1、 1 福建省泉州市惠安县 2017 届高三数学上学期第四次月考试题 文 本试卷分第 卷（选择题）和第 卷（ 必考题和选考题两部分 ） 。考生作答时，将答案答在答 题卡上，在 本试卷上答题无效。 第卷 一、选择题（ 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 。在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。） （ 1） 已知集合 1,1, 2A? ， 2 | , B y y x x A? ? ?，则 ?BA? （ A） 1 （ B） 1,2 （ C） 0,4 （ D） 1,1,2? （ 2） 在复平面内，复数 21ii? 对应的点位于 （ A） 第一象限 （ B） 第二象限 （
2、C） 第三象限 （ D） 第四象限 （ 3） 已知等比数列 na 中， 3 2a? ， 4616aa? ，则 12 1086aaaa? ? （ A） 2 （ B） 4 （ C） 8 （ D） 16 （ 4） 若命题 错误 !未找到引用源。 ： xxRx cossin, ? ；命题 q ： 2, 1 0x R x? ? ? ? ，则下列结论正确的是 （ A） 错误 !未找到引用源。 为假命题 （ B） 错误 !未找到引用源。 为假命题 （ C） 错误 !未找到引用源。 为假命题 （ D） 错误 !未找到引用源。 为真命题 （ 5） 下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是 (A) 3yx? (
3、B)yx? ( C) 1y x? (D) 1()2xy? （ 6） 函数 3 | |( )2 xy x x? 图象大致是 （ A） （ B） （ C ） （ D） （ 7） 已知 1F ， 2F 分别是椭圆 C ： ? ?22 10xy abab? ? ? ?的左 , 右焦点 , 点 3(1, )2A 在椭圆 C 上 , 124AF AF?, 则椭圆 C 的离心率是 2 (A) 12 (B) 54 (C)23 (D) 32 （ 8） 算数书是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求 “ 囷盖 ” 的术：置如其周，令相乘也 又以高乘之， 三十六成一 该术 相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与
4、高 h ，计算其体积V 的近似公式 2136V Lh? 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 ? 近似取为 3 那么，近似公式 2275V Lh? 相当于将圆锥体积公式中的圆周率 ? 近似取为 （ A） 227 （ B） 258 （ C） 15750 （ D） 355113 （ 9） 已知角 ? 的终边经过点 (5, 12)P ? ，函数 ( ) sin( )f x x?（ 0? ）满足对于任意 x ，存在 12,xx使得 12( ) ( ) ( )f x f x f x?成立，且 12|xx? 的最小值为 4? ，则 ()4f ? ? （ A） 513 （ B） 513? （ C） 1213
5、（ D） 1213? （ 10） 在平行四边形 ABCD 中， 2AB? ， 1AD? ， 60A? ，点 M 在 AB 边上，且 13AM AB? ，则 DM DB? （ A） 33? （ B） 33 （ C） 1? （ D） 1 （ 11） 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面 体的表面积为 （ A） 8 8 2 4 6? （ B） 8 8 2 2 6? （ C） 2 2 2 6? （ D） 1 2 62 2 4? （ 12） 已知 定义在 R 上 的函数 ()fx，其 导函数为 ()fx满足 ( ) ( ) 2 0f x f x? ? ?， (0)
6、 1f ? ，则不等式 ( ) 2xf x e?（其中 e 是自然对数的底数）的解集为 （ A） ( , 1) (0, )? ? ? （ B） ( ,0) (0, )? ? （ C） ( 1, )? ? （ D） (0, )? 第卷 本 卷包括必考题 和选 考题两部分。第 13 题 第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22 题 第 24 题为选考题，考生根据要求作答。 二 、 填空题（ 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 。） 3 （ 13） 实数 ,xy满足 10303 3 0xyxyxy? ? ? ? ? ? ?，则 2z x y?的最大值为 . （ 14） 已知
7、双曲线 222 1( 0)3xy aa ? ? ?的离心率为 2，则 ?a _ （ 15）三棱锥 P ABC? 中， PA? 平面 ABC ， AC BC? ， 1AC BC?， 3PA? ，则该三棱锥外接球的体积为 （ 16） 若数列 na 满足 1 42nna a n? ? ?（ *n?N ），且 na 单调递增，则 1a 的取值范围是 三、解答题（ 解答 应写 出文字 说 明 ， 证 明 过 程或演算步 骤 。） （ 17） （本小题满分 12 分） 如图所示，在四边形 ABCD 中， 2DB? ? ? ，且 1AD? ， 3CD? ， 3cos 3B? （ ）求 ACD 的面积 ； （
8、 ）若 23BC? ，求 AB 的长 （ 18） （本小题满分 12 分） 已知等差数列 na 满足 138aa?， 2412aa? （ ）求数列 na 的前 n 项和 nS ； （ ）若1 2 31 1 1 1 9 9 91000nS S S S? ? ? ? ?，求 n 的值 （ 19） （本小题满分 12 分） AB CD4 如图，在三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中，且侧面 11BBCC 是菱形， 1 60BBC? （ 1）求证： 1AB BC? ； （ 2）若 AB AC? ， 11AB BB? ，且该三棱柱的体积为 26，求 AB 的长 （ 20） （本小题满分 12 分） 在
9、平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E 的中心在原点，经过点 (0,1)A ，其左、右焦点分别为 12,FF，且 120AF AF? （ ）求椭圆 E 的方程； （ ）过点 ( 3,0)? 的直线 l 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P ，且与圆 2 2 2: ( 0 )O x y r r? ? ?相切于点 Q ，求 r 的值及 OPQ? 的面积 （ 21） （本小题满分 12 分） 已知函数 1( ) lnf x x a xx? ? ? （ a?R ） （） 当 3a? 时，求 ()fx的单调区间； （）设 ( ) ( ) 2 lng x f x a x?，且 ()gx有两个极值点 12,xx
10、，其中 1 (0, xe? ，求 12( ) ( )g x g x? 的最小值 A 1C 1B 1CBA5 （ 23） （本题满分 10 分） 选修 4 4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 2+cos2+sin? ?xy ?（ ? 为参数），以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 1l 的极坐标方程为 sin( + ) 24 ? ， 直线 2l 的极坐标方程为 4? （ ?R ）， 1 l 与 2l 的交点为 M . （ ） 求点 M 的直角坐标； （ ）在曲线 C 上求一点 P ，使 PM 最大 6 答案 一、选择题：本大题考查基础
11、知识和基本运算，每小题 5 分，满分 60 分 。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B B C C B D B C D A D 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题 5 分，满分 20 分。 （ 13） 6； （ 14） 1 （ 15） 556 ? ； （ 16） (1,3) 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、解： （ ）因为 2DB? ? ? ， 3cos 3B? ， 所以 311c o s22c o sc o s 2 ? BBD ?2 分 因为 (0, )D ? ，所以 22sin
12、 3D? ， ?4 分 所以 ACD 的面积 1 s i n 22S A D C D D? ? ? ? ? ?6 分 （ ）在 ACD 中， 由余弦定理得 2 2 2 2 c o s 1 2A C A D C D A D C D D? ? ? ? ? ?， 所以 23AC? ?8 分 在 ABC 中， 由余弦定理得 12c o s2222 ? BBCABBCABAC ?10 分 把已知条件代入并化简得： 042 ? ABAB ， 0AB? ，所以 4AB? ?12分 18【解析】（ 1）设等差数列 na 的公差为 d ， 138aa?， 2412aa?， 112 2 82 4 12adad?
13、?，解得 1 22ad? ? 21 ( 1 )2n n n dS n a n n? ? ? ? AB CD7 （ 2） 由（ 1）知21 1 1 1 1nS n n n n? ? ?， 1 2 31 1 1 1nS S S S? ? ? ?1 1 1 1 1 1 1( 1 ) ( ) ( ) ( )2 2 3 3 4 1nn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 9991 1 1000n? ? ? ， 999n? 19、 【解析】 （ 1） 取 BC 的中点 M ，连结 1,AMBM ， AB AC? ， M 是 BC 中点， AM BC? 侧面 11BBCC 是菱形，且 1 60BB
14、C?， 1BM BC? 1AM B M M? ， AM? 平面 1ABM ， 1BM? 平面 1ABM ， BC? 平面 1ABM 1AB? 平面 1ABM ， 1AB BC? （ 2） 设 AB x? ，依题意可得 ,2AC x BC x?， M 是 BC 中点， 1126, 2 ,22A M x B B x B M x? 11AB BB? ， 1 2AB x? ， 2 2 211AB B M AM?，即 1BM AM? 由（ 1）知 1BM BC? ，且 AM BC M? ， 1BM? 平面 ABC ， ,即 1BM 为三棱柱 1 1 1ABC ABC? 的高， 三棱柱 1 1 1ABC
15、ABC? 的体积 31 6 6( ) 2 62 2 4V S h x x x x? ? ? ? ? ? ?， 解得 2x? ，即 2AB? MA BCB 1C 1A 18 20【解析】（）设椭圆 E 方程为 22 1( 0 )xy abab? ? ? ?, 椭圆 E 经过点 (0,1)A ， 1b? 120AF AF?，且 12AF AF? ， 1cb?， 2 2 2 2a b c? ? ? ， 椭圆 E 的方程 为 2 2 12x y? （ 2）设直线 l 的方程为 ( 3)y k x?， 由 22( 3)12y k xx y? ? ?，得 2 2 2 2( 2 1 ) 4 3 6 2 0k
16、 x k x k? ? ? ? ?， 2 2 2 2 2( 4 3 ) 4 ( 2 1 ) ( 6 2 ) 8 ( 1 )k k k k? ? ? ? ? ? ?， 直线 l 与椭圆相切， 0? ，解得 1k? 代入 中得 23 4 3 4 0xx? ? ?，解得 233x? ， 代入直线 l 的方程得 33y? ，即 2 3 3( , )33P ? 直线 l 与圆 2 2 2x y r?相切， 23 36221krk? ? ?， 222 3 3 5( ) ( )3 3 3OP ? ? ? ?， 2 2 66P Q O P r? ? ?， 1124O PQS P Q r? ? ? ? ? 21
17、、 解： （） )(xf 的定义域 ),0( ? ， 2221 3 3 1( ) 1 xxfx x x x? ? ? ? ?， ?1 分 由 ( ) 0fx? ? 得 2 3 1 0xx? ? ? ， 350 2x ? 或 352x ? ； 由 ( ) 0fx? ? 得 2 3 1 0xx? ? ? ， 3 5 3 522x? 9 )(xf 的 单调 递增区间为 35(0, )2? ， 35( , )2? ? ；单调 递 减 区间为 3 5 3 5( , )22? ? 5分 （） xaxxxg ln1)( ? ，定义域为 ),0( ? ， 222 111)( xaxxxaxxg ?，令 0)( ?xg 得 012 ?x ， 其两根为 21,xx ， 则 12121x x axx? ? ?，所以， )1(,11112 xxaxx ?， ?8 分 ?1 2 1 1 1 11 1 1 11 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) l n ( l n )g x g x g x g x a x x ax x x x? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 1 1 11 1 11 1 12 ( ) 2 l n 2 ( ) 2 ( ) l nx a x x x xx x x? ? ? ? ? ? ?设 xxxxxxh ln)1(2)1(2)( ? ， (0, xe? ， ?
