1、 1 2018届高三第一学期开学考试 数学 (理科 )试卷 （完卷时间 120分钟；满分 150分） 第卷 （选择题 共 60分） 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5 分，共 60分在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的把正确选项涂在答题 卡的相应位置上） 1. 已知复数 z 满足 2zi i x?()xR? ，若 z 的 虚部为 2，则 z? （ ） A 2 B 22 C5D32已知命题 :p “ , 1 0xx e x? ? ? ? ?R ”，则 p? 为 （ ） A , 1 0xx e x? ? ? ? ?R B , 1 0xx e x? ? ? ? ?R C , 1
2、0xx e x? ? ? ? ?R D , 1 0xx e x? ? ? ? ?R 3 阅读算法框图，如果输出的函数值在区间 1,8 上，则输入的实数 x 的取值范围是 ( ) A 0,2) B 2,7 C 2,4 D 0,7 4若 2 cos 2 sin ( )4?，且()2? ，则 cos2? 的值为（ ） A 78? B 158? C 1D 158 2 5若实数 ,xy满足不等式组201020xyx y a? ? ? ?目标函数 2t x y? 的最大值为 2 ，则实数 a 的值是（ ） A 2 B 2 C 1 D 6 6如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ） A 32
3、1 ? B 322 ? C 323 ? D 324 ? 7 64(1 ) (1 )xx?的展开式中 2x 的系数是（ ） A 4? B 3? C 3 D 4 8 已知抛物线2:8C y x?与直 线 ? ? ?20y k x k? ?相交于 ,AB两点， F为 C的焦点，若2FA FB?，则 k ( ) A 223B13C23D239已知 32 ,2()( 1) , 2xfx xxx? ? ?，若函数 ( ) ( )g x f x k?有两个零点，则两零点所在的区间为 ( ) A ( ,0)? B (0,1) C ? ?1,2 D (1, )? 10. 已 知 三 棱 锥 O ABC? 底面
4、ABC 的 顶 点 在 半 径 为 4 的球 O 表 面 上 ， 且6 , 2 3 , 4 3A B B C A C? ? ?，则三棱锥 O ABC? 的体积为（ ） A 4 3 B 123 C 18 3 D 363 11设 12,FF是双曲线 22 1( 0, 0 )xy abab? ? ? ?的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点 P ，使3 22( ) 0OP OF F P? ? ? ? ?（ O 为坐标原点），且 123PF PF? ，则双曲线的离心率为（ ） A 212? B 21? C 312? D 31? 12已知 偶 函数 ()fx 是定义在 R 上的可导函数，其导函数为 ()f
5、x? ，当 0x? 时 有22 ( ) ( )f x xf x x?，则不等式 2( 2 0 1 4 ) ( 2 0 1 4 ) 4 ( 2 ) 0x f x f? ? ? ? ?的解集为 ( ) A ? ?, 2012? B ? ?2016, 2012? C ? ?, 2016? D ? ?20160? ， 第卷 （非选择题 共 90分） 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分，把答案填在答题卡的相应位置上） 13在等比数列 ?na 中， 378aa? ， 466aa?，则 28aa? 14 已知在 ABC? 中， 4AB? , 6AC? ， 7BC?其 外 接 圆 的 圆
6、心 为 O ， 则AOBC?_ 15 以下命题正确的是： 把函数 3sin(2 )3yx?的图象向右平移 6?个单位，可得到 3sin2yx?的图象； 四边形 ABCD为长方形， 2, 1,AB BC O?为 AB中点，在长方形 ABCD内随机取一点 P，取得的 P点到 O的距离大于 1的概率为12?； 某校开设 A 类选修课 3 门， B 类选择课 4 门，一位同学从中共选 3 门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 30种 ； 在某项测量中，测量结果服从正态分布 N（ 2， 2）（ 0）若 在（， 1）内取值的概率为 0.1，则在（ 2， 3）内取值的概率为 0.4 16.已知
7、 ABC? 的三个内角 ,ABC 所对的边分别为 ,abc， (3 )(s in s in ) ( ) s inb A B c b C? ? ? ?，且 3a? ，则 ABC? 面积的最大值为 . 三、解答题：本大题共 6小题，共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 (本小题满分 12分 ) 4 已知数列 ?na的前 项和 nS满足 2 3 1nnSa?，其中*nN? （ I）求数列 ?na的通项公式； （ II）设 23nnnab nn? ?，求数列?nb的前 项和为 nT 18 (本小题满分 12分 ) 某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体 10
8、00 名学生中随机抽取了 100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图 （ I）试估计该校高三学生视力在 5 0以上的人数； （ II）为了进一步调查学生的护眼习惯，学习小组成员进行分层抽样，在视力 4.2 4.4 和 5.0 5.2的学生中抽取 9 人，并且在这 9 人中任取 3 人，记视力在 4.2 4.4 的学生人数为 X ，求 X 的分布列和数学期望 19 (本小题满分 12分 ) 已知：矩形 11ABBA ，且 12AB AA? ， CC,1 分别是 11BA 、 BA 的中点， D 为 CC1 中点，将矩形 11ABBA 沿着直线 CC1 折成一个 60o 的二面角，如图所示
9、. 5 DCBB 1C 1A 1A（）求证： 1AB 1AD； （）求 1AB 与平面 11ABD 所成角的正弦值 . 20.(本小题满分 12分 ) 已知以 A 为圆心的圆 64)2( 22 ? yx 上有一个动点 M ， )0,2(?B ，线段 BM 的垂直平分线交AM 于点 P ， 点 P 的轨迹为 E （）求轨迹 E 的方程； （）过 A 点作两条相互垂直的直线 21,ll 分别交曲线 E 于 GFED , 四个点，求 FGDE? 的取值范围 21 (本小题满分 12 分 )已知函数 ( ) ln af x x x?， aR? ,且函数 ()fx在 1x? 处的切线平行于直线 20xy
10、? （）实数 a 的值； （）若在 ? ?1,e （ e 2.718.? ）上存在一点 0x ，使得0001 ()x mf xx?成立，求实数 m 的取值范围 . 本题有 (22)、 (23)两 题中任选一题做答 ,如果多做，则按所做的第一题计分作答时，先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 ，并将所选题号填入括号中 （ 22）（本小题满分 10分）选修 4-4：坐标系与参数方程 C 1CB 1BA 1A6 在极坐标系中，圆 C 的极坐标方程为： 2 4 (co s sin ) 6? ? ? ? ? ?.若以极点 O 为原点，极轴所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系 . （）求圆
11、C 的参数方程； （）在直角坐标系中，点 ( , )Pxy 是圆 C 上动点，试求 xy? 的最大值，并求出此时点 P 的直角坐标 . （ 23）（本小题满分 10分）选修 4-5：不等式选讲 已知 ,mn都是实数， 0m? ， ( ) 1 2f x x x? ? ? ?. (I)若 ( ) 2fx? ，求实数 x 的取值范围； (II)若 ()m n m n m f x? ? ? ?对满足条件的所有 ,mn都成立，求实数 x 的取值范围 7 2018届高三第一学期开学考试 数学 (理科 )答案 第卷 （选择题 共 60分） 一、选择题（本大题 共 12小题，每小题 5 分，共 60分在每小题
12、所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的把正确选项涂在答题卡的相应位置上） 1.B 2.C 3.D 4.D 5.B 6.C 7.B 8.A 9.D 10. A 11. D 12.B 第卷 （非选择题 共 90分） 二、填空题（本大题共 5小题，每小题 4分，共 20分，把答案填在答题卡的相应位置上） 13 9 14 10 15. 16.934 三、解答题：本大题共 6小题，共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 4 (本小题满分 12分 ) 解 :（ I）*31()22nnS a n N? ? ?， 当 11311, 22n S a? ? ?， 1 1a?，? 2分 当 2n?， n
13、nSa?， -： 13322n n na a a ?，即： 13 ( 2)nna a n? ? 4分 又 1 1a?， 2 3a? ， 1 3nna? ?对*nN?都成立，所以 ?na是等比数列， 1*3 ( )nna n N? .? 6分 （ II） 23nnnab nn? ?， 23nb nn? ?，? 9分 8 1 1 1 1 13 (1 )2 2 3 1nT nn? ? ? ? ? ? ? ?， 133(1 ) 311nT nn? ? ? ?，即 3 1n nT n? ?.? 12分 18 (本小题满分 12分 ) 解：（ I）设各组的频率为 ( 1,2,3,4,5,6)ifi?， 2
14、3.0,26.0,27.0,07.0,03.0 54321 ? fffff ， 所以视力在 0.5 以上的频率为 14.0)23.026.027.007.003.0(1 ? ， 估计该校高三学生视力在 5 0以上的人数 约为 14014.01000 ? 人 ? 4分 （ II） 依题意 9人中 视力在 4.2 4.4 和 5.0 5.2 的学生分别有 3人和 6人， X可取 0、 1、 2、 3 3639 20( 0) 84CPX C? ? ?， 216339 45( 1) 84CCPX C? ?， 126339 18( 2) 84CCPX C? ? ?， 3339 1( 3) 84CPX C
15、? ? ? ? 10分 X的分布列为 0 1 2 3 P208445841884184X的数学期望 2 0 4 5 1 8 1( ) 0 1 2 3 18 4 8 4 8 4 8 4EX ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 12 分 19 (本小题满分 12分 ) 9 （） 解法一 ：连结 AB 、 11AB ， CC,1 分别是矩形 11ABBA 边 11BA 、 BA 的中点， 1AC CC? ， 1BC CC? ， AC BC C? 1CC ?面 ABC ACB? 为二面角 A CC A? 的平面角， 则 60OACB? ABC? 为正三角形，即几何体 111 CBAABC ? 是正
16、三棱柱 . 四边形 11AABB 为正方形 BAAB 11 ? ，? 2分 取 BC 中点 O ，连结 AO ，则 BCAO? . 正三棱柱 111 CBAABC ? 中，平面 ABC 平面 11BBCC , AO 平面 11BBCC , ?BD 平面 11BBCC , AO BD 在 正方形 11BBCC 中， BDOB ?1 ? 3分 OOBAO ? 1 , BD 面 OAB1 ， BD 1AB . 1AB 平面 DAB1 1AB 1AD? 6分 （） 解法二： 连结 AB 、 11AB ， CC,1 分别是矩形 11ABBA 边 11BA 、 BA 的中点， 1AC CC? ， 1BC
17、CC? ， AC BC C? 1CC ?面 ABC ACB? 为二面角 A CC A? 的平面角，则 60OACB? ABC? 为正三角形，即几何体 111 CBAABC ? 是正三棱柱 . 取 BC 中点 O ，连结 AO 则 BCAO? ， 10 正三棱柱 111 CBAABC ? 中，平面 ABC 平面 11BBCC ， AO 平面 11BBCC ? 1分 取 11CB 中点 1O ，以 O 为原点， OAOOOB ， 1 的方向为 ,xyz 轴的正方向建立空间直角坐标系，不妨设 1 2AA? ，则 )0,0,1(B ， )0,1,1(?D , )3,0,0(A , )3,2,0(1A , )0,2,1(1B 则 1 (1,2 3)AB ? ， 1 ( 1, 1, 3)AD
