1、 - 1 - 广东省惠州市 2018届高三数学上学期 12月月考试题 理 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分 1.已知集合 ? ? ? ?| 1 , | 1 2A x N x B x x? ? ? ? ? ? ?，则 AB? ( ) A. ? ?1,0,1? B. ? ?0,1 C. ? ?1,1? D.?1 2已知复数 z满足 (1 i)z=i，则复数 z 在复平面内的对应 点位于 ( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 已知向量 ? ?,1ax?， ? ?1, 3b? ，若 ab? ，则 a? （ ） A. 2 B. 3 C. 2 D. 4 4. 设点 P 是
2、函数 f(x) sinx 的图象 C 的一个对称中心，若点 P 到图象 C 的对称轴的距离的最小值是 8，则 f(x)的最小正周期是 ( ) A.2 B C 2 D. 4 5.点 ? ?5,2A 到直线 032: ? yxl 的距离为（ ） A. 52 B 55 C. 5 D 552 6.执行 如图 所示 的程序框图，若输入 32n= ， 则输出的结果为 ( ) A 80 B 84 C.88 D 92 7一个棱锥的三视图如上图所示，则它的体积为 ( ) A 12 B 32 C 1 D 13 - 2 - 8已知命题 p：对任意 x R，总有 22x x? ； q：“ 1ab? ”是“ al， b
3、l”的 充分不必要条件则下列命题为真命题的是 ( ) A pq? B pq? C pq? D pq? 9.将函数 xy 2sin? 的图像向左平移 6? 个单位后 ，所的图像的解析式是（ ） A ? ? 32sin ?xyB ? ? 32sin ?xyC ? ? 62sin ?xyD ? ? 62sin ?xy10.已知 312?a ， 31log2?b，31log21?c则（ ） A. cba ? B. bca ? C. bac ? D. abc ? 11. 函数 ? ? ? ? xexxf 23? 的单调递增区间是（ ） A. ? ?0,? B. ? ?,0 C. ? ?3,? 和 ? ?
4、,1 D.? ?1,3? 12.已知双曲线 )0,0(1:2222 ? babyaxC 的两条渐近线均与圆 05622 ? xyx 相切，且双曲线的右焦点为该圆的圆心，则 C 的离心率为（ ） A 36 B 26 C. 553 D 25 二、填空题（每题 5分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13 .在平面内的动点 ? ?,xy 满足不等式30100xyxyy? ? ? ? ? ， 2z x y?则的最大值是 _ 14， 在 522 ax x?的展开式中 4x? 的系数为 320，则实数 a? _ 15. 已知 ,2?， 4 sin 3 cos 0?，则 2sin 2 3cos?的值为
5、_. 16.设函数? ? ? 0, 0,)(22xx xxxxf，若 2)( ?aff ，则实数 a 的取值 范围是 - 3 - 三、解答题 （本大题共 6小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17、 已知数列 ?na 的前 n 项和 ? ?11 12nS n na? （ ）求数列 ?na 的通项公式； （ ）求数列 ? ?12nna ?的前 n 项和 nT 18.当前，网购已成为现代大学生的时尚，某大学学生宿舍 4人参加网购，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为 5或 6的人去淘宝网购物，掷出点数小于 5的人去京东商城购物，且参加者
6、必须从淘宝网和京东商城选择一家购物 （）求这个人恰有人去淘宝网购物的概率； （）用 ? ， ? 分别表示这个人中去淘宝网和京东商城购物的人数，记 X ? ，求随机变量 X 的分布列与数学期望 ()EX . 19. 如图，四棱锥 ABCDP? 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD ，,22 ? BCAD ?90? ABCBAD . （ 1）证明： BCPC? ； （ 2）若直线 PC 与平面 PAD 所成角为 ?30 ，求二面角 DPCB ? 的余弦值 . 20. 已知椭圆 )0(1:2222 ? babyaxC 的焦距为 62 ，且过点 )1,2(A . - 4 - （ 1）求
7、椭圆 C 的方程； （ 2）若不经过点 A 的直线 mkxyl ?: 与 C 交于 QP, 两点，且直线 AP 与直线 AQ 的斜率之和为 0 ，证明：直线 PQ 的斜率为定值 . 21 已知函数? ? ? ?21ln 2f x a x x a R? ? ?. （ 1）求1a?时，求?fx的单调区间； （ 2）讨论?在定义域上的零点个数 . 选做题（请考 生在 22、 23两题中任选其一解答，多选按第一题给分） （ 22）（本小题满分 10分）选修 4 4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 3,(1,? ?xttyt为参数 ) . 在以坐标原点为极点 , x
8、轴正半轴为极轴的极坐标系中 , 曲线 : 2 2 co s .4?C () 求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程 ; () 求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值 . 23.选修 4-5：不等式选讲 设 ( ) | 1|f x ax? （）若 ( ) 2fx? 的解集为 ? ?6,2? ，求实数 a 的值； （）当 2a? 时，若存在 xR? ，使得不等式 ( 2 1) ( 1) 7 3f x f x m? ? ? ? ?成立，求实数 m的取值范围 惠高 18 届高三 12月月考理科数学答题卡 题号 一二 17 18 19 20 21 22（ 23） 总分 试室_原班级_考号
9、_姓名_座位号_- 5 - 得分 选择题答题卡 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 填空题 13 14 15 16 解答题 17（ 12 分） 18（ 12 分） - 6 - 19（ 12 分） 20（ 12 分） - 7 - 21（ 12 分） - 8 - 22（ 23）（ 12 分） 1-12 BCCACAADACDC 13， 6 14 2 15 16 - 9 - 17 解 ： （ ） ? ?11 12nS n na?， ? ?111 12aa?， 1 1a? ? ?1 12nS n n?， ? ?1 1 12nS n n? ?，两式相减得 ? ?2na n
10、n? 而当 1n? 时， 1 1a? 也满足 nan? ， nan? （ ） 1 2 3 11 2 2 3 2 4 2 2 nnTn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 则 ? ?2 3 12 1 2 2 2 3 2 1 2 2nnnT n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 两式相减得 ? ?1 2 3 1 121 2 2 3 2 2 2 2 1 2 112 nn n n nnT n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1nnTn? ? ? ? 18.解：（）这 4个人中，每个人去淘宝网购物的概率为 13 ，去京东商城
11、购物的概率为 23 ， 设“这 4个人中恰有 i 人去淘宝网购物”为事件 iA （ 0,1,2,3,4i? ）， 则 44 12( ) ( ) ( ) ( 0 ,1 , 2 , 3 , 4 )33i i iiP A C i? 这 4个人中恰有 1人去淘宝网购物的概率 1 1 314 1 2 3 2( ) ( ) ( )3 3 8 1P A C? （）易知 X 的所有可能取值为 0 ， 3 ， 4 0 0 4 4 4 00 4 4 41 2 1 2 1 6 1 1 7( 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3 8 1 8 1 8 1P X P A P A C C?
12、? ? ? ? ? ? ?， 1 1 3 3 3 11 3 4 41 2 1 2 3 2 8 4 0( 3 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3 8 1 8 1 8 1P X P A P A C C? ? ? ? ? ? ? ?， 2 2 224 1 2 2 4( 4 ) ( ) ( ) ( )3 3 8 1P X P A C? ? ? ? 所以 X 的分布列是 X 0 3 4 P 1781 4081 2481 所以 数学期望 1 7 4 0 2 4 8( ) 0 3 48 1 8 1 8 1 3EX ? ? ? ? ? ? ? 19.解：（ 1）取 AD 的中点为
13、 O ，连接 COPO, ， PAD? 为等边三角形， ADPO? . - 10 - 底面 ABCD 中，可得四边形 ABCO 为矩形， ADCO? ， ? ADCOPO ,0? 平面 POC ， ?PC 平面 PCADPOC ?, . 又 BCAD/ ，所以 PCAD? . （ 2）由面 ?PAD 面 ADPOABCD ?, 知， ?PO 平面 ABCD ， OCODOP , 两两垂直，直线 PC 与平面 PAD 所成角为 ?30 ，即 ?30?CPO ， 由 2?AD ，知 3?PO ，得 1?CO . 分别以 ? OPODOC , 的方向为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向建立空间直角坐标系 xyzO? ，则),3,0,0(P ),0,1,0(D )0,1,1(),0,0,1( ?BC ， ),0,1,0(?BC )0,1,1(),3,0,1( ? ? CDPC ， 设平面 PBC 的法向量为 ),( zyxn? . ? ? ? 03 0zx y，则 )1,0,3(?n? ， 设平面 PDC 的法向量为 ),( zyxm? ， ? ? ? 03 0zx yx，则 )1,3,3(?m? ， 7 7272 4|,c o s ? nm nmnm ? , ?由图可知二面角 CSBA ? 的余弦值 772? .
