1、数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 12 应用举例 第1课时 正、余弦定理在实际应用中的应用 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 自主学习 新知突破 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 1熟练掌握正、余弦定理 2能够运用正、余弦定理等知识和方法求解距离、高度 和角度等问题 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究
2、课堂互动 高效测评 知能提升 如图所示，为了在一条河上建一座桥，施工前先要在河两 岸打上两个桥位桩A，B，若要测算A，B两点之间的距离，需 要测量人员在岸边定出基线BC，现测得BC50米，ABC 105，BCA45，则A，B两点的距离为_米 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 提示 在ABC中，BC50米，ABC105 ，BCA 45 ，BAC180 ABCBCA180 105 45 30 . 由正弦定理得 AB sinBCA BC sinBAC， ABBCsinBCA sinBAC 50sin 45 sin 30
3、 50 2 2 1 2 50 2(米) 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (1)基线：在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做 _ 测量中的基本术语 (2)仰角与俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平 视线和目标视线的夹角，目标视线在水平 视线上方时叫_，目标视线在水平视线 下方时叫_，如图1. 基线 仰角 俯角 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (3)方位角和方向角 从_方向_转到目标方向线所成的角叫_. 如图2，目标A的方位角为
4、135. 从_方向线到目标方向线所成的小于90的水平角叫 _，如图3，北偏东30，南偏东45. 正北 顺时针 方位角 指定 方向角 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (4)视角 观察物体的两端视线张开的_如图4. 角度 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (5)坡角与坡度 坡面与水平面所成的二面角叫_，坡面的铅直高度与 水平宽度之比叫_ ih l .如图5. 坡角 坡度 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习
5、 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 测量中的有关概念、名词、术语的应用 (1)在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度， 目的是使测量具有较高的精确度一般来说，基线越长，测量 的精确度越高 (2)准确了解测量中的有关概念、名词、术语，方能理解实 际问题的题意，根据题意作出示意图 (3)方位角的范围是0360，方向角的范围是 090. 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 1学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图，测得 AC的长度为4 m，A30 ，则其跨度AB的长为( ) A12 m B8 m
6、 C3 3 m D4 3 m 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 解析： 由正弦定理得 AB sin C AC sin B， 由题意得C120 ，B30 ， ABAC sin C sin B 4sin 120 sin 30 4 3(m) 答案： D 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 2在静水中划船的速度是每分钟40 m，水流的速度是每 分钟20 m，如果船从岸边A处出发，沿着与水流垂直的航线到 达对岸，那么船前进的方向指向河流的上游并
7、与河岸垂直的方 向所成的角为( ) A15 B30 C45 D60 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 解析： 如图， sinCAB20 40 1 2， CAB30 ，故选B. 答案： B 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 3张帅在操场上某点B处测得学校的科技大楼AE的顶端A 的仰角为，沿BE方向前进30 m至点C处测得顶端A的仰角为2 继续前进103 m至D点，测得顶端A的仰角为4，则等于 _ 解析： 画出示意图，在ABE中， 数数
8、 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 ACBC30 m，CDAD10 3 m， cosACDcos 2CD 2AC2AD2 2CD AC 10 3 230210 32 210 330 3 2 15 . 答案： 15 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 4甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60方向的B处， 两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的倍， 问甲船应取什么方向前进才能在最短时间内追上乙船？在追赶 过程中乙船行驶了多少海里？ 解
9、析： 设甲沿直线与乙船同时到C点， 则A，B，C构成一个ABC， 如图，设乙船速度为v， 则甲船速度为 3v，到达C处用时为t. 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 由题意BCvt，AC 3vt，ABC120 . 在ABC中，由余弦定理 AC2AB2BC22AB BC cos 120 ， 3v2t2a2v2t2avt. 2v2t2avta20， 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 解得vta 2(舍)或vta. BCa， 在ABC中AB
10、BCa，BACACB30 . 答：甲船应取北偏东30 的方向去追乙船，在此过程中乙 船行驶了a海里 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 合作探究 课堂互动 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 测量距离问题 在某次军事演习中，红方为 了准确分析战场形势，在两个相距为 3a 2 的军事基地C和D测得蓝方两支精锐 部队分别在A处和B处，且ADB 30 ，BDC30 ，DCA60 ，ACB45 ，如图所示， 求蓝方这两支精锐部队的距离 数数 学
11、学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 思路点拨 方法一： ADC得AD BDC得BD 解ABD得 AB 方法二： ADC得AC BDC得BC 解ABC得AB 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 边听边记 方法一：ADCADBCDB60 ， 又ACD60 ，DAC60 ， ADCDAC 3 2 a. 在BCD中，DBC180 30 105 45 ， DB sinBCD CD sinDBC， BDCD sinBCD sinDBC 3 2 a 6 2
12、4 2 2 3 3 4 a. 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 在ADB中， AB2AD2BD22 AD BD cos ADB 3 4a 2 3 3 4 a 22 3 2 a 3 3 4 a 3 2 3 8a 2， AB 6 4 a， 蓝方这两支精锐部队的距离为 6 4 a. 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 方法二：同方法一，得ADDCAC 3 2 a. 在BCD中，DBC45 ， BC sin 30 CD sin 45 ，BC
13、6 4 a， 在ABC中，AB2AC2BC22AC BC cos 45 3 4a 23 8a 22 3 2 a 6 4 a 2 2 3 8a 2， AB 6 4 a，蓝方这两支精锐部队的距离为 6 4 a. 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 求距离问题的注意事项 (1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的 三角形若其他量已知，则直接解；若有未知量，则把未知量 放在另一确定三角形中求解 (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更 便于计算的定理 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形
14、解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 1如图，货轮在海上以50海里/时 的速度沿方位角(从指北方向顺时针转 到目标方向线的水平角)为155的方向 航行为了确定船的位置，在B点处观 测到灯塔A的方位角为125.半小时 后，货轮到达C处，观测到灯塔A的方 位角为80.求此时货轮与灯塔之间的 距离(得数保留最简根号) 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 解析： ABC155 125 30 ， ACB80 (180 155 )105 . A180 30 105 45 ， 在ABC中，由正弦定
15、理可得 |BC| sin A |AC| sinABC， 5030 60 2 2 |AC| 1 2 ，解得|AC|25 2 2. 此时货轮与灯塔之间的距离为25 2 2海里 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 测量高度问题 如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C和D.现测得BCD，BDC ，CDs，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB. 思路点拨 求CBD利用正弦定理求BC 在ABC中求AB 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂
16、互动 高效测评 知能提升 解析： 在BCD中，BCD，BDC， CBD180 ()， BC sin s sin180 ，即 BC sin s sin . BC sin sin s. 在ABC中，由于ABC90 ， AB BCtan ， ABBC tan sin tan sin s. 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 测量高度时需在与地面垂直的竖直平面内构 造三角形，依条件结合正弦定理和余弦定理来解解决测量高 度的问题时，常出现仰角与俯角的问题，要清楚它们的区别及 联系测量底部不能到达的建筑物的高度问题，一般要转化
17、为 直角三角形模型，但在某些情况下，仍需根据正、余弦定理解 决 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 2如图所示，在地面上有一旗杆OP，为测得它的高度 h，在地面上取一线段AB，AB20 m，在A处测得P点的仰角 OAP30，在B处测得P点的仰角OBP45，又测得 AOB30，求旗杆的高度 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 解析： 设旗杆高度为x m. 由OAP30 ，得OA 3x， 由PBO45 ，得OBx. 在OAB中，由余弦定理得
18、 AB2OA2OB22OA OB cos AOB， 4003x2x22 3x2 3 2 ， x20. 故旗杆的高度为20 m. 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 测量角度问题 在海岸A处，发现北偏东45 方向，距离A处(3 1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75 的方向，距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以103 n mile的速度追截走私 船此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30 方 向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？ 思路点拨 画示意图在ABC中求BC和
19、ABC 在BCD中求BCD 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 规范解答 设缉私船用t h在D处 追上走私船，画出示意图， 则有CD10 3t，BD10t，2分 在ABC中，AB31，AC 2， BAC120 ， 由余弦定理，得BC2AB2AC22AB AC cosBAC ( 31)2222 ( 31) 2 cos 120 6， 6分 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 BC 6，且sinABCAC BC sinBAC 2 6 3 2
20、2 2 ， ABC45 ，BC与正北方向成90 角. 8分 CBD90 30 120 ，在BCD中，由正弦定理， 得 sinBCDBD sinCBD CD 10tsin 120 10 3t 1 2， 10分 BCD30 .即缉私船沿北偏东60 方向能最快追上走私 船. 12分 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 解决此类问题的关键是根据题意画出图形， 将图形中的已知量与未知量之间的关系转化为三角形中的边与 角的关系，运用正、余弦定理求解 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合
21、作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 3某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地南 偏东60 相距20(31)海里的海面上有一台风中心，影响半径 为20海里，正以每小时102 海里的速度沿某一方向匀速直线 前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且(3 1)小时后 开始影响基地持续2小时，求台风移动的方向 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 解析： 如图所示，设预报时台风 中心为B，开始影响基地时台风中心为 C，基地刚好不受影响时台风中心为D， 则B，C，D在一条直线上，且AD 20，AC20. 由题意AB20(
22、 31)，DC20 2， BC( 31) 10 2. 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 在ADC中，DC2AD2AC2， DAC90 ，ADC45 ， 在ABC中， 由余弦定理得cosBACAC 2AB2BC2 2AC AB 3 2 . BAC30 . 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 又B位于A南偏东60 ， 60 30 90 180 ， D位于A的正北方向 又ADC45 ， 台风移动的方向为向量CD 的方向 即北偏西45 方向
23、答：台风向北偏西45 方向移动 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 某观测站C在城A的南偏西20的方向，由城A出发的一 条公路，走向是南偏东40，在C处测得公路上B处有一人，距 C为31千米，正沿公路向A城走去，走了20千米后到达D处，此 时CD间的距离为21千米，问：这人还要走多少千米才能到达A 城？ 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 【错解】 如图，令ACD，CDB， 在CBD中，由余弦定理得 cos BD 2CD2CB2 2BD
24、 CD 20 2212312 22021 1 7， sin 4 3 7 . 在ACD中， AC sin180 21 sin 60 21 3 2 ， 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 【错因】 本题在解ACD时，利用余弦定理求AD，产 生了增解，应用正弦定理来求解 AC212 3 4 3 7 24， CD2AC2AD22AC AD cos 60 ， 即212242AD22241 2 AD， 整理得AD224AD1350， 解得AD15或AD9， 这个人再走15千米或9千米就可到达A城 数数 学学 必修必修5 第一章
25、第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 【正解】 本题为解斜三角形的应用问题，要求这人走多 少路才可到达A城，也就是要求AD的长在ACD中，已知 CD21千米，CAD60 ，只需再求出一个量即可 如图，令ACD，CDB， 在CBD中，由余弦定理得 cos BD 2CD2CB2 2BD CD 20 2212312 22021 1 7， sin 4 3 7 . 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 而 sin sin(60 )sin cos 60 sin 60 cos 4 3 7 1 2 3 2 1 7 5 3 14 ， 在ACD 中， 21 sin 60 AD sin ， AD21sin sin 60 15(千米) 这个人再走 15 千米就可到达 A 城 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 点击进入点击进入WORD链接链接 高效测评 知能提升 谢谢观看！谢谢观看！
