1、 1 广东省汕头市 2018届高三数学上学期开学摸底考试（ 8 月）试题 理 本试题分第 卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分，满分 150 分，时间 120分钟 . 第 卷 （选择题 共 60分） 一、选择题： (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ) 1.已知复数 11 iz i? ? ，则2121iz?的共轭复数是（ ） A 12 i? B 12 i? C 12i? D 12i? 2.已知集合 ? ? ? ?1 , 0 , , 0 1A a B x x? ? ? ? ?,若 AB? ,则实数 a 的取值范围是 ( )
2、 A. ( ,0)? B. (1, )? C. ?1 D. (0,1) 3.已知 ? ? ? ? 2,12 xxgxxfx ?，则下列结论正确的是 ( ) A ? ? ? ? ? ?h x f x g x?是偶函数 B ? ? ? ? ? ?h x f x g x?是奇函数 C ? ? ? ? ? ?h x f x g x? 是奇函数 D ? ? ? ? ? ?h x f x g x? 是偶函数 4.若平面 ? 截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面 ? 平行的棱有（ ） A 0 条 B 1条 C.2 条 D 1条或 2 条 5.已知方程 11122 ? mymx表示双曲线 ,且该双曲
3、线两焦点间的距离为 8,则 m 的值是 ( ) A. 6? B. 8? C. 6 D. 8 6.函数 ),2|,0(),s i n ()( RxxAxf ? ? 的部分图象如图所示，则 )(xf 的 解析 式为（ ） A )48s in (4)( ? ? xxf B )48s in (4)( ? ? xxf C )48s in (4)( ? ? xxf D )48s in (4)( ? ? xxf 7.设 ,OABM 为平面上四点， (1 ) , ( 0 , 1 )O M O A O B? ? ? ? ? ?，则（ ） A点 M 在线段 AB 上 B点 B 在线段 AM 上 C点 A 在线段
4、BM 上 D ,OABM 四点共线 2 8.五个人围坐在一张圆桌旁 ,每个人面前放着完全相同的硬币 ,所有人同时翻转自己的 硬币 ,若硬币正面朝上 ,则这个人站起来 ; 若硬币正面朝下 , 则这个人继续坐着 . 那么 , 没有相 邻的两个人站起来的概率为 ( ) A.21 B.3215 C.3211 D.165 9.已知函数? ? ? 1 ,2 1 ,2)( xabx xaxxf,其中 ba, 是常数 ,若对 ,Rx? 都有 )1()1( xfxf ? , 则 ?ba ( ) A. 6? B. 32? C. 1? D. 310? 10.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：
5、 “ 今有刍甍，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？ ” 其意思为： “ 今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽 3丈，长 4丈；上棱长 2丈，高一丈 .问它的体积 是多少？ ” 已知 1丈为 10尺，现将该楔体的三视图给出如下图所示，其中网格纸上小正方形的边长为 1丈，则该楔体的体积为（ ） A 5000立方尺 B 5500立方尺 C 6000立方尺 D 6500立方尺 11.已知函数 cbxaxxxf ? 23 2131)( 在 1x 处取得极大值 ,在 2x 处取得极小值 ,满足 )0,1(1 ?x ， )1,0(2?x ，则 21?ab 的取值范围是（ ） A. )2
6、1,0( B. )1,0( C. ? 1,31D. 3,1 12. 在数列 ?na 及 ?nb 中， 2 2 2 21 1 1 1, , 1 , 1n n n n n n n n n na a b a b b a b a b a b? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 设 112nn nnc ab?，则数列 ?nc 的前 n 项和为（ ） A. 412 1 ? nn B. 42 2?n C. 4223 ? nn D. 312 1 ? nn 第 卷 （非选择题 共 90 分） 二、填空题： (本大 题共 4小题，每小题 5分，共 20分 ) 13.二项式 ? ?931 x? 的展开式中所有项的
7、系数和为 _ 3 14.在直角坐标系 xoy 中 ,抛物线 C 的顶点在原点 ,以 x 轴为对称轴 ,且经过点 )2,1(P .设点 BA, 在抛物线 C 上 ,直线 PBPA, 分别与 y 轴交于点 ,NM PNPM? ,则直线 AB 的斜率大小是 . 15.不等式组?2131log 02xxx 的 解集 是 . 16.已知 ? ? )0(21ln 2 ? axxaxf ,若对任意两个不等的正 实数 x1， x2，都有 ? ? 2)(2121 ? xx xfxf 恒成立，则 a 的取值范围是 . 三、解答题：（本大题共 6小题，共 70分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(
8、本小题满分 12分） 设 ABC? 的内角 CBA , 所对的边分别为 cba , , 若 )2cos(sin BA ? ? , 2,3 ? ca 1)求 ACAB? 的值； 2)求 )23tan( BC ? 的值为 . 18.(本小题满分 12分 )在数列 ?na 中 ,首项 211?a,前 n 项和为 nS ,且 ? ? ? NnaS nn 12 1 (1)求数列 ?na 的通项 (2)如果 ?nb nn an ? 2)1(3 ,求数列 ?nb 的前 n项和 nT . 19. (本小题满分 12分 )如图 ,三棱锥 ABCP? 中 , ABC? 是正三角形 , ACP? 是直角三角形， C
9、BPABP ? , BPAB? . 证明 :平面 ACP 平面 ABC ； 若 E 为棱 PB 与 P 不重合的点 ,且 CEAE? , 求 AE 与平面 ABC 所成的角的正弦值 . 4 20.(本小题满分 12分 ) 设 1?a ,函数 ? ? aexxf x ? )1( 2 . （ 1）证明 ?xf 在 ? ? , 上仅有一个零点； （ 2）若曲线 ? ?xfy? 在点 P 处的切线与 x 轴平行 ,且在点 ),( nmM 处的切线与直线 OP 平行 ,(O是坐标原点 ),证明 : 123 ?eam21.(本小题满分 12 分 )已知椭圆 E: 2213xyt ?的焦点在 x 轴上 ,A
10、 是 E 的左顶点 ,斜率为)0( ?kk 的直线交 E 于 MA, 两点 , 点 N 在 E上 , .NAMA? （ ）当 t=4， AM AN? 时 ,求 AMN? 的面积； （ ）当 2 AM AN? 时 ,求 k 的取值范围 . 选做题：请在 22、 23 两 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后 的方框涂黑 22 （本小题满分 10分） 选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中 ,曲线 1C 的参数方程是?mmymmx11(m 为参数 ).直线 l 交曲线 1C 于BA, 两点 .以坐标原点为极点 ,x 轴的
11、正半轴为极轴建立极坐标系 ,曲线 2C 的极坐标方程是)6sin(4 ? ? ,点 )3,( ?P 在曲线 2C 上 . 1)求曲线 1C 的普通方程及点 P 的直角坐标 ; 2)若直线 l 的倾斜角为 32? 且经过点 P ,求 PB?PA 的值 . 23.（本小题满分 10分）选修 4 5：不等式选讲 若 0, 0ab?，且 11 abab? . （ I） 求 33ab? 的最小值； （ ）是否存在 ,ab，使得 2 3 6ab?？并说明理由 . 5 高三理科数学 答案 一选择 BDAC DBAC DABB 12 二填空 -512, 1? ， ? ? 191 xx， ? ?,1 16.【解
12、析】 对任意两个不等的正实数 x1， x2，都有 2恒成立， 则当 x0时， f(x)2 恒成立， f(x)= +x2 在 (0， +) 上恒成立，则 a(2x -x2)max=1. 三 解答题 17.解 :1）在 ABC? 中 , BBA s in)2c o s (s in ? ? , 由正弦定理 BbAa sinsin ? ,得 ba? BAba ? ,3 -2分 由余弦定理 ACAB? = 22 3322c o s 222222 ? abcAbc -6分 2） ? CBCBA 2? CBC t a n)23t a n ( ? ? -8分 972c o s 222 ? ab cbaC? 9
13、 24c o s1s in 2 ? CC -10 分 ? CCC cossintan 724 -12分 18.解 :1） ? ? ? NnaS nn 12 1? - ， 211?a43 12 221 ? aaa -2分 当 2?n 时 , 121 ? nn aS? - 6 -等于 nnn aaa 22 1 ? ? （ 2?n ）nnn aaa 1 0 ? =23 -4分 又2312 ?aa?-5 分 ?数列 ?na 是以 211?a， 23?q 为公比的等数列， 12321?nna-7分 2） ?nb? nn an ? 2)1(3 =? ? nn 31? -8分 nT = nn 3)1(343
14、332 32 ? ? 又 nT3 = 1432 3)1(343332 ? nn? -9分 ? nT2? = 132 3)1(33332 ? nn n? ? ? 131)13(233 ? nn n 134 1243 ? nn nT-12分 19. (本小题满分 12分 )解： （ 1）由题设可得 , ABP? CBP? CPAP? , CEAE? 又 ACP? 是直角三角形 ,所以 ? 90APC 取 AC的中点 O，连接 BOPO, ,则 ACPO? , AOPO? 又由于 A B C B O A C?是 正 三 角 形 ， 故 所以 POB? 为二面角 BACP ? 的平面角 -3分 在 A
15、OBRt? 中 , 222 ABAOBO ? 又 ? BPAB? ? 22222 ABAOBOPOBO ? 2BP? ? 90POB 平面 ACP 平面 ABC ； -5分 （ 2）由题设及（ 1）知 , OPOBOA , 两两垂直，以 o 为坐标原点， OA的方向为 x 轴正方向， OA为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 xyzO? ，则 )1,0,0(),0,0,1(),0,3,0(),0,0,1( PCBA ?,连接 OE , -7分 CEAE? ? AEC? 是等腰直角三形 , PBACOE 2121 ? ?在直角三角形 POB 中 ,点 E 是 PB ,得 )21,23,0(E
16、. -9分 7 ? ?AE ? 21,23,1 -10分 平面 ABC 的一个法向量是 )1,0,0(?OP .设 AE 与平面 ABC 所成的角为 ? . 则 ? 为锐角， cossin ? ? OPAE, 422121? . -12分 20.解：（ 1） f（ x） =ex（ x2+2x+1） =ex（ x+1） 2 f （ x） 0 ， -2分 f（ x） =（ 1+x2） ex a在（ ， + ）上为增函数 -3分 a 1 1 a 0 又 f（ 0） =1 a， f（ 0） 0 ? ? )1(1 11 ? ? aa eaaaeaf 101 1 ? ?aea? ? ? 01 ? af ， ? ? ? ? 010 ? aff ? ?1,00 ? ax 使得 ? ? 00 ?xf f（ x）在（ ， + ）上有且只有一个零点 -5分 （ 2）证明： f（ x） =ex（ x+1） 2， 设点 P（ x0， y0）则） f（ x） =ex0（ x0+1） 2， y=f（ x）在点 P处的切线与 x轴平行， f（ x0） =0，即： ex0（ x0+1） 2=0， x0= 1 -6分 将 x0= 1代入 y=f（ x）得 y0= ， -8分 令； g（ m） =em（ m+1） g（ m） =em（ m+1）， 则 g（ m） =em 1，由
