1、 - 1 - 2017-2018 学年第一学期第二次月考 高三数学试题（文科） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分 .满分 150 分 .考试时间 120 分钟 . 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 . 2.考生作答时，将答案答在答题卡上 .请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效 .在草稿纸、试题卷上答题无效 . 3.选择题答案使用铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工 整、笔迹清楚 . 4.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损
2、.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 . 第卷（选择题共 60 分） 一、选择题 :本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.集合 ? ? 1 , 1 2A x x B x x? ? ? ? ? ?，则 AB 等于（ ） A. | 1 2xx? ? ? B. | 1xx? C. 1 1xx? ? ? D. 1 2xx? 2.设复数 z 满足 2z i i? ? ? ， i 为虚数单位， 则 z? （ ） A.2i? B. 12i? C. 12i? D.12i? 3.设 2( ) 3xf x x?，则在下列区间中，使 ()f
3、x有零点的区间是（ ） A.(0,1) B.(1,2) C.( 2, 1)? D.( 1,0)? 4.下列函数中，在区间 (0, )2? 上为增函数且以 ? 为周期的函数是（ ） A. sin2xy? B. sinyx? C. tanyx? D. cos2yx? 5.已知等差数列 ?na 满足 32?a ， 1 17( 2)nan? ?，其前 n 项和 100?nS ，则 n? （ ） A.8 B.9 C.10 D.11 6.已知 A 是 ABC? 的内角，则“ 1cos 2A? ”是“ 23sin ?A ”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条
4、件 - 2 - 7.某同学设计右面的程序框图用以计算和式 2 2 2 21 2 3 20? ? ? ?的值，则在判断框中应填写（ ） A. 19i? B. 19i? C. 20i? D. 21i? 8.设 ABC? 的内角 ,ABC 的对边分别为 ,abc，若 c o s c o s sinb C c B a A?，则 ABC? 的形状为（ ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 9.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为 32 ，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是（ ） A.4 B. 32 C.2 D. 3 10.定义在 R 上的
5、函数 ()fx满足 2l o g (1 ) , 0 ,()( 1 ) ( 2 ) , 0xxfx f x f x x? ? ? ? ? ?，则 (2015)f ? （ ） A.-1 B.0 C.1 D.2 11.设 1m? ，在约束条件1yxy mxxy?下，目标函数 z x my? 的最大值小于 2，则 m 的取值范围为（ ） A.(1,1 2)? B.(1 2, )? ? C.(1,3) D.(3, )? 12.对二次函数 2()f x ax bx c? ? ?（ a 为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个是错误的，则错误的结论是（ ） A.1是 ()fx的极值点 B.-
6、1是 ()fx的零点 C.3是 ()fx的极值 D.点 (2,8) 在曲线 ()y f x? 上 第卷（非选择题共 90分） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20分 13.函数 ( ) cosf x x x? 在点 ( , )? 处的切线方程是 _. 14.若向量 (1 , 3 ) , , 0O A O A O B O A O B? ? ? ? ?，则 AB? _. 15.设动点 ( , )Pxy 满足 1 0,4 0,3xyxyx? ? ? ? ?，则 22xy? 的最小值为 _. - 3 - 16.已知 数列 na 的通项公式为nann?，若 na 为递增数列，则实数 ?
7、的取值范围是_. 三、解答题：共 70 分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .第 17 21 题为 必考题，每个试题考生都必须作答 .第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答 . （一）必考题：共 60分 . 17 （ 12分） 已知函数 xxxf 2co s22s in)( ? ? ?Rx? . （ 1）求函数 ()fx的最小正周期； （ 2） 求函数 )(xf 的单调递增区间，并写出函数 ()fx的图象的对称轴方程 18 （ 12分） 已知抛物线 2: 2 ( 0)C y px p?过点 (1, 2)A ? . （ 1）求抛物线 C 的方程及焦点坐标； （ 2）是否存在平行
8、于 OA（ O 为坐标原点）的直线 l ，使得直线 l 与抛物线 C 有公共点，且直线 OA 与直线 l 的距离等于 55 ？若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由 . 19（ 12分） 在正项等比数列 ?na 中，公比 ? ?1,0?q ，且 23?a ， 252 534231 ? aaaaaa . （ 1）求数列 ?na 的通项公式； （ 2）设 nn ab 2log? ，数列 ?nb 的前 n 项和为 nS ，当 nSSS n? 21 21 取最大值时，求 n 的值 . 20.(12分） - 4 - 如图，四棱锥 P ABCD? 中， PA? 底面 ABCD ， AD BC ， 3 ,
9、 4A B A D A C P A B C? ? ? ? ?， M 为线段 AD 上一点， 2AM MD? ， N 为PC 的中点 （ 1）证明 MN 平面 PAB ； （ 2）求四面体 N BCM? 的体积 21（ 12分） 已知函数 ( ) lnf x x x? . （ 1）求函数 ?xf 的极值； （ 2）设函数 ? ? ? ? ? ?1? xaxfxg ，其中 Ra? ，求函数 ?xg 在 ? ?e,1 上的最小值 .（其中 e 为自然对数的底数） （二）选考题：共 10 分 .请考生在第 22、 23 题中任选一题作答 .如果多做，则按所做的的第一题计分 . 22.选修 4 4：坐标
10、系与参数方程 （ 10分） 已知极坐标系的极 点在直角坐标系的原点处，极轴与 x 轴的正半轴重合，直线 l 的参数方程为31,212xtyt? ? ? ?（ t 为参数），曲线 C 的极坐标方程为： 4cos? . （ 1）写出 C 的直角坐标方程，并指出 C 是什么曲线； （ 2）设直线 l 与 C 交于 ,PQ两点，求 PQ 值 - 5 - 23.选修 4 5：不等式选讲 （ 10 分） 已知函数 ( ) 2f x x a a? ? ?. （ 1）若不等式 ( ) 6fx? 的解集为 2,3? ，求实数 a 的值； （ 2）在（ 1）的条件下，若存在实数 n 使 ( ) ( )f n m
11、f n? ? ?成立，求实数 m 的取值范围 . 高三上学期第二次月考数学（文科）参考答案 一、选择题 （本大题共 12小题，每小题 5分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B D D C A C A B C A B 二、填空题 （本大 题共 4小题，每小题 5分，共 20 分） 题号 13 14 15 16 答案 0xy? 25 8 2? 三、解答题 （本大题共 6小题，共 70 分 ） （一）必考题 . 17.解： （ 1） 2co s22s in)( ? xxf = 12cos2sin ? xx ，? 2分 则 1)42s in (2)
12、( ? ?xxf ，? 4分 所以，函数 )(xf 的最小正周期为 ? ? 6分 （ 2）由 2 2 22 4 2k x k? ? ? ? ? ? ?，得 388k x k? ? ? ? ? 8分 所以，函数 )(xf 的单调递增区间为： ? ?3,88k k k Z? ? ? 9分 由 2 42xk? ? ? ，得 328kx ?，? 11分 故对称轴方程为： ? ?328kx k Z? ? ?.? 12分 - 6 - 18.解 ：（ 1）把点 (1, 2)A ? 代入 2 2y px? ，得 2( 2) 2p?，即 2p? ， 所以抛物线 C 的方程为 2 4yx? .焦点坐标为 (1,0
13、) . ? 4分 （ 2）假设存在直线 l 满足题设条件，依题意，直线 OA的方程为 20xy?，设直线 l 的方程为 20x y b? ? ? . 联立 2 4,20yxx y b? ? ? ? ?，消去 x ，整理得 2 220y y b? ? ?. 由 22 4 2 0b? ? ? ? ?，解得 12b? . ? 8分 又因为直线 OA与直线 l 的距离等于 55 ，所以225521b ? ，所以 1b? . 由 得 1b? ，即所求直线 l 的 方程为 2 1 0xy? ? ? . ? 12 分 19.解： （ 1）因为 1 3 2 4 3 52 2 5a a a a a a? ? ?
14、， 所以 ? ? 2222 2 4 4 2 42 2 5a a a a a a? ? ? ? ?， 因为 ?na 是正项等比数列，所以 245aa?，又因为 3 2a? ，所以 2 25qq?. 由于 01q?，所以 12q? .? 4分 所以 343 1( ) 22 nnnaa ? ? ?.? ? 6分 （ 2）因为2 (7 ) 7l o g 4 , ,22nn n n Sn n nb a n S n? ? ? ? ?，? 8分 所以 12nSn? ? 是 公 差 为 的 等 差 数 列， ? 9分 当 7n? 时， 0nSn? ，所以 6n? 或者 7n? .? 11分 即当 nSSS n
15、? 21 21 取最大值时， 76或?n .? 12分 20.解 :（ 1）由已知得 2 23AM AD?.取 BP 的中点 T ，连接 ,ATTN ，由 N 为 PC 的中点知 TN BC ， 1 22TN BC?，又 AD BC ，故 TN MA ，四边形 AMNT 为平行四边形，于是 MN AT . - 7 - 因为 AT? 平面 PAB ， MN? 平面 PAB 所以 MN 平面 PAB . ? 6分 （ 2）因为 PA? 平面 ABCD ， N 为 PC 的中点，所以 N 到平面 ABCD 的距离为 12PA .取 BC 的中点 E ，连接 AE ，由 3AB AC?得 AE BC?
16、 ，22 5A E A B B E? ? ?. 由 AM BC 得 M 到 BC 的距离为 5 ，故 1 4 5 2 52B C MS ? ? ? ? ?， 所以四面体 N BCM? 的体积 1 4 5332N B C M B C M PAVS? ? ? ?.? 12分 21.解： （ 1）因为 ( ) ln 1f x x? ?，且 0x? ， 而 ?xf? 0?lnx+1 0? ?xfe ?, 0?1ln?x 0?0 x,1e所以 ?xf在? e1,0上单调递减，在? ?,1e上单调递增 . 所以 ex 1?是函 数 ?xf的极小值点，极大值点不存在 . ? 4分 所以当 ex 1?时， ?
17、xf取极小值为 e? . ()fx无极大值 .? 5分 （ 2） ? ? ? ?1ln ? xaxxxg ，则 ? ? .1ln axxg ? ?xg? 0 ax ? 1ln 0?0 ? ?xgea ? ,1 0? ,1?ae所以 ?xg在 ? ?1,0 ?ae上单调递减，在 ? ?,1ae 上单调递增 . ? 7分 当 ,11?ae 即 1a时， ?xg在 ? ?e,1上单调递增， 所以 ?xg在 ? ?e,1上的最小值为 ? .01?g 当 11?ae e，即 1 a 2时， ?xg在 ? ?1,1 ?ae上单调递减，在 ? ?eea ,1?上单调递增 . ?xg在 ? ?e,1上的最小值为 ? ? .11 ? ? aa eaeg 当 ,1? aee即 2?a时， ?xg在 ? ?e上单调递减， 所以 ?xg在 ? ?e,1上的最小值为 ? ? .aeaeeg ? 综上所述， 当 1?a时， ?xg的最小值为 0； - 8 - 当 1 a 2时， ?xg的最小值为 1?aea； 当 2?a时， ?xg的最小值为 .aeea ? 12 分 （二）选考题 22.解： （ 1）因为 4cos? ，所以 2 4 cos? ? ? ，由 2 2 2 , c o sx y x? ?
