1、 1 湖南省长沙市 2018 届高三数学上学期 9 月月考试题 理（含解析） (考试范围：高考全部内容 (除选考部分 ) 得分： 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . (1)设 全集 U R，集合 A x|1 x 4，集合 B x|2 x 5，则 A(2 瘙 綂 UB) (B) (A)x|1 x 2 (B)x|1 x 2 (C)x|x 2 (D)x|x5 【解析】3 瘙 綂 UB x|x 2 或 x5 ，故 A(4 瘙 綂 UB) x|1 x 2，故选 B. (2)若 a b 0， c d 0，则一定有 (B) (A
2、)ad bc (B)ad bc (C)ac bd (D)ac bd 【解析】 c d 0， 1d 1c 0， 1d 1c 0，而 a b 0， ad bc 0， adbc，故选 B. (3)一个几何体的三视图及其尺寸 (单位： cm)如图所示，则该几何体的侧面积为 (C) (A)48 cm2 (B)144 cm2 (C)80 cm2 (D)64 cm2 【解析】三视图复原的几何体是正四棱锥，斜高是 5 cm，底面边长是 8 cm，侧面积为 124 85 80(cm2).故选 C. (4)命题 “ 若 ABC 有一内角为 3 ，则 ABC 的三内角成等差数列 ” 的逆命题 (D) (A)与原命题
3、同为假命题 (B)与原命题的否命题同为假命题 (C)与原命题的逆否命题同为假命题 (D)与原命题同为真命题 【解析】原命题显然为真，原命题的逆命题为 “ 若 ABC 的三内角成等差数列，则 ABC有一内角为 3 ” ，它是真命题 .故选 D. (5)函数 f(x) ln(x2 2)的图象大致是 (D) 【解析】由已知，函数为偶函数，所以 C 错；函数的定义域为 R，所以 B 错；令 x 0，f(0) ln 20 ，所以 A 错；故选 D. (6)设函数 f(x) 错误 !则满足 f(x)2 的 x 的取值范围是 (C) (A) 1,2 (B)0,2 (C)0， ) (D)1 ， ) 【解析】当
4、 x1 时， 21 x2 ，解得 x0 ，又因为 x1 ，所以 0 x1 ；当 x 1 时， 1 log2x2 ，解得 x 12，又因为 x 1，所以 x 1.故 x 的取值范围是 0， ). 故选 C. 5 (7)m ( ， 2)是方程 x2m 5y2m2 m 6 1 表示的图形为双曲线的 (A) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 【解析】当 m 2 时， m 5 0， m2 m 6 (m 3)(m 2) 0，所以此方程表示焦点在y 轴上的双曲线；反之，若此方程表示双曲线，则 m 2 不成立 .如 m 4 也表示双曲线 .所以 m ( ，
5、 2)是 方程 x2m 5y2m2 m 6 1 表示的图形为双曲线的充分不必要条件 . (8) 122 1 132 1 142 1 ? 1(n 1)2 1的值为 (C) (A) n 12(n 2) (B)34 n 12(n 2) (C)34 12? ?1n 1 1n 2 (D)32 1n 1 1n 2 【解析】 1(n 1)2 1 1n2 2n 1n(n 2) 12? ?1n 1n 2 ， 122 1 132 1 142 1 ? 1(n 1)2 1 12? ?1 13 12 14 13 15 ? 1n 1n 2 12? ?32 1n 1 1n 2 34 12? ?1n 1 1n 2 . (9)
6、在 ABC 中， a， b， c 分别为内角 A， B， C 所对的边， b c，且满足 sin Bsin A 1 cos Bcos A ，若点 O 是 ABC 外一点， AOB (0 ) ， OA 2OB 2，则平面四边形 OACB 面积的最大值是 (A) (A)2 5 34 (B)1 5 34 (C)3 (D)2 52 【解析】由已知得 sin(A B) sin A sin C sin A c a，又 b c， ABC 为等边三角形， AB2 5 4cos ， SOACB 1212sin 34 AB2 sin 3cos 5 34 2sin? ? 3 5 34 2 5 34 ，选 A. (1
7、0) ABC 中， A 90 ， AB 2， AC 1，设点 P、 Q 满足 AP AB ， AQ (1 ) AC ， R.若 BQ CP 2，则 (A) (A)13 (B)23 (C)43 (D)2 【解析】以点 A 为坐标原点，以 AB 为 x 轴的正方向， AC 为 y 轴的正方向，建立平面直角坐标系，由题知 B(2,0)， C(0,1)， P(2 ， 0)， Q(0,1 )， BQ ( 2,1 )， CP (2 ， 1)， BQ CP 2， 1 3 2，解得 13，故选 A. 6 (11)已知抛物线 y2 4x，圆 F： (x 1)2 y2 1，过点 F 作直线 l，自上而下依次与上述
8、两曲线交于点 A， B， C， D(如图所示 )，则有 |AB| CD|(A) (A)等于 1 (B)最小值是 1 (C)等于 4 (D)最大值是 4 【解析】设直线 l： x ty 1，代入抛物线方程，得 y2 4ty 4 0.设 A(x1， y1)， D(x2，y2)，根据线定义得 |AF| x1 1， |DF| x2 1，故 |AB| x1， |CD| x2，所以 |AB| CD| x1x2 y214y224(y1y2)216 ，而 y1y2 4，代入上式，得 |AB| CD| 1.故选 A. (12)已知函数 f(x)满足 f(x) 1 1f(x 1)，当 x 0,1时， f(x) x
9、，若在区间 ( 1,1上方程 f(x) mx m 0 有两个不同的实根，则实数 m 的取值范围是 (D) (A)? ?0， 12 (B)? ?12， (C)? ?0， 13 (D)? ?0， 12 【解析】方程 f(x) mx m 0 有两个不同的根 f(x) m(x 1)有两个不同的根 yf(x)与函数 y m(x 1)的图象有两个不同的交点，当 x ( 1,0)时， x 1 (0,1)， f(x) 1 1f(x 1) 1x 1， f(x) 1x 1 1， 所以 f(x) 错误 ! 在同一坐标系内作出 y f(x)， x ( 1,1与 y m(x 1)的图象，由图象可知，当两个函数图象有两个
10、不同公共点时， m 的取值范围为 ? ?0， 12 . 二、填空题，本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . (13)设 an是由 正数 组成的等比数列， Sn为其前 n 项和 .已知 a2a4 1， S3 7，则其公比 q等于 12 . 【解析】 an是由正数组成的等比数列，且 a2a4 1， 设 an的公比为 q，则 q 0，且 a23 1，即 a3 1. S3 7， a1 a2 a3 1q2 1q 1 7，即 6q2 q 1 0. 7 故 q 12或 q 13(舍去 )， q 12. (14)某公司租地建仓库，每月土地占用费 y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费
11、 y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距车站 10 公里处建仓库，这两项费用 y1和y2分别为 2 万元和 8 万元，那么要使这两项费 用之和最小，仓库应建在离车站 5 公里处 . 【解析】设 x 为仓库与车站距离，由已知 y1 20x ， y2 0.8x.费用之和 y y1 y2 0.8x 20x 2 0.8x 20x 8，当且仅当 0.8x 20x ，即 x 5 时 “ ” 成立 . (15)已知函数 f(x) x2 x， x， y 满足条件 错误 !若目标函数 z ax y (其中 a 为常数 )仅在 ? ?12， 12 处取得最大值，则 a 的取值范围是 ( 1,1) . 【解析】由已
12、知得 错误 !即 错误 ! 目标函数 z ax y (其中 a 为 常数 )仅在 ? ?12， 12 处取得最大值， 即 y ax z在过点 ? ?12， 12 时在 y轴的截距最大，如图，知所求 a的取值范围是 ( 1,1). (16)给定集合 A a1， a2， a3， ? ， an(n N， n3) ，定义 ai aj(1 i j n， i， jN)中所有不同值的个数为集合 A 两元素和的容量，用 L(A)表示 . 若 A 2,4,6,8，则 L(A) 5 ； 若数列 an是等差数列，设集合 A a1， a2， a3， ? ， am(其中 m N*， m 为常数 )，则L(A)关于 m
13、的表达式为 2m 3 . 【解析】 2 4 6,2 6 8,2 8 10,4 6 10,4 8 12,6 8 14， L(A) 5. 不妨设数列 an是递增等差数列可知 a1 a2 a3 ? am，则 a1 a2 a1 a3 ? a1am a2 am ? am 1 am，故 ai aj(1 i j m)中至少有 2m 3 个不同的数 . 又据等差数列的性质：当 i j m 时， ai aj a1 ai j 1； 当 i j m 时， ai aj ai j m am， 因此每个和 ai aj(1 i j m)等于 a1 ak(2 k m)中一个， 或者等于 al am(2 l m 1)中的一个
14、.故 L(A) 2m 3. 三、解答题：共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .第 (17) (21)题为必考题，每个试题考生都必须作答 .第 (22)， (23)题为选考题，考生根据要求作答 . (一 )必考题： 60 分 . (17)(本小题满分 12 分 ) 已知函数 f(x) asin x bcos x， a0 ， x R， f? ?23 1， f(x)的最大值是 2. ( ) 求 a、 b 的值； 8 ( ) 先将 f(x)的图象上每点的横坐标缩小为原来的 12，纵坐标不变，再将其向右平移 6个单位得到函数 g(x)的图象，已知 g? ? 4 1013， ? ? 6
15、 ， 2 ，求 cos 2 的值 . 【解析】 ( )由已知有： 错误 !解之得： 错误 !3 分 ( ) 由 ( )有 f(x) 3sin x cos x 2sin? ?x 6 ， 5 分 因为将 f(x)的图象上每 点的横坐标缩小为原来的 12，纵坐标不变，再将其向右平移 6 个单位得到函数 g(x)的图象，则 g(x) 2sin? ?2x 6 ， 7 分 由 g? ? 4 1013， ? ? 6 ， 2 得 sin? ?2 3 513，且 2 3 ? ?23 ， ， 则 cos? ?2 3 1213， 10 分 cos 2 cos? ? ?2 3 3 cos? ?2 3 cos 3 sin? ?2 3 sin 3 1213 12 513 32 5 3 1226 .12 分 (18)(本小题满分 12 分 ) 如图，平行四边形 ABCD 中， DAB 60 ， AB 2AD 2， M 为 CD 边的中点，沿 BM 将 CBM折起使得平面 BMC 平面 ABMD. ( )求证：平面 AMC 平面 BMC； ( )求四棱锥 C ADMB 的体积； ( )求折后直线 AB 与平面 ADC 所成的角的正弦值 . 【解析】 ( ) 平面 BMC 平面 ABMD，平面 BMC 平面 ABMD MB， 由题易知 AM MB，且 AM 平面
