1、 1 湖南省岳阳县 2018届高三数学上学期第一次月考试题 理（含解析） 考试时间： 120分钟 总分： 150分 第 I卷（选择题） 一、（选择题每题 5分，共 60 分） 1. 已知全集 ， 则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 ，选 C 2. 若复数 （为虚数单位）的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 .选 A 3. 王安石在游褒禅山记中写道 “ 世之奇伟、瑰怪 ， 非常之观 ,常在于险远 ,而人之所罕至焉 ,故非有 志者不能至也 ” , 请问 “ 有志 ” 是到达 “ 奇伟、瑰怪 ,非常之观 ” 的（ ） A. 充要条件 B. 既不充分也
2、不必要条件 C. 充分条件 D. 必要条件 【答案】 B 【解析】 根据题意 “ 非有志者不能至也 ” 可知到达 “ 奇伟、瑰怪，非常之观 ” 必是有志之士，故 “ 有志 ” 是到达 “ 奇伟、瑰怪，非常之观 ” 的必要条件，故选 D. 4. 已知 O 是 ABC 所在平面内一点， D为 BC边中点，且 ，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】试题分析：根据题意可知， ，即 ，所以有 ，故选 B 考点：向量的运算 5. 已知 ， ， 则（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 2 【解析】试题分析： ，故选 B. 考点：实数的大小比较 . 6. 对于锐角 ，若 ，则 A
3、. B. C. 1 D. 【答案】 D 【解析】 由题意可得： . 本题选择 D选项 . 点睛： (1)应用公式时注意方程思想的应用，对于 sin cos ， sin cos ， sin cos 这三个式子，利用 (sin cos )2 12sin cos 可以知一求二 (2)关于 sin ， cos 的齐次式，往往化为关于 tan 的式子 7. 若函数 唯一零点同时在 (0,4)， (0,2)， (1,2)， 内，则与 符号相同的是( ) A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 由题意及零点存在定理得 的零点在 内， 与符 号相同， 故选： C 8. 已知函数 在（ ， 0是单调函数
4、，则 的图象不可能是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】 B 【解析】 由题意可知 选项 A中 ,符合题意，若 。则对称轴 ,且 ,即 选项 B中 不符合题意， C,D都符合题意，故选 B 9. 在边长为 1的正方形 ABCD中， M为 BC的中点，点 E在线段 AB上运动，则 的取值范围是 ( ) A. B. 0， C. ， D. 0,1 【答案】 C 【解析】 如图，以 分别为 轴建立坐标系， 可得 ，设 当 时， 有最小值为；当 时， 有最大值为 由此可得的取值范围是 故选： C 【点睛】本题考查正方形的性质、平面向量数量积的定义与 坐标运算等知识，属中档题 10. 已知函数 是
5、定义在 上的偶函数，当 时， ，则函数 的零点个数为（ ）个 A. 6 B. 2 C. 4 D. 8 4 【答案】 A 【解析】 函数 是定义在 上的偶函数，当 时， 函数 的零点就是函数 的图象与直线 的交点的横坐标，作出函数 在的图象，如图， 由图可得：函数 图象与直线 有 6个交点， 故答案为： 6 【点睛】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的零点与方程根的关系，属于中档题解题的关键是求出函数的值域 11. 设函数 (其中 是常数 )若函数 在区间 上具有单调性，且 ，则 的对称中心的坐标为 (（ ）， 0）（其中 ） . A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 函数 在区间
6、上具有单调性，且且，则 ，且函数的图象关于直线 对称，且一个对称点为 可得 且 ，求得 ，再根据，得到 易得： 由 ，得 其中 ， 12. 若 ，函数 与 的值至少有一个 为正数，则实数 的取值范围为 ( ) A. （ 0,4 B. （ 0,8） C. （ 2,5） D. 5 【答案】 B 【解析】 当 时，显然不成立 当 时，若 = 0 ，即 时结论显然成立； 若 = 0，时只要 即可，即 则 ,选B 第 II卷（非选择题） 二、填空题（每题 5分，共 20 分） 13. 已知 ,向量 在 方向上的投影为 ，则 =_. 【答案】 9 【解析】 , 向量 在 方向上的投影为 故答案为 9 14
7、. 已知 _。 【答案】 【解析】略 15. 已知函数 f(x) 有 3个零点，则实数 a的取值范围是 _ 【答案】 (0,1) 【解析】 根据题意，得到函数的图像如图所示，则函数 有 3个零点，须满足 解得 即答案为 6 【点睛】本题主要考查函数零点的应用，利用数形结合是解决本题的关键 16. 在 中， ,若 ， 则 周长的取值范围 _. 【答案】 由正弦定理，得 的周长 ， 周长的取值范围是（ 2， 3， 故答案为 【点睛】本题解题的关键是利用三角函数的诱导公式、两个角的和、差公式、倍角公式以及辅助角公式将三角函数化为 形式进而解决问题 三 、解答题 (17-21题每题 12 分， 22、
8、 23选做一题计 10分，共计 70分 ) 17. 已知函数 (1)求 的值； (2)若 ，求 a的值 【答案】（ 1） 6（ 2） 【解析】 试题分析： (1)根据分段函数的意义，可得 ，进而得到 的值； (2)分当 ， ， 三种情况讨论，可得 的值 试题解析： （ 1） 1 2， f( ) ( )2 3 . 而 ， ff( ) f(3) 23 6. （ 2） 当 a 1时， f(a) a 2，又 f(a) 3， a 1(舍去 )； 当 1a2时， f(a) a2，又 f(a) 3， a ，其中负值舍去， a ； 7 当时， f(a) 2a，又 f(a) 3， a (舍去 )综上所述， a
9、. 18. 已知命题 ，命题 。 （ 1）若 p是 q的充分条件，求实数 m的取值范围； （ 2）若 m=5， “ ” 为真命题， “ ” 为假命题，求实数 的取值范围。 【答案】 （ 1） （ 2） 【解析】试题分析：（ 1）当命题是用集合表示时，若 是 的充分条件，则表示命题 所对应的集合是命题 所对应集合的子集，转化为子集问题解决，通过数轴，列不等式组 ; (2) ” 为真命题， “ ” 为假 命题表示 一真一假，所以分两种情况，真代表集合本身，假代表集合的补集，列不等式解决 . 试题解析：解：（ 1）， ， , ,那么 解得： (2)根据已知 一真一假， 真 假时， 解得 ，或 假 真
10、时，解得 考点：命题的真假判定与应用 19. 已知向量 , 记函数 .求 : (1)函数 的最小值及取得最小值时 的集合 ; (2)函数 的单调递增区间 . 【答案】 () () 【解析】 试题分析： (1)由向量数量积的运算及辅助角公式可得 ，运用正弦函数的性质，可得函数 的最小值及取得最小值时 的 集合 ； (2)由正弦函数的单调性可得函数 的单调递增区间 . 试题解析： () 8 = , 当且仅当 ,即 时 , , 此时 的集合是 () 由 ,所以 , 所以函数 的单调递增区间为 （ 10 分） 20. ABC 中，内角 A， B， C的对边分别为 已知边 ，且 （ 1）若 ，求 ABC
11、 的面积； （ 2）记 AB边的中点为 M，求 的最大值，并说明理由 【答案】 （ 1）见解析（ 2） 又 ，即可求得 的最大值 试题解析：因为 ，故， 由余弦定理可得 ； （ 1） ，即 当 ， ， ABC 的面积 当 A=B时， ABC 为等边三角形， ； （ 2）由于 AB边的中点为 M，故，9 因为 ，故由余弦定理知， ，于是 ，而， 故 ， 最大值为 （当且仅当 时取等） 【点评】本题考查了三角恒等变形，正余弦定理，考查了基本不等式、计算能力属于中档题 21. 设函数 ， 是定义域为 R上的奇函数 （ 1）求 的值； （ 2）已知 ，函数 ， ，求 的值域； （ 3）若 ，试问是否存
12、在正整数 ，使得 对 恒成立？若存在，请求出所有的正整数 ；若不存在，请说明理由 【答案】 （ 1） （ 2） （ 3） 【解析】 试题分析： 试题解析：（ 1）先利用 为 上的奇函数得 求出以 及函数 的表达式，（ 2）先由 得 ，得出函数 的单调性，再对 进行整理，整理为用 表示的函数，最后利用函数 的单调性以及值域，得到 的值域 （ 3）利用换元法，将不等式转化为对勾函数问题求解，注意分类讨论思想的应用 试题解析： （ 1） 是定义域为 R上的奇函数， ，得 （ 2） ，即 ， 或 （舍去）， 令 ，由（ 1）知 在 1， 2上为增函数， ， ， 当 时， 有最大值 ；当 时， 有最小值
13、 ， 的值域 （ 3） = ， ， 10 假设存在满足条件的正整数 ，则 ， 当 时， 当 时， ，则 ，令 ，则 ，易证 在上是增函数， 当 时， ，则 ，令 ，则 ，易证 在上是减函数， 综上所述， ， 是正整数， =3或 4 存在正整数 =3或 4，使得 对 恒成立 【点睛 】 本题考查函数单调性与奇偶性的综合，考查解不等式，考查二次函数最值的研究，解题的关键是确定函数的单调性，确定参数的范围 选做题（ 22 题， 23题选做一题，共 10分） 22. 选修 4-4：坐标 系与参数方程 以坐标原点 为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线 的极坐标方程为，将曲线 ： （ 为参数），经过伸缩变换 后得到曲线 . （ 1）求曲线 的参数方程； （ 2）若点 的曲线 上运动，试求出 到直线 的距离的最小值 . 【答案】 （ 1） （ 为参数） （ 2） 【解析】试题分析：（ 1）将曲线 化为普通方程，可得 ，再由伸缩变换，得到普通方程，进而可求曲线的参数方程；（ 2）曲线 的极坐标方程 ，化为直角坐标方程： ，在点到直线的距离公式，即可求解距离的最小值 . 试题解析：（ 1）将 曲线 ： （ 为参数）化为 ，
