1、 1 湖南省师大附中 2019 届高三数学上学期月考试题（一）文（含解析） 本试卷分第 卷 (选择题 )和第 卷 (非选择题 )两部分 ， 共 8 页。时量 120 分钟。满分 150分。 第 卷 一、选择题：本大题共 12 个小题 ， 每小题 5 分 ， 共 60 分 ， 在每小题给出的四个选项中 ，只有一项是符合题目要求的 1 函数 f(x) 16 x x2的定义域是 (A) A.( ) 3， 2 B.( ) ， 3 ( )2， C. 3， 2 D.( ， 3 )2， 【解析】解不等式 6 x x20 得 (x 2)(x 3)| |b ， 则 a2b2；命题 q：若 x2 4， 则 x 2
2、.下列说法正确的是 (A) A“ p q” 为真命题 B “ p q” 为真命题 C“綈 p” 为真命题 D “綈 q” 为假命题 【解析】由条件可知命题 p 为真命题 ， q 为假命题 ， 所以 “ p q” 为真命题 ， 故选择 A. 4如图 ， 已知 AB a， AC b， BC 4BD ， CA 3CE ， 则 DE (D) A.34b 13a, B.512a 34b， C.34a 13b, D.512b 34a， 【解析】 DE DC CE 34BC 13CA 34(AC AB） 13AC 512b 34a.选 D. 5 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度 ， 则得到的这个新三角
3、形的形状为 (A) A 锐角三角形 B直角三角形 C 钝角三角形 D由增加的 长度决定 【解析】设增加同样的长度为 x， 原三边长为 a、 b、 c， 且 c2 a2 b2， a bc.新的三角形的三边长为 a x、 b x、 c x， 知 c x 为最大边 ， 其对应角最大而 (a x)2 (b x)2 (c x)2 x2 2(a b c)x0， 由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正 ， 则为锐角 ，那么它为锐角三角形故选 A. 6 与直线 2x y 4 0 的平行的抛物线 y x2的切线方程是 (D) A 2x y 3 0 B 2x y 3 0 C 2x y 1 0 D 2x y 1
4、0 【解析】设 P(x0， y0)为切点 ， 则切点的斜率 为 y| x x0 2x0 2， x0 1.由此得到切点 (1， 1)故切线方程为 y 1 2(x 1)， 即 2x y 1 0， 故选 D. 2 7右边茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩 (成绩为整数 )， 其中一个数字被污损 ， 则乙的平均成绩不低于甲的平均成绩的概率为 (D) A.25 B.110 C.910 D.15 【解析】记其中被污损的数字为 x.依题意得甲的 5 次综合测评的平均成绩为 90， 乙的 5次综合测 评的平均成绩为 15(442 x)， 令 15(442 x)90 ， 由此解得 x8 ， 即
5、x 的可能取值为8 和 9， 由此乙的平均成绩不低于甲的平均成绩的概率为 210 15， 故选 D. 8 将函数 y 3sin? ?2x 3 的图象向右平移 2 个单位 ， 所得图象对应的函数 (A) A 在区间 ? ?12， 712 上单调递增 B在区间 ? ?12， 712 上单调递减 C 在区间 ? ? 6 ， 3 上单调递增 D在区间 ? ? 6 ， 3 上单调递减 【解析】将函数 y 3sin? ?2x 3 的图象向右平移 2 个单位 ， 所得函数变为 y3sin? ?2x 23 ， 令 2k 2 2 x 23 2k 2 (k Z)， 解得 k 12 x k 712(k Z)， 令
6、k 0， 12 x 712 .故函数在区间 ? ?12， 712 上单调递增 ， 故选 A. 9 设 f(x)?2ex 1， x2 的解集为 (C) A (1， 2)(3 ， ) B ( 10， ) C (1， 2)( 10， ) D (1， 2) 【解析】令 2ex 12( )x2( )x2 ， 解得 x为 ( )10， ，不等式 f(x)2 的解集为 (1， 2)( 10， ) ， 故选 C. 10.执行如图所示的程序框图 ， 若输入 a， b， c 分别为 1， 2， 0.3， 则输出的结果为 (D) 3 A 1.125 B 1.25 C 1.3125 D 1.375 【解析】模拟程序
7、的运行 ， 可得 a 1， b 2， c 0.3 执行循环体 ， m 32， 不满足条件 f(m) 0， 满足条件 f(a)f(m) 0， b 1.5， 不满足条件 |a b| c， m 1.25， 不满足条件 f(m) 0，不满足条件 f(a)f(m) 0， a 1.25， 满足条件 |a b| c， 退出循环 ， 输出 a b2 的值为 1.375.故选 D. 11 设等差数列 an的前 n 项和为 Sn， 已知 (a8 1)3 2 018(a8 1) 1， (a2 011 1)3 2 018(a2 011 1) 1， 则下 列结论正确的是 (A) A S2 018 2 018， a2 0
8、11a8 C S2 018 2 018， a2 011 a8 D S2 018 2 018， a2 011 a8 【解析】设 f(x) x3 2 018x， 则由 f( x) f(x)知函数 f(x)是奇函数 由 f( x) 3x2 2 0180 知函数 f(x) x3 2 018x 在 R 上单调递增 因为 (a8 1)3 2 018(a8 1) 1，(a2 011 1)3 2 018(a2 011 1) 1， 所以 f(a8 1) 1， f(a2 011 1) 1， 得 a8 1 (a2 011 1)， 即 a8 a2 011 2， 且 a2 0110 时 ， xf (x)f(x) 0，
9、则使得 f(x)0 时 ， xf (x) f(x)0 时 ， 由 f(x)1， 当 x0， 由图知 10) (1)当 m 3 时 ， 若 B 6 ， 求 sin (A C)的值； (2)当 m 2 时 ， 若 c 2， 求 ABC 面积最大值 【解析】 (1) a b 3c， sin A sin B 3sin C， sin A 12 3sin? ?A 6 3? ?32 sin A 12cos A ， 4 分 6 化简得 12sin A 32 cos A 12， sin? ?A 3 12， A 3 56 ， 即 A 2 ， C 3 ， sin (A C) sin 6 12.6 分 (2) c 2
10、， a b 2 2， b 2 2 a， S ABC 12absin C 12ab， 8 分 S ABC 12ab 12a(2 2 a) 12a2 2a， 10 分 当 a 2时 ， 12a2 2a 取最大值 1， 此时 a b 2， c 2 满足 C 2 ， ABC 面积最大值为 1.12 分 18.(本题满分 12 分 ) 如图 ， 四棱锥 P ABCD 中 ， AP 平面 PCD， AD BC， AB BC 12AD， E、 F 分别为线段 AD、PC 的中点 (1)求证： AP 平面 BEF； (2)设 PDA 30， BAD 60， 求直线 BF 与平面 PAC 所 成的角的大小 【解
11、析】 (1)证明：设 AC BE O， 连接 OF、 EC. E 为 AD 的中点 ， AB BC 12AD， AD BC， AE BC， AE AB BC， 四边形 ABCE 为菱形 .2 分 O 为 AC 的中点 .3 分 又 F 为 PC 的中点 ， 在 PAC 中 ， 可得 AP OF.4 分 又 OF 平面 BEF， AP 平面 BEF.5 分 AP 平面 BEF.6 分 (2)由题意知 ED BC， ED BC. 四边形 BCDE 为平行四边形 ， BE CD. 又 AP 平面 PCD， AP CD， AP BE. 四边形 ABCE 为菱形 ， BE AC. 又 AP AC A，
12、AP、 AC 平面 PAC， BE 平面 PAC. 直线 BF 与平面 PAC 所成的角为 BFO.8 分 7 不妨设 AP 2， PDA 30 ， AE 12AD 2， 又 四边形 ABCE 为 菱形 ， BAD 60 ， OB 1， Rt BOF 中 ， OF 12AP 1， OB 1， BFO 45 .11 分 故直线 BF 与平面 PAC 所成的角的大小为 45 .12 分 19 (本小题满分 12 分 ) 已知数列 an中 ， Sn为其前 n 项和 ， 且 a1 a2， 当 n N 时 ， 恒有 Sn pnan(p 为常数 ) (1)求常数 p 的值； (2)当 a2 2 时 ， 求
13、数列 an的通项公式； (3)在 (2)的条件下 ，设 bn 4（ an 2） an 1， 数列 bn的前 n 项和为 Tn， 求证： Tnb0)的左、右焦点分别为 F1、 F2， 设点 F1、 F2与椭圆短轴的一个端点构成斜边长为 4 的直角三角形 (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)设 A、 B、 P 为椭圆 C 上三点 ， 满足 OP 35OA 45OB ， 记线段 AB 中点 Q 的轨迹为 E， 若直线 l： y x 1 与轨迹 E 交于 M、 N 两点 ，求 |MN|. 【解析】 (1)由已知得 2c 4， b 2， 故 c 2， a 2 2. 椭圆 C 的标准方程为 x28y24
14、 1.4 分 (2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， OP 35OA 45OB ， OP ? ?35x145x2，35y145y2 ， 点 P 坐标为 ? ?35x145x2，35y145y2 .5 分 点 P 在椭圆 C 上 ， 18? ?35x145x22 14? ?35y145y22 1， 8 925? ?x218y214 1625?x228y224 2425?x1x28 y1y24 1， 即 925 1625 2425? ?x1x28 y1y24 1， 即 x1x28 y1y24 0.6 分 令线段 AB 的中点坐标为 Q(x， y)， 则?x x1 x22 ，y y1
15、y22 .7 分 A、 B 在椭圆 C 上 ， ?x218 y214 1，x228y224 1，8 分 x21 x228 y21 y224 2， （ x1 x2）2 2x1x28 （ y1 y2） 2 2y1y24 2. x1x28 y1y24 0， （ 2x）28 （ 2y） 24 2， 即 Q 点的轨迹 E 的方程为 x24y22 1.9 分 联立?x24y22 1，y x 1，得 3x2 4x 2 0. 设 M(x3， y3)、 N(x4， y4)， 则 x3 x4 43， x3 x4 23.10 分 故 |MN| 1 k2|x3 x4| 1 k2 （ x3 x4） 2 4x3x4 4
16、53 .12 分 第 (2)问也可以用椭圆的参数方程解决 ， 且可参考上述解答酌情给分 21 (本题满分 12 分 ) 已知函数 f(x) ex e x， g(x) 2x ax3， a 为实 常数 (1)求 g(x)的单调区间； (2)当 a 1 时 ， 证明： x0 (0， 1)， 使得 y f(x)和 y g(x)的图象在 x x0处的切线互相平行 【解析】 (1)g( x) 3ax2 2， 1 分 当 a0 时 ， g (x)0 故 g(x)的单调增区间为 ( ， ).3 分 当 a0， x0 (0， 1)使得 f( x0) g( x0).7 分 当 x ? ?0， 63 时 g( x)0， 当 x( 63 ， 1)时 g( x)g(x)恒成立 ， f(x0) g(x0) 从而当 a 1 时 x0 (0， 1)， 使得 y f(x)和 y g(x)的图象在 x x0
