1、第三篇第三篇:勒让德多项式勒让德多项式本篇主要内容：本篇主要内容：勒让德多项式及球函数；贝塞勒让德多项式及球函数；贝塞尔函数和柱函数尔函数和柱函数.本篇重点：勒让德多项式和贝塞尔函数本篇重点：勒让德多项式和贝塞尔函数.本篇特点：加强了思维能力的训练本篇特点：加强了思维能力的训练,以及计算机以及计算机仿真绘图在特殊函数中的应用仿真绘图在特殊函数中的应用.第十九章第十九章 勒让德多项式勒让德多项式 球函数球函数19.1 勒让德方程及其解的表示勒让德方程及其解的表示19.1.1 勒让德方程勒让德方程 勒让德多项式勒让德多项式在分离变量法一章中，我们已经知道拉普拉斯方程在分离变量法一章中，我们已经知道
2、拉普拉斯方程0sin1)(sinsin1)(12222222ururrurrr222dd2(1)0ddRRrrl lRrr （19.1.1）在球坐标系下分离变量后得到欧拉型常微分方程在球坐标系下分离变量后得到欧拉型常微分方程和和球谐函数方程球谐函数方程22211sin(1)0sinsinYYl lY（19.2）(19.1.2)式的解式的解(,)Y 与半径与半径r无关，故称为无关，故称为球谐函数球谐函数，或简称为，或简称为球函数球函数球谐函数方程进一步分离变量，令球谐函数方程进一步分离变量，令(,)()()Y 得到关于得到关于的常微分方程的常微分方程 221ddsin(1)0sinddsinml
3、 l（19.1.3）称为称为l阶阶连带勒让德方程连带勒让德方程.令令cosx 和和()()y xx 把自变数从把自变数从换为换为x，则方程（，则方程（19.1.3）可以化为下列）可以化为下列l阶阶连连带勒让德方程 形式的形式的l22222dd(1)2(1)0dd1yymxxl lyxxx（19.1.4）若所讨论的问题具有旋转轴对称性，即定解问题的解与若所讨论的问题具有旋转轴对称性，即定解问题的解与无关，则无关，则0m，即有，即有1dsin(1)0sinddl ld （19.1.5）称为称为l阶阶勒让德（勒让德（legendre）方程）方程 同样若记同样若记 arc cosx，()()y xx，
4、则上述方程也可写为下列，则上述方程也可写为下列形式的形式的l阶勒让德方程阶勒让德方程2dd(1)(1)0ddyxl lyxx (19.1.6)1912 勒让德多项式的表示勒让德多项式的表示1.勒让德多项式的级数表示勒让德多项式的级数表示我们知道：在自然边界条件下，勒让德方程的解我们知道：在自然边界条件下，勒让德方程的解()lP x为为 220(22)!P()(1)2!()!(2)!lklkllklkxxk lklk （19.1.7）式中式中 ,22 (0,1,2,)12,212llnlnlln上式具有多项式的形式，故称上式具有多项式的形式，故称P()lx为为l阶阶勒让德多项式勒让德多项式勒让德
5、多项式也称为勒让德多项式也称为第一类勒让德函数第一类勒让德函数式（式（19.1.7）即为）即为勒让德多项式的级数表示勒让德多项式的级数表示注意到注意到cosx,故可方便地得出前几个勒让德多项式故可方便地得出前几个勒让德多项式:0P()1x 1P()cosxx2211P()(31)(3cos 21)24xx3311P()(53)(5cos33cos)28xxx42411P()(35303)(35cos420cos29)864xxx53511P()(637015)(63cos535cos330cos)8128xxxx642611P()(2313151055)(231cos6126cos4105co
6、s250)16512xxxx勒让德多项式的图形可通过计算机仿真勒让德多项式的图形可通过计算机仿真(如如MATLAB仿真仿真)得到得到 图 19.1 计算计算P(0)l，这应当等于多项式，这应当等于多项式P()lx的常数项的常数项 如如l为为21n（即为奇数）时，（即为奇数）时，21P()nx则则只含奇只含奇 数次幂，不含常数项，所以数次幂，不含常数项，所以21P(0)0n（19.8）2ln（即为偶数）时，（即为偶数）时，则则2P()nx含有常数项，即含有常数项，即（19.7）中）中 2kln的那一项，所以的那一项，所以 2(2)!(21)!P(0)(1)(1)2!2!(2)!nnnnnnnnn
7、n （19.9）式中记号式中记号(2)!(2)(22)(24)6 4 2nnnn 而而(21)!(21)(23)(25)5 3 1nnnn 因此因此，(2)!(2)!(21)!nnn2 勒让德多项式的微分表示勒让德多项式的微分表示 21dP()(1)2!dlllllxxlx（19.1.10）上式通常又称为上式通常又称为勒让德多项式的罗德里格斯（勒让德多项式的罗德里格斯（Rodrigues）表示式表示式下面证明表达式下面证明表达式(19.1.10)和（和（19.1.7）是相同的）是相同的【证明证明】用二项式定理把用二项式定理把lx)1(2展开展开lkkllklkkkllllxklkxkklllx
8、l022022)!(!21)1()1()(!)!(!21)1(!21把上式对把上式对x求导求导l次凡是幂次次凡是幂次(22)lkl的项在的项在l次求导过程中成为零，所以只需保留幂次次求导过程中成为零，所以只需保留幂次(22)lkl的项，即的项，即2lk 的项，应取的项，应取max 2lk，并且注意到，并且注意到 222d(22)(221)22(1)dllklklxlklklklxx因此有因此有22 220 201d(22)(221)(21)(1)(1)2!d2!()!(22)!(1)P().2!()!(2)!llllklklllkklkllklklklkxxlxk lklkxxk lklk3.
9、勒让德多项式的积分表示勒让德多项式的积分表示根据柯西积分公式的高阶导数，并取正方向积分有根据柯西积分公式的高阶导数，并取正方向积分有()1!()()d2i()llClffzz 容易证明微分表示（容易证明微分表示（19.1.10）也可表示为环路积分形式）也可表示为环路积分形式2111(1)P()d2i 2()llllCxxx（19.1.11）C为为z平面上围绕平面上围绕xz 并取正方向这叫作并取正方向这叫作勒让德多项式的勒让德多项式的施列夫利积分表示式施列夫利积分表示式点的任一闭合回路，点的任一闭合回路，式（式（19.1.11）还可以进一步表为下述）还可以进一步表为下述拉普拉斯积分拉普拉斯积分2
10、01P()(i 1cos)dllxxx (19.1.12)【证明证明】取取C为圆周，圆心在为圆周，圆心在zx，半径为半径为12x在在上有：上有：2i1xxe2idi1di()dxexC并注意到并注意到 22i22i22i2i221(1)1(1)(1)21 21(1cos)2()(1cos)xxexex xexexxx xx 代入（代入（19.1.12）得到）得到220201P()(1cos)d21 (i 1cos)dlllxxxxx这即为这即为勒让德多项式的拉普拉斯积分表示勒让德多项式的拉普拉斯积分表示从该积分还很容易看出从该积分还很容易看出 P(1)1lP(1)(1)ll（19.1.13）利
11、用利用拉普拉斯积分表示拉普拉斯积分表示（19.1.12），还可以证明还可以证明 P()1lx，)11(x（19.1.14）【证明证明】x回到原来的变量回到原来的变量，cosx，则，则如从如从01P()cosisincosdllx/22220011P()cosisincosdcossincosdlllx /2220011cossindd1l19.2 勒让德多项式的性质勒让德多项式的性质19.2.1 勒让德多项式的性质勒让德多项式的性质 1.勒让德多项式的零点勒让德多项式的零点对于勒让德多项式的零点，有如下结论：对于勒让德多项式的零点，有如下结论：（i）P()nx的的n个零点都是实的，且在个零点都
12、是实的，且在)1,1(内；内；（ii）P()nx的零点与的零点与1P()nx的零点互相分离的零点互相分离 2.奇偶性奇偶性根据勒让德多项式的定义式，作代换根据勒让德多项式的定义式，作代换(),xx 容易得到容易得到P()(1)P()lllxx （19.2.1）即当即当l为偶数时，勒让德多项式为偶数时，勒让德多项式P()lx为偶函数，为偶函数，为奇数时为奇数时为奇函数为奇函数 lP()lx3.勒让德多项式的正交性及其模勒让德多项式的正交性及其模不同阶的勒让德多项式在区间不同阶的勒让德多项式在区间 1,1上满足上满足12,1P()P()dnlln lxxxN(19.2.2)其中其中,1 ()0 (
13、)n lnlnl当当nl时满足时满足11P()P()0nlxx dx，(19.2.3)称为正交性称为正交性 相等时可求出其模相等时可求出其模1212P()(0,1,2,)21llNx dxll (19.2.4)下面给出公式（下面给出公式（19.2.2），及其模），及其模(19.2.4)的证明的证明【证明证明】（1）正交性）正交性 勒让德多项式必然满足勒让德方程，故有勒让德多项式必然满足勒让德方程，故有 22d(1)P()(1)P()0dd(1)P()(1)P()0dllnnxxl lxxxxn nxx两式相减，并在两式相减，并在-1,1 区间上对区间上对x积分，得积分，得122111ddP()
14、(1)P()P()(1)P()ddd (1)(1)P()P()dnllnlnxxxxxxxxxn nl lxxx因为上面等式左边的积分值为因为上面等式左边的积分值为 211(1)P()P()P()P()|0nllnxxxxx所以当所以当nl时，必然有时，必然有 11P()P()d0lnxxx根据根据 成立成立（2）模）模（利用分部积分法证明）（利用分部积分法证明）1221P()dllNxx为了分部积分的方便，把上式的为了分部积分的方便，把上式的)(xPl用微分表示给出，则有用微分表示给出，则有21212221112121221221221111d(1)dd(1)d2(!)ddd1d(1)d(1
15、)1d(1)dd(1)d2(!)dd2(!)dddllllllllllllllllllllllxxNxlxxxxxxxxlxxlxxx注意到注意到lllxxx)1()1()1(2以以1x为为l级零点，级零点，故其故其(1)l 阶导数阶导数 121d(1)dlllxx必然以必然以1x为一级零点，从而上式已积出部分的值为零为一级零点，从而上式已积出部分的值为零 112121222111(1)d(1)d(1)d2(!)ddllllllllxxNxlxx再进行再进行l次分部积分，即得次分部积分，即得 221222221(1)d(1)(1)d2(!)dlllllllxNxxlxlx)1(2是是l 2次多
16、项式，其次多项式，其l 2阶导数也就是最高幂项阶导数也就是最高幂项lx2的的l 2阶导数为阶导数为)!2(l故故 12221(2)!(1)(1)(1)d2(!)llllllNxxxl 再对上式分部积分一次再对上式分部积分一次112112211111221(2)!1(1)(1)(1)(1)(1)d2(!)1(2)!(1)(1)(1)(1)d2(!)1llllllllllllNxxlxxxllllxxxll 容易看出已积出部分以容易看出已积出部分以1x为零点为零点 至此，分部积分的结果是使至此，分部积分的结果是使)1(x的幂次降低一次，的幂次降低一次，)1(x的幂次升高一次，的幂次升高一次，且积分
17、乘上一个相应的常数因子且积分乘上一个相应的常数因子继续分部积分（计继续分部积分（计l次），即得次），即得 120222112121(2)!11(1)(1)(1)(1)d2(!)122112(1)22121llllllllllNxxxllllxll 故勒让德多项式的模为故勒让德多项式的模为 122lNl ),2,1,0(l且有且有112P()P()d21llxxxl 4.广义傅里叶级数广义傅里叶级数定理定理19.2.1 在区间-1,1上的任一连续函数()f x,可展开为勒让德多项式的级数可展开为勒让德多项式的级数 0()P()nnnf xCx （19.2.5）其中系数其中系数 1121()P()
18、d2nnnCfxxx (19.2.6)在实际应用中在实际应用中,经常要作代换经常要作代换cosx,此时勒让德方程的解为此时勒让德方程的解为P(cos)n，这时有，这时有 0(cos)P(cos)nnnfC (19.2.7)其中系数为其中系数为021(cos)P(cos)sin d2nnnCf （19.2.8）19.2.2.勒让德多项式的应用（广义傅氏级数展开）勒让德多项式的应用（广义傅氏级数展开）例例19.2.1 将函数函数 3()f xx按勒让德多项式形式展开按勒让德多项式形式展开.【解解】根据根据（19.2.5）设）设3001 12233P()P()P()P()xCxCxCxCx考虑到考虑
19、到 P()(1)P()nnnxx，由由(19.2.6)显然有显然有 020CC11331111333P()dd225Cxxxxx x1133333117712P()d(5-3)d2225Cxxxxxxx所以所以31332P()P()55xxx例例19.2.2 将函数将函数 cos2 (0)展开为勒让德多项式展开为勒让德多项式P(cos)n形式形式【解】【解】用直接展开法用直接展开法令令 cosx，则由，则由22cos22cos121x 我们知道：我们知道：20121P()1,P(),P()(31)2xxxxx可设可设2001 12221P()P()P()xCxCxCx 考虑到勒让德函数的奇偶性
20、，显然考虑到勒让德函数的奇偶性，显然10C 2202121(31)2xCCx由由20,xx项的系数，显然得出项的系数，显然得出2041,33CC 故有故有 02021414cos(2)P()P()P(cos)P(cos)3333xx下面我们给出一般性结论：下面我们给出一般性结论：结论结论1：设：设 k为正整数，可以证明：为正整数，可以证明：22222220021212123231 1P()P()P()P()P()P()kkkkkkkkkkxCxCxCxxCxCxCx结论结论2：根据勒让德函数的奇偶性，若需展开的函数：根据勒让德函数的奇偶性，若需展开的函数()f x为奇函数，为奇函数，则展开式（
21、则展开式（19.2.5）系数）系数20nC若需展开的函数若需展开的函数()f x为偶函数，则展开式（为偶函数，则展开式（19.2.5）系数）系数210nC 0,1,2,3,n 例例19.2.3 以勒让德多项式为基，在-1,1区间上把3()234f xxx展开为广义傅里叶级数展开为广义傅里叶级数【解解】本例不必应用一般公式本例不必应用一般公式，事实上，事实上，()f x是三次多项式（注意是三次多项式（注意()f x既非奇函数，也非偶函数），既非奇函数，也非偶函数），设它表示为设它表示为33023012323021323234P()111(31)(53)221335()()2222nnnxxCxC
22、CxCxCxxCCCC xC xC x 比较同次幂即得到比较同次幂即得到3210421,0,455CCCC由此得到由此得到30132142344P()P()P()55xxxxx例例 19.2.4(p354-355)19.3 勒让德多项式的生成函数（母函数勒让德多项式的生成函数（母函数）19.3.1勒让德多项式的生成函数的定义勒让德多项式的生成函数的定义 如图如图19.2所示，设在一个单位球的北极放置一带电量为所示，设在一个单位球的北极放置一带电量为04的正电荷，则在球内任一点的正电荷，则在球内任一点M（其球坐标记作（其球坐标记作,r）的静电势为）的静电势为 2cos2111rrd（19.3.1
23、）静电势静电势1d遵从拉普拉斯方程，且以球坐标系的极轴为对称轴，遵从拉普拉斯方程，且以球坐标系的极轴为对称轴，因此，因此，1d应具有轴对称情况下拉普拉斯方程一般解应具有轴对称情况下拉普拉斯方程一般解(19.2.14)的形式，的形式，x y z 04 d M r 图 19.1 即即1011P(cos)nnnnnnC rDdr （19.3.2）首先不妨研究单位球内的静电势分布在球心首先不妨研究单位球内的静电势分布在球心)0(r，电势应该是有限的，故必须取，电势应该是有限的，故必须取0lD 201P(cos)(1)1 2 cosnnnlC rrrr （19.3.3）为确定系数为确定系数nC，在上式中
24、令，在上式中令0，并注意到，并注意到(1)1nP则得到则得到 001P(1)(1)1nnnnnnnC rC rrr（19.3.4）将上式左边在将上式左边在0r的邻领域上展为的邻领域上展为泰勒级数泰勒级数2311 (1)1lrrrrrr（19.3.5）比较（比较（19.3.4）和（）和（19.3.5）即知）即知1nC (0,1,2,)n 于是（于是（19.3.3）成为）成为201P(cos)(1)12 cosnnnrrrr (19.3.6)若考虑单位球内、球外的静电势分布，则有若考虑单位球内、球外的静电势分布，则有0210P(cos)(1)1 112 cosP(cos)(1)nnnnnnrrrr
25、rr（19.3.7）于（于（19.3.6）中代入）中代入 cosx，即为，即为 0210P()(1)1 (11)112P()(1)nnnnnnrxrxrxrxrr （19.3.8）因此因此2112 cosrr或或211 2rxr叫作叫作勒让德多项式的勒让德多项式的生成函生成函数（或数（或母函数母函数）19.3.2 勒让德多项式的递推公式勒让德多项式的递推公式根据勒让德多项式的母函数可以导出勒让德多项式的递推公式根据勒让德多项式的母函数可以导出勒让德多项式的递推公式 先把（先把（19.3.6）写成）写成 201P()12nnnrxrxr（19.3.9）对对r求导求导 123/20P()(12)n
26、nnxrnrxrxr对上式两边同乘以对上式两边同乘以)21(2rrx，得，得2120(1 2)P()1 2nnnxrrxrnrxrxr （19.3.10）相反，若对（相反，若对（19.3.8）两边对）两边对x求导求导23/20P()(12)lllrrxrxr上式两边同乘以上式两边同乘以)21(2rrx，得，得220(1 2)P()1 2lllrrxrrxrxr将（将（19.3.8）式代入上式左边得到）式代入上式左边得到200P()(12)P()llllllrrxrxrrx比较上式两边比较上式两边1kr项的系数，得另一含导数的项的系数，得另一含导数的递推公式递推公式将（将（19.3.9）代入上式
27、左边）代入上式左边2100()P()(12)P()nnnnnnxrrxrxrnrx对上式，比较两边的对上式，比较两边的kr项的系数，得项的系数，得111P()P()(1)P()2P()(1)P()kkkkkxxxkxxkxkx即即 11(1)P()(21)P()P()kkkkxkxxkx(1)k（19.3.11）上式即为上式即为勒让德多项式的一个递推公式勒让德多项式的一个递推公式 例例19.3.1 求求0P(cos)sin(2)dn【解【解】00P(cos)sin(2)d2P(cos)cos d(cos)nn 11111 2P()d2P()P()d4 (1)30 (1)nnx x xxxxnn
28、 例例 19.3.2 求积分求积分 11P()P()dlnIxxxx【解】利用递推公式（【解】利用递推公式（19.3.11）11(1)P()(21)P()P()kkkkxkxxkx(1)k 故有故有1111111111111P()P()d(1)P()P()P()d211 P()P()dP()P()d2121lnllnlnlnIxxxxlxlxxxlllxxxxxxll22 (1)412(1)(1)(23)(21)0 (1)nlnnnlnnnln 19.4 连带勒让德函数连带勒让德函数19.5 球函数球函数19.5.1球函数的方程及其解球函数的方程及其解1.球函数方程球函数方程根据分离变量法，在
29、球坐标系中将下列亥姆霍兹方程根据分离变量法，在球坐标系中将下列亥姆霍兹方程实施分离变量实施分离变量 20uk u (19.5.1)式中式中 2222222111()(sin)sinsinrrrrrr 令令 (,)()Y(,)u rR r ，则得到由亥姆霍兹方程实施分离变量则得到由亥姆霍兹方程实施分离变量r所满足的方程所满足的方程 222dd()(1)0ddRrk rl lRrr (19.5.2)与拉普拉斯方程分离变量导出的方程欧拉方程（与拉普拉斯方程分离变量导出的方程欧拉方程（19.1.1）222dd2(1)0ddRRrrl lRrr (19.5.3)已经有所区别关于已经有所区别关于(19.5
30、.3)的解在贝塞尔函数部分讨论的解在贝塞尔函数部分讨论 而角度部分的解而角度部分的解(,)Y，满足下列方程，满足下列方程2221Y1Ysin(1)0sinsinl lY (19.5.4)上式由亥姆霍兹方程实施分离变量所得的方程（上式由亥姆霍兹方程实施分离变量所得的方程（19.5.4）与拉普拉斯方程导出的（与拉普拉斯方程导出的（19.1.2）球函数方程具有相同的）球函数方程具有相同的形式，仍为球函数（或球谐函数）形式，仍为球函数（或球谐函数）球函数方程（球函数方程（19.5.4）再分离变量，令）再分离变量，令 Y(,)()()得到两组本征值问题得到两组本征值问题（i）222d0,()=(2)dm
31、 （19.5.5）本征值为本征值为 2 (0,1,2,)mm 本征函数为本征函数为 ()cossinAmBm(ii)221dd(sin)(1)0 ()+,0,sinddsinml l (19.5.6)本征值本征值 (1)(0,1,2,)l ll本征函数本征函数 P(cos)ml在在0,02 区域中求解区域中求解Y(,)，得到与本征值得到与本征值,l m相应的本征函数相应的本征函数 Y(,)ml 实际上应由下列两个本征函数之积组成，即为实际上应由下列两个本征函数之积组成，即为 Y(,)P(cos)mmimlle （19.5.7）其中其中 ime是变量是变量相应于本征值相应于本征值m的本征函数；的
32、本征函数；P(cos)ml是变量是变量相应于本征值相应于本征值l（对于确定的（对于确定的m）的本征函数）的本征函数 2.球函数表达式球函数表达式（1）复数形式的球函数表达式）复数形式的球函数表达式为了使得为了使得(19.5.7)所表示的函数系构成正交归一系，所表示的函数系构成正交归一系，必须添加适当常系数，于是定义必须添加适当常系数，于是定义iY(,)P(cos)mmmmlllNe (19.5.8)为球谐函数的本征函数（相应于本征值为球谐函数的本征函数（相应于本征值,)l m，并称它，并称它为球函数（球谐函数）表达式为球函数（球谐函数）表达式 上式（上式（19.5.8）也是）也是复数形式的球函
33、数复数形式的球函数其中归一化系数其中归一化系数mlN的值后面会给出的值后面会给出线性独立的线性独立的l阶球函数共有阶球函数共有12 l个个 因为对应于因为对应于0m，有一个球函数，有一个球函数P(cos)l；对应于对应于lm,2,1则各有两个球函数即则各有两个球函数即P(cos)sinmlm和和P(cos)cosmlm根据根据欧拉公式欧拉公式icosisinmmme，icosisinmmme 将将复数形式的球函数统一复数形式的球函数统一表示为表示为i0,1,2,3,Y(,)P(cos)0,1,2,mmmmllllNeml （19.5.9）在（在（19.5.9）之中，独立的）之中，独立的l阶球函
34、数仍然是阶球函数仍然是12 l个个 19.5.2 球函数的正交关系和模的公式球函数的正交关系和模的公式1 球函数的正交性球函数的正交性 根据根据ime的正交性质的正交性质,当当mn时，时，2ii0d0mnee根据根据(cos)mlP的正交性的正交性,当当 lk时，时，0P(cos)P(cos)sin d0mmlk 可以得到可以得到(,)lmY 的正交性，即当的正交性，即当lk或或mn时有时有200dY(,)Y(,)sin d0mnlk 即即200dY(,)Y(,)sin dmnlklkmn （19.5.11）19.5.4拉普拉斯方程的非轴对称定解问题拉普拉斯方程的非轴对称定解问题例例19.5.
35、1 在半径为在半径为R球外（球外（rR）求解定解问题）求解定解问题30|(,)r Ruuf【解】在球坐标系下，定解问题即为【解】在球坐标系下，定解问题即为22222222221cos1()0sinsin(,)r Ruuuuurrrrruf (21.5.22)(21.5.23)【解解】令令)()()(),(rRru代入（代入（19.5.22），通过变量分离得到拉普拉斯方程），通过变量分离得到拉普拉斯方程（19.5.22）的一系列特解）的一系列特解(,)Y(,)(cossin)P(cos)(0,1,2,;)mmmnmmmnnmnnnnnnurRRrambmnmn 其中其中,mmnnab都是任意常数
36、都是任意常数000(,)Y(,)(cossin)P(cos)nnmnmmmlnnnnnmu rrrambm 通解为通解为 再代入定解条件再代入定解条件),(),(fruRr00(,)(cossin)P(cos)nnmmmnnnnmfRambm （19.5.26）利用三角函数和连带勒让德多项式的正交性和归一性，利用三角函数和连带勒让德多项式的正交性和归一性，即可算出（即可算出（19.5.25）中的待定系数）中的待定系数200200(21)()!d(,)P(cos)cossin d2()!(21)()!d(,)P(cos)sinsin2()!(0,1,2,;1,2,3,)mmnnnmmmnnnnnmafmRnmnnmbfmdRnmnmn
