1、 线线 性性 代代 数数 第三节第三节 1.3 行列式的性质行列式的性质内内 容容复复 习习111212122212nnnnnnaaaaaaaaa 1 2121 21()2(1)nnnN j jjjjjj jnja aa11 21 22()12(1)nnnN iiiiniiiiia aa1 212222111()()(1)nnn nnj jjN i iiiijjji jNjjaaaijna 1.3 行列式的性质行列式的性质111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa行列式行列式D中中第第i 行第行第j 列列位置上的元素：位置上的元素：ija 在在DT中中位于位于第第j 行第行第i
2、列列位置上：位置上：.ija112111222212nnTnnnnaaaaaaDaaa 为简化行列式的计算，下面讨论行列式的性质。为简化行列式的计算，下面讨论行列式的性质。先看转置的行列式。先看转置的行列式。称行列式称行列式DT为为D的转置行列式。的转置行列式。1120535001D 如TD 性质性质1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等,即即.TDD 证明证明 对于对于D中的每一项：中的每一项：1 212121nnjN jjnjjjaaa，1212njjnjaaa也是也是DT中的一项（不算负号中的一项（不算负号)其符号为：其符号为：1 2(12)1nN j jjNn所以，所
3、以，D=DT。：行列式中的行列式中的行与列行与列具有具有相同相同的地位。的地位。行列式的行列式的行具有行具有的性质的性质,它的它的列也同样具有列也同样具有.积积 1 21nN j jj 1001505231 性质性质2 交换行列式的两行交换行列式的两行(列列),行列式变号行列式变号.证明证明 设设n阶行列式阶行列式11121211122nnnnniijnijjnaaaaaDaaaaaaa121112111212ijjRRinnnnjjnniinaaaaaaDaaaaaa i行行j行行积积 11injikkknkjaaaa既是既是D中的项，也中的项，也【完】是是 D1中的项中的项（不算符号）（不
4、算符号）11injikkknkjaaaa而该项在而该项在D中符号为中符号为：1()(1)njikNkkk 1()1jinkN kkk 所以，所以，D=D1 1 2()1injN k kkkk 在在D1中中符号符号为为：【完】（1）交换交换 i，j两行（列）记为两行（列）记为()ijijRR CC（2）主要用途在于化简主要用途在于化简：如 23115(1)006032rr13532(2)314111rr推论推论1 若行列式中有两行（列）的对应元素相同，若行列式中有两行（列）的对应元素相同，则此则此行列式行列式111252131如，0【完】1150320061812111314532cc11113
5、4352【？】【？】为零为零。性质性质3 用数用数k乘行列式乘行列式D的某一行（列），等于的某一行（列），等于 用数用数k乘此行列式。即：乘此行列式。即：1111212112nniiinnnnkakaaaaDaaaka证明证明 11111ininN jjjijjnjDkaaa irki（ck）。（1）第第i行行(列列)乘以乘以k，记为，记为（2）从左到右：）从左到右：行列式中一行（列）的公因式可提到行列式外；行列式中一行（列）的公因式可提到行列式外；从右到左：从右到左：用数用数k乘行列式的一行乘行列式的一行(列列),等于用等于用 k 乘此行列式。乘此行列式。111linniN jjjjijnj
6、aakkDa 121111212nnninniink aaaaaaaaakD2464281064如31232214,532116 36112111推论推论2 行列式的某一行行列式的某一行(列列)中所有元素全为零，则中所有元素全为零，则行列式行列式问：若问：若n阶行列式阶行列式D中零元素的个数多余中零元素的个数多余 2(1)nnn n个，则个，则D？【0】推论推论3 行列式中若有两行行列式中若有两行(列列)元素成比例元素成比例,则此则此行列式为零行列式为零.例如，例如，2413635104【因为第一列与第二【因为第一列与第二 列对列对 应元素成比例】应元素成比例】0为零。为零。解解 111213
7、21222331323362103535aaaaaaaaa111213212223313233352 3535aaaaaaaaa 235 111213212223313233aaaaaaaaa例例1 设设 1112132122233132331,aaaaaaaaa111213212223313233621035.35aaaaaaaaa求235 130 证明证明 设设 则则 TD 有有1213121312312232330000nnnnnnaDaaaaaaaaaaa 例例2 证明证明:奇数阶奇数阶反对称行列式的值为零。反对称行列式的值为零。由由,TDD所以，当所以，当n为奇数时，为奇数时，1nD
8、D 0.D(1)nD 性质性质 4 若行列式的某一行（列）的元素都是两若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，数之和，则该行列式等于两个行列式之和，即则该行列式等于两个行列式之和，即12111211212nniiinnniniinbbaaaaaaaaab121112112ninnnniinaaaaaaaaai行行121112112.innnnnniiaabbabaaa证明证明 1111iininN jjjjnjiijjaaab 111lininN jjnjijjjaaa 上述结果可推广到有限个和的情形。如：上述结果可推广到有限个和的情形。如：111lininN jjnjijjjaba 125
9、33 2022 21153021 21533 202121515153030302121221 只限于行列式的只限于行列式的一行一行(列列)的元素都是两数之和。的元素都是两数之和。0一般来说下式是不成立的：一般来说下式是不成立的：左左=右右3 1224012,123013 如15)40()29(022131233 122321212301320 所以1111121221212222abababab【应等于？】【应等于？】【四个行列式之和】【四个行列式之和】1112111221222122aabbaabb【完】性质性质 5 将行列式某一行（列）的所有元素同将行列式某一行（列）的所有元素同乘以数乘
10、以数k后加于另一行（列）对应位置的元素上，后加于另一行（列）对应位置的元素上，行列式不变。即：行列式不变。即：11121121212sssnnnnnniiinaaaaaaaaaaaa1211112122112iiinsssnssnsnnnnnaaakkkaaaaaaaaaaaa证明证明 由性质四，右由性质四，右=1212111211122sssnsnnniiinsnnnsaaaaaaaaaaakkakaaa右右=11121122211ssiisnnnnnninaaaaaaaaaaaa+【完】11121112212nnnnnsssnsssnaaaaaakakakaaaa=左左ijrkr。以数以数
11、k乘乘j行加到行加到i行上，记为行上，记为 以数以数k乘乘j列加到列加到i列上，记为列上，记为ijckc。若行列式若行列式D中某中某一行元素是另外若干行对应元一行元素是另外若干行对应元 素之和素之和，则，则D？【0】如如111111222223333344444xxxx111111222222333333?abbccaabbccaabbcca【0】性质性质5将行列式化为三角行列式最有用。将行列式化为三角行列式最有用。11111(1)(2)(3)(4)xxxx如如103313x 00112x 0003 1x 00004x 将行列式的其余各行同时加到某一行，行列式将行列式的其余各行同时加到某一行，
12、行列式 的值不变。的值不变。.3111131111311113D例如计算例如计算解解【注意到行列式中各行（列）【注意到行列式中各行（列）4个数之和都为个数之和都为6】12346661311113111613rrrrD1613111111131316111r 21314111112000000600022rrrrrr4832973(1)119821991再如再如23333112121100cc0112(2)1112311125 011001 1120210551125 011021问：31125134(1).20111533D（1）40【完】5122小结：小结：1.转置行列式，反对称行列式转置行
13、列式，反对称行列式 下节课内容：下节课内容：行列式的性质行列式的性质 作业：习题作业：习题1.3【完】【完】2.行列式的性质行列式的性质153.行列式为零的结论。行列式为零的结论。行列式的计算行列式的计算 1.复习 2.内容第四节第四节 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.即即 .TDD 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）,行列式变号行列式变号.推论推论 如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此行列式为零则此行列式为零.行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数一数k k，等于
14、用数，等于用数k k 乘此行列式乘此行列式.推论推论2 2行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零式为零若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,则这个行列式等于两个行列式之和则这个行列式等于两个行列式之和.把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列加到另一列(行行)对应的元素上去，行列式不变对应的元素上去，行列式不变二、行列式的值为零的性质二、行列式的值为零的性质（1）（6）二、行列式的计算二、行列式的计算1.简单、特殊的行列式可以简单、特殊的
15、行列式可以按定义计算。按定义计算。2.一般行列式的计算，常用行列式的性质，把它化简一般行列式的计算，常用行列式的性质，把它化简 或化简后再化为三角行列式来计算。或化简后再化为三角行列式来计算。3.行列式的计算方法多，技巧性大，要注意撑握基行列式的计算方法多，技巧性大，要注意撑握基 本方法与基本方法与基 本题型。本题型。4.数字行列式一般要化为上（下）三角行列式，数字行列式一般要化为上（下）三角行列式，基本原则是：基本原则是：由性质使左上角第一个数为由性质使左上角第一个数为“1”，且后续计算量小；，且后续计算量小；依次使第一列第一个数、第二列第二个数、依次使第一列第一个数、第二列第二个数、以以下
16、元数下元数全为全为“0”，5.文字行列式，文字行列式，n阶行列式一般要分析清楚其结构，按阶行列式一般要分析清楚其结构，按类型来求解。类型来求解。下面分别介绍常见行列式的类型与计算方法。下面分别介绍常见行列式的类型与计算方法。【完】1.数字行列式一般要化为三角行列式数字行列式一般要化为三角行列式例例1 计算行列式计算行列式8231351203411442393解解231120485133142394D2381125014134341rr0012812rr12500432301250012143003212500121400050330320 125023814433204013111122211
17、1122211112221111222练习211112111112116111251 61111010050010160001【完】0121071740033 2.某一行（列）加到其它各行（列）某一行（列）加到其它各行（列）例例2 解方程解方程.0113211232113221132111321xaaaaaaaxaaaaaaaxaaaaaaaxaaaaaaaannnnnnnnnnnn解解 第一行的第一行的1倍加到其它各行，得倍加到其它各行，得1123111231122311232112311nnnnnnnnnnnnaaaaaa a axaaaaaaaxaaaaaaaxaaaaaaax 1000
18、0ax20000ax20000nax10000nax112210nnaaxaxaxax解得方程的解得方程的n1个根为：个根为：11222211,.nnnnxa xaxaxa注：此题也可由观察得到注：此题也可由观察得到 观察法（析因子法）观察法（析因子法）当当x分别取分别取 a1，a2，an-1时：时：第第2，3，n列与第一列成比例，行列式列与第一列成比例，行列式为零，方程有根：为零，方程有根：11222211,.nnnnxa xaxaxa11222211,.nnnnxa xaxaxa 又方程为又方程为 x的的n1次多项式，次多项式，最多有个最多有个n1根根，所以根为：所以根为：22512352
19、2323152319xDx如计算行列式：如计算行列式：解解 因为因为x=1时，第一、二两行相等时，第一、二两行相等 x=2时，第三，四两行相等时，第三，四两行相等于是，四次多项式于是，四次多项式 Dk(x21)(x24)D=0又因为又因为D中中 x4 的系数为的系数为5与与所以，所以，D1(x21)(x24)【完】【完】（1）N（3214）4之和之和,3.各行（列）都加到同一行（列）各行（列）都加到同一行（列）如果行列式各行（列）元素之和都是如果行列式各行（列）元素之和都是常数，常数，则常用的方法是：则常用的方法是：将各行将各行(列列)均加到第一行（列）；均加到第一行（列）；第一行（列）提出公
20、因式；第一行（列）提出公因式；将行列式化为将行列式化为三角行列三角行列式计算。式计算。【如下例】【如下例】例例3 计算(1)abbbbabbbbabbbba (2)xyxyyxyxxyxy 解解（1）abbbbabbbbabbbba 1111(1)babbbbabbbbaanb其它各行都加到第一行，提出公因式其它各行都加到第一行，提出公因式第一行的（第一行的（b）倍加到其它各行，得）倍加到其它各行，得同加到1列b000a b000a b 000a b000001111(10)0000abababban1(1)()nanb ab(2)xyxyyxyxxyxy1112()yxyxxyxxyy111
21、2()xy222()()xyxxyy332()xy 展开计算同加到1行yx-y完0 xxy0yx 如何计算：如何计算：aabbbbbbDbbbbbbaa (11)2(1)(1)(nn nanb ab4.逐行（列）相加减逐行（列）相加减由上而下，由上而下，由下而上由下而上；由左向右，；由左向右，由右向左由右向左逐行（列）逐行（列）相加减计算行列式也是常用的方法。相加减计算行列式也是常用的方法。例例4 计算计算 1122310000000000(1)00011111nnnaaaaaDaa 100011100001100(2)000100011解解 (1)将第将第1列加至第列加至第2列，列，1122
22、3000000000000011111nnaaaaaaa然后第然后第2列加至第列加至第3列，列，再将第，再将第n列加到第列加到第n1列，得：列，得：1 2(1)nna aa(2)20002a30003a000nan00010n 100011100001100(2)0001000011 由上向下:各行的（1）倍加到下一行101(1)nnn 为偶数2为奇数10001110000110000010000110101021(0001)21(00)01n11(0001)0n 例例5 计算计算.3610363234232dcbacbabaadcbacbabaadcbacbabaadcbaD解解 从第从第4
23、行开始，后一行减去前一行。行开始，后一行减去前一行。114a.2324323631063abcdaa ba b ca b c dDaa bab cabc daa bab cabc d 3630aa bab c2320aa bab c0aa ba b c 003aa b002aa b000a练习练习 （1）222111abcabc222111abcabc解解a0111)()b bacabcca（)()10011bacab bac ca（a000()(111)bacaca cbb()()()ba ca cb三阶范德蒙行列式（2）计算三对角行列式三对角行列式（三斜线行列式）（三斜线行列式）21000
24、0121000012000000121000012nD 解解三对角行列式一般用三对角行列式一般用下节的展开、递推来下节的展开、递推来计算，此类数字行列计算，此类数字行列式化为三角行列式，式化为三角行列式，较简单。较简单。2 1 00 0 01 2 10 0 00 1 20 0 00 0 01 2 10 0 00 1 2 122100001000020001000121000012302 2300430 00341nn100001nn000001nn21000010000000000132431100000000nnnn 1n5.箭形（爪）行列式箭形（爪）行列式 行列式中非零元的形状或化简后的形
25、状为行列式中非零元的形状或化简后的形状为箭形。箭形。其解法如下例：其解法如下例：例例6 计算计算 1231111111111111111naaaa1 2(0)na aa 解解1231111111111111111naaaa11211310000011011naaaaaaa箭形提a1提a2提a3提an1211310000011011naaaaaaa 提a1提a2提a3提an111111a1a21010a31001a2a3a1100nana12312300011111111110100nnaaaaa a aa23311200111100010001101niinnaaaa a aaa同加到第一列i
26、列不提ai11()?iiaccaniinaaaaa1321)11(练习：练习：1234123412341234(,1,2,3,4)iixaaaaxaaDxa iaaxaaaax答案1234123412341234xaaaaxaaDaaxaaaax11122113123311444000000axxaaxxaaxxaxaaa4411()1iiiiiiiaDxaxa按箭形行列式计算方法，得按箭形行列式计算方法，得【完】6.灵活灵活 6.灵活灵活 例例7 计算计算 1111111111111111aabb解解:1111111111111111aabb11提a提b1111111111111111aab
27、b00aa00bb11000011ab000a000b022a b例例8计算计算n阶行列式阶行列式 111213122223213313233123nnnnnnnnabababababababababababababababab 解解111213122223213313233123nnnnnnnnnabababababababababDababababababab 121212121bbbbbbbb31313131bbbbbbbb两列成比例两列成比例所以nD111221()()0123abaabbnnn？111Dab11ab111222122ababDabab1221()()aabb课堂练习课堂练习1.计算行列式计算行列式 1111111111111111xxDxx4x2.计算行列式112111221【第一列的（1）倍加到第二列】提问与解答环节Questions And Answers谢谢聆听 学习就是为了达到一定目的而努力去干,是为一个目标去战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard,Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
