1、 1 辽宁省庄河市 2018届高三上学期开学考试 数学（文）试题 第 卷（共 60分） 一、选择题：本大题共 12个小题，每小题 5分，共 60分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 已知集合 ， ，则 ( ) A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 由条件知 , .所以结果为 C 2. 已知复数 （ ）的实部和虚部相等，则 （ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】 D 【解析】 令 ,解得 故 3. 若 ， ， ， 则（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 因为 ， 所以 ， 由于，所以 ，应选答案 A 。 4. 下列选项中说法正确
2、的是（ ） A. 若 ，则 B. 若向量 满足 ，则 与 的夹角为锐角 C. 命题 “ 为真 ” 是命题 “ 为真 ” 的必要条件 D. “ ， ” 的否定是 “ ， ” 【答案】 C 【解析】 解： ,当 时，结果不对 . ,当两个向量夹角为零角时，向量点积仍为大于零，所以不对 . , 为真则两者均为真， 为真两者有一个为真即可 .D, ，2 应该为 . 5. 若双曲线 ： 的左、右焦点分别是 ， 为双曲线 上一点，且 ， ， ，则双曲线 的离心率为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】 B 【解析】 解： P为双曲线 M上一点，且 |PF1|=15， |PF2|=7， |F1F2
3、|=10， 由双曲线的定义可得a=4， c=5，则双曲线的离心率为： e= = 点睛：利用双曲线的定义以及双曲线的简单性质求解双曲线的离心率即可 6. 等差数列 中， ，则 （ ） A. 10 B. 20 C. 40 D. 【 答案】 D 考点：等差数列性质 7. 在区间 上随机取一个 的值，执行如下的程序框图，则输出 的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 3 【解析】 解：由条件知 ， 当 0x6 ， 2x 13 ， 解得 2x6 ； 当 6 x8 时 ， ，无解， 输出的 y3 的概率为 . 点睛：利用分段函数，求出输出的 y3 时， x的范围，以长度为测度求出相应的概率
4、8. 将正方体切去一个三棱锥得到几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ） A. 1 B. C. D. 6 【答案】 A 【解析】 由三视图知，该几何体为一个边长为 2的正方体截去一个底面是直角边分别为 1、2的直角三角形、高为 2的三棱锥，所以该几何体的体积 ，故选 A 9. 在等比数列 中， “ 是方程 的两根 ” 是 “ ” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件 【答案】 D 【解析】 由韦达定理知 ，则 ，则等比数列中，则 在常数列 或 中， 不是所给方程的两根则在等比数列 中， “ ， 是方程 的两根 ” 是“ ”
5、的充分不必要条件故本题答案选 4 10. 九章算术中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑 .若三棱锥 为鳖臑， 平面 ， ， ，三棱锥 的四个顶点都在球 的球面上，则球 的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 由题可知，底面 为直角三角形，且 ，则 ，则球 的直径，则球 的表面积 选 C 11. 函数 ，则（ ） A. B. C. D. 的大小关系不能确定 【答案】 C 【解析】 ， 令 ，得到 ，即函数在上单调递增，在 上单调递减， ，选 C 12. 如图所示点 是抛物线 的焦点，点 分别在抛物线 及圆的实线部分上运动，且 总是平行于 轴，则 的周长的取值范围
6、是（ ） 5 A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 抛物线的准线 ，焦点 ，由抛物线定义可得 ， 圆 的圆心为 ，半径为 4， 的周长 ， 由抛物线 及圆 可得交点的横坐标为 2， ， ，故选 B. 点睛：本题考查抛物线的定义，考查抛物线与圆的位置关系，确定 B点横坐标的范围是 关键；由抛物线性质抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等可得 ，从而可得 的周长 ，确定 B点横坐标的范围，即可得到结论 . 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上） 13. 已知单位向量 满足 ，则向量 与 的夹角为 _ 【答案】 【解析】 由题可得 ，故向量
7、与 的夹角为 （或写成 ） . 14. 已知函数 是偶函数，当 时， ，则曲线 在点处切线的斜率为 _ 【答案】 8 6 【解析】试题分析：当 时， ，则 ， 函数 是偶函数， ,故 选 B. 考点：偶函数的性质，导数的运算 15. 已知函数 （ 为正实数）只有一个零点，则 的最小值为_ 【答案】 【解析】 函数只有一个零点，则 ，则，可知 ，又，则故本题应填 . 16. 设 是数列 的前 项和，且 ， ，则 _ 【答案】 【解析】 解： ， ,可得 ，可得，可得 = n，即有 Sn= ，则 三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. 已
8、知直线 是函数 的图象的一条对称轴 . （ 1）求函数 的单调递增区间； （ 2）设 中角 所对的边分别为 ，若 ，且 ，求 的取值范7 围 . 【答案】 （ 1）增区间： ；（ 2） . 【解析】 试题分析： （ 1） 是函数 的一条对称轴 或 ，根据三角函数的性质，即可求出单调性；（ 2） 可得 ，又 ，由正弦定理得： ，由，即可求出结果 . 试题解析： （ 1） 是函数 的一条对称轴 或 增区间： （ 2） 又 ，由正弦定理得： ，即 18. 学校为了了解 两个班级学生在本学 期前两个月内观看电视节目的时长，分别从这两个班级中随机抽取 10 名学生进行调查，得到他们观看电视节目的时长分别
9、为（单位：小时）： 班： 5、 5、 7、 8、 8、 11、 14、 20、 22、 31； 班： 3、 9、 11、 12、 21、 25、 26、 30、 31、 35. 将上述数据作为样本 . （ 1）绘制茎叶图，并从所绘制的茎叶图中提取样本数据信息（至少写出 2条）； （ 2）分别求样本中 两个班级学生的平均观看时长，并估计哪个班级的学生平均观看的时间较长； 8 （ 3）从 班的样本数据中随机抽取一个不超过 11 的数据记为 ，从 班的样本数据 中随机抽取一个不超过 11的数据记为 ，求 的概率 . 【答案】 （ 1） 班数据有集中在茎 0、 1、 2上，班数据有集中在茎 1、 2、
10、 3上； 班叶的分布是单峰的，班叶的分布基本上是对称的； 班数据的中位数是 10，班数据的中位数是 23.；（ 2）甲的平均数为： 13.2；已的平均数为20.3；因为，所以由此估计班学生平均观看的时间较长 .（ 3） . 【解析】 试题分析： （ ）按照茎叶图的规则可得茎叶图，从图中可归纳一些数据信息 （ ）由平均值公式可计算出均值； （ ）抽出的数据可组成一个数对 ，可用列举法得出数对个数，并能得出 的数对个数，从而得概率 试题解析： （ ）茎叶图如下（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）： 从茎叶图中可看出： 班数据有 集中在茎 0、 1、 2上， 班数据有 集中在茎 1、 2、 3上
11、； 班叶的分布是单峰的， 班叶的分布基本上是对称的； 班数据的中位数是 10， 班数据的中位数是 23 （ ） 班样本数据的平均值为小时； 班样本数据的平均值为小时 因为 ，所以由此估计 班学生平均观看时间较长 9 （ ） 班的样本数据中不超过 11 的数据 有 6个，分别为 5,5,7,8,9,11； 班的样本数据中不超过 11的数据 有 3个，分别为 3,9,11 从上述 班和 班的数据中各随机抽取一个，记为 ，分别为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共 18 种， 其中 的有： ， ， ， ， ， ， ，共 7种 故 的概率为 19. 如图所示，在四棱锥 中，四
12、边形 为矩形， 为等腰三角形，平面 平面 ，且 ， ， 分别为 的中点 . （ 1）证明： 平面 ； （ 2）证明：平面 平面 ； （ 3）求四棱锥 的体积 . 【答案】 （ 1）见解析；（ 2） . 【解析】 试题分析：（ 1） EF 平面 PAD，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证 EF与平面 PAD内一直线平行，连 AC，根据中位线可知 EFPA ， EF?平面 PAD， PA?平面 PAD，满足定理所需条件； （ 2平面 PAD 平面 ABCD，根据面面垂直的判定定理可知在平面 ABCD内一直线与平面 PAD垂直，根据面面垂直的性质定理可知 CD 平面 PAD，又 CD?平面 AB
13、CD，满足定理所需条件； （ 3）过 P作 POAD 于 O，从而 PO 平面 ABCD，即为四棱锥的高，最后根据棱锥的体积公式求出所求即可 解： (1)如图 所示， 10 连接 . 四边形 为矩形，且 为 的中点 , 也是 的中点 . 又 是 的中点， , 平面 ， 平面 . 平面 (2) 证明： 平面 平面 ， ，平面 平面 ， 平面 . 平面 ， 平面 平面 . (3)取 的中点 ，连接 . 平面 平面 ， 为等腰三角形， 平面 ，即 为四棱锥 的高 . ， . 又 ， 四棱锥 的体积 . 20. 设点 是 轴上的一个定点，其横坐标为 （ ），已知当 时，动圆 过点 且与直线 相切，记动
14、圆 的圆心 的轨迹为 . （ 1）求曲线 的方程 ； （ 2）当 时，若直线与曲线 相切于点 （ ），且与以定点 为圆心的动圆 也相切，当动圆 的面积最小时，证明： 两点的横坐标之差为定值 . 【答案】 （ 1） ；（ 2）当动圆的面积最小时，即当动圆的面积最小时，两点的横坐标之差为定值 . 【解析】 试题分析： （ ）由切线的性质知点 到点 的距离与到直线 的距离相等，即点 的轨迹为以点 为焦点，直线 为准线的抛物线，由此可得方程； （ ）设出直线方程为 ，与抛物线方程联立方程组，利用相切（判别式为0）可得斜率 ，点 到此直线的距离就是圆的半径，变形为用基本不等式求出 它的最小值，而最小值时恰好有 ，结论得证 试题解析： （ ）因为圆 与直线 相切，所以点 到直线 的距离等于圆 的半径， 所以，点 到点 的距离与到直线 的距离相等 .
