1、数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 23 等差数列的前n项和 第1课时 等差数列前n项和 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 自主学习 新知突破 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 1了解等差数列前n项和公式的推导过程，掌握等差数列 五个量a1，n，d，an，Sn之间的关系 2掌握等差数列前n项和公式、性质及其应用 3能熟练应用公式解决实际问题，并体会方程思想 数数 学学 必
2、修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 如图，某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢 管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根 问题1 共有几层？图形的横截面是什么形状？ 提示 六层 等腰梯形 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 问题2 假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆钢管，如 图所示，则这样共有多少钢管？ 提示 (49)678. 问题3 原来有多少根钢管？ 提示 1 27839. 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突
3、破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 问题4 能否利用前面问题推导等差数列前n项和公式Sn a1a2an? 提示 Sna1a2an Snanan1a1 相加：2Sn(a1an)(a2an1)(ana1)n(a1an) Snna 1an 2 . 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和 公式 Sn_ Sn_ na1an 2 na1nn1 2 d 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提
4、升 对等差数列前n项和公式的理解 (1)等差数列的前n项和公式有两种形式，涉及a1，an，Sn， n，d五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量，解答方 法就是解方程组 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (2)当已知首项a1和末项an及项数n时，用公式Sn na1an 2 来求，用此公式时常结合等差数列的性质 (3)当已知首项a1和公差d及项数n时，用公式Snna1 nn1 2 d来求和 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 1设Sn是等差数列a
5、n的前n项和，若S735，则a4 ( ) A8 B7 C6 D5 答案： D 解析： 由Snna 1an 2 得 S77a 1a7 2 72a 4 2 35. a45. 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 2在等差数列an中，a21，a45，则an的前5项和S5 ( ) A7 B15 C20 D25 答案： B 解析： 利用等差数列的性质求解 an是等差数列，a2a42a315，a33， S55a 1a5 2 52a 3 2 5a35315. 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究
6、 课堂互动 高效测评 知能提升 3在等差数列an中，a11，a3a514，其前n项和Sn 100，则n_. 答案： 10 解析： a3a5a1a714，a713. 又a7a1(71)d，d131 6 2. Snna1nn1d 2 . n1nn1 2 2100. 解得n10或n10(舍) 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 4在等差数列an中，a610，S55，求a8和S8. 解析： 方法一：设数列an的首项a1，公差d，由已 知，得 a15d10， 5a11 254d5， 得 a15， d3. a8a17d57316.
7、S88 2(a1a8) 8 2(516)44. 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 方法二：由已知，得S6S5a651015， S66a 110 2 15， a15，da 6a1 61 3， a8a17d57316， S88a 1a8 2 44. 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 合作探究 课堂互动 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 与前n项和有关的基本量的运算 在等差数
8、列an中， (1)a1105，an994，d7，求Sn； (2)a11，an512，Sn1 022，求d. 思路点拨 将等差数列问题利用化归思想转化为基本量 的关系，再利用方程的思想来解决，是通性通法 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 边听边记 (1)由ana1(n1)d，且a1105，d7，得 994105(n1)7，解之得n128. Snna 1an 2 128105994 2 70 336. (2)由Snna 1an 2 n1512 2 1 022.解之得n4.又由 ana1(n1)d，即5121(41)d，解之
9、得d171. 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 一般地，等差数列的五个基本量a1，an，d， n，Sn，知道其中任意三个量可建立方程组，求出另外两个 量，即“知三求二”问题，若能巧妙地利用等差数列(或前n项 和)的性质会使计算更简便 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 1已知等差数列an中， (1)d2，an11，Sn35，求a1和n； (2)a2a519，S540，求a10. 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破
10、 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 解析： (1)由 ana1n1d， Snna1nn1 2 d， 得 a12n111， na1nn1 2 235， 解方程组得 n5， a13 或 n7， a11. 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (2)由题设可得 2a15d19， 5a1551 2 d40， 即 2a15d19， a12d8， 解得 a12， d3， 故 a1023(101)29. 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 与前n项和有关的最
11、值问题 已知等差数列an中，a19，a4a70. (1)求数列an的通项公式； (2)当n为何值时，数列an的前n项和取得最大值 思路点拨 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 规范解答 (1)由a19，a4a70， 得a13da16d0， 2分 解得d2， 4分 ana1(n1) d112n. 6分 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (2)方法一：a19，d2， Sn9nnn1 2 (2) 8分 n210n (n5)225 10分 当n5时，Sn
12、取得最大值. 12分 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 方法二：由(1)知a19，d20，n6时，an0，d0. Snna1nn1 2 d47 nnn1 2 2 n248n(n24)2242 当n24时，Sn取得最小值 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (2)依题意得5(a17d)a14d8， 5(297d)294d8. 解得d4. Snn29nn1 2 (4)2n231n 2 n31 4 231 2 8 当n8时，Sn最大值 Sn最大为282
13、318120. 答案： (1)C (2)120 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 求数列|an|的前n项和 在等差数列an中，a160，a1712，求数 列|an|的前n项和 思路点拨 本题实际上是求数列an前n项的绝对值之 和由绝对值的意义知我们应首先分清这个数列的哪些项是负 数，哪些项是非负数由于已知数列an是首项为负数的递增 数列，因此应先求出这个数列从首项起共有多少项是负数，然 后再分段求出前n项的绝对值之和 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知
14、能提升 解析： 数列an的公差da 17a1 171 1260 171 3， ana1(n1)d60(n1)33n63. 由an20. 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 已知等差数列an的项先负后正，求数列 |an|的前n项和Tn，步骤如下： (1)求an：即an的通项公式； (2)判号：利用通项公式，判断前多少项为负数(假设前m项 为负数)； 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (3)求和：当nm时，TnSn； 当nm时，因为前m项为负数，故要
15、先把前m项变成正 数，即把Sm变成Sm再加上从第m1项到第n项的和即Sn Sm， 此时TnSm(SnSm)Sn2Sm. 综上Tn Sn nm， Sn2Smnm. 若数列中有一项为零，那么这一项归入哪一段都可以 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 3已知等差数列an的前n项和为Sn，a24，S8a8， 求数列|an|的前n项和Tn. 解析： 设等差数列an的公差为d， 由S8a8得8a1881 2 da17d， 则a13d. 又a2a1d4， d2，a16. an6(n1)22n8. Snna 1an 2 n62n4 2
16、n(n7) 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 由an0解得n4，即数列an前3项为负数，第4项为0， 从第5项开始为正数 当n4时，TnSnn(7n)， 当n4时，TnSnS4(S4) Sn2S4n(n7)24(47) n27n24 Tn n7n，n4， n27n24，n4. 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 在等差数列an中，an3n31，记bn|an|，求数列bn 的前30项和 【错解】 an为等差数列， bn也为等差数列 又bn|an|3
17、n31|， b128，b3059. 数列bn的前30项和 S3030b 1b30 2 30 2859 2 1 305. 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 【错因】 错把bn也当作等差数列，实际上解此题的关 键是搞清绝对值符号内的an的正负，易知当n10时，an0. 【正解】 S30|a1|a2|a30| (a1a2a10)(a11a12a30) 10a 1a10 2 20a 11a30 2 145610 755. 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 点击进入点击进入WORD链接链接 高效测评 知能提升 谢谢观看！谢谢观看！
