yatb t (t0)无法使用基本不等式求解时，可用函数 的单调性求解，而函数 yatb t (t0)在 0， b a 上为减函数， 在 b a， 上为增函数 数数 学学 必修必修5 第三章第三章 不等式不等式 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 【正解】 原函数变形为 f(x) x23 x22 x221 x22 x22 1 x22. 令 t x22，则 t 2， f(x)t1 t (t 2) 数数 学学 必修必修5 第三章第三章 不等式不等式 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 yx1 x在(0,1)上为减函数，在(1，)上为增函数， 又t 2， 当 t 2时， f(t)取得最小值， f(t)min 2 1 2 3 2 2 ，此时 x0.故当 x0 时，f(x)有最小值3 2 2 . 数数 学学 必修必修5 第三章第三章 不等式不等式 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 点击进入点击进入WORD链接链接 高效测评 知能提升 谢谢观看！谢谢观看！
