1、 1 2018 届高三年级上学期第三次月考 理科数学 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 设 i 时虚数单位，若复数 iiz ?1 ， 则 ?z （ ） A i2121? B i211? C i211? D i2121? 2.已知集合 043| 2 ? xxxA ， 50| ? xxB ， 则 ?BA? （ ） A )4,0 B 4,0 C 5,1? D 5,1(? 3.设 na 是公比为 q 的等比数列，则“ 1?q ”是“ na 为递增数列”的（ ） A充分而不必要条
2、件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 4.在锐角 ABC? 中，内角 CBA , 所对应的边分别为 cba, ， 若 bBa 3sin2 ? ， 则角 A 为（ ） A 3? 或 32? B 6? C. 32? D 3? 5. 函数 )32cos( ? xy 图像的一个对称中心是（ ） A )0,12( ? B )0,12(? C. )0,6(? D )0,3(? 6.如图，直线 l 和圆 C ， 当 l 从 0l 开始在平面上绕点 O 按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过 090 ）时，它扫过的圆内阴影部分的面积 S 是时间 t 的函数，这个函数图像大致是（ ）
3、7.已知 CBA , 是锐角三角形的三个内角，向量 )1,(sinAp? ， )cos,1( Bq ? ， 则 p 和 q 的夹角是（ ） A直角 B锐角 C. 钝角 D不确定 2 8.函数 )0(2tan)( ? ?xxf 的图像与直线 2?y 相交，相邻的两个交点距离为 2? ， 则)3(?f 的值是（ ） A 3? B 33 C. 1 D 3 9. 已知正数组成的等比数列 na ， 若 100183 ?aa ， 那么 147 aa? 的最小值为（ ） A 20 B 25 C. 50 D不存在 10. R 上的偶函数 )(xf 满足 )1()1( ? xfxf ， 当 10 ?x 时， 2
4、)( xxf ? ， 则|log|)( 5 xxfy ? 的零点个数为（ ） A 4 B 8 C. 5 D 10 11. ABC? 中， 090?A ， 2?AB ， 1?AC ， 点 QP, 满足 ABAP ? ， ACAQ )1( ? ，若 2?CPBQ ， 则 ? （ ） A 2 B 31 C. 34 D 32 12.已知定义在 R 上的函数 )(xfy? 满足：函数 )1( ? xfy 的图像关于直线 1?x 对称，且当 )0,(?x 时， 0)()( ? xxfxf （ )( xf 是函数 )(xf 的导函数 ） 成立，若)21(sin)21(sin fa ? ， )2(ln)2(l
5、n fb ? ， )41(log)41(log 22 fc ? ， 则 cba, 的大小关系是（ ） A cba ? B bac ? C. cab ? D bca ? 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 若 yx, 满足?0302xyxyx ， 则yxz ?2 的最大值为 14. 若锐角 ABC? 的面积为 310 ， 且 5?AB ， 8?AC ， 则 ?BC 15.在等差数列 na 中， 01?a ， 01110 ?aa ， 若此数列的前 10 项和 3610?S ， 前 18 项的和 1218?S ， 则数列 |na 的前 18
6、 项和 18T 的值是 3 16.已知函数? ? ? ? 0,12 0,2)( xax xexf x （ a 是常数且 0?a ）， 对于下列命题： 函数 )(xf 的最小值是 -1； 函数 )(xf 在 R 上是单调函数； 若 0)( ?xf 在 ),21 ? 上恒成立，则 a 的取值范围是 1?a ； 对任意的 0,0 21 ? xx 且 21 xx? ， 恒有 2 )()()2( 2121 xfxfxxf ? . 其中正确命题的序号是 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. 已知数列 na 满足 nnnn aaaa ? ?
7、112 （ *Nn? ）， 且 2073 ?aa ， 1462 ?aa . （ 1）求数列 na 的通项公式； （ 2）设)1)(1( 1 ? nnn aab， 数列 nb 的前 n 项和为 nS ， 求证： 21?nS. 18. 2016 年奥运会于 8 月 5 日在巴西里约热内卢举行，为了解某单位员工对奥运会的关注情况，对本单位部分员工进行了调查，得到平均每天看奥运会直播时间的茎叶图如下（单位：分钟），若平均每天看奥运会直播不低于 70 分钟的员工可以视为“关注奥运”，否则视为“不关注奥运” . （ 1）试完成下面表格，并根据此数据判断是否有 99.5%以上的把握认为是否“关注奥运会”4
8、与性别有 关？ （ 2）若从参与调查且平均每天观看奥运会时间不低于 110 分钟的员工中抽取 4 人，用 ? 表示抽取的女员工数，求 ? 的分布列和期望值 . 参考公式：)()()( )(22dbcadcba bcadnK ? ?， 其中 dcban ? )( 02 kKP ? 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19. 如图，在三棱锥 ABCP? 中， 2?BCAC ， 090?ACB ， 侧面 PAB 为等边三角形，侧棱 22?PC . （ 1）求证：平面 ?PAB 平面 ABC ； （ 2）求二面角
9、 CAPB ? 的余弦值 . 20. 已知椭圆 :C )0(12222 ? babyax 过点 )23,1( ， 且离心率 21?e . （ 1）求椭圆的方程； （ 2）若直线 )0(: ? kmkxyl 与椭圆交于不同的两点 NM, ， 且线段 MN 的垂直平分线过定点 )0,81(G ， 求 k 的取值范围 . 5 21. 已知函数 )(2)( 2 Rxbaxexf x ? 的图像在 0?x 处的切线为 bxy? （ e 为自然对数的底数 ） . （ 1）求 ba, 的值； （ 2）若 Zk? ， 且 0)253(21)( 2 ? kxxxf 对任意 Rx? 恒成立，求 k 的最大值 .
10、请考生 在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为? ? ?sincos3yx（ ? 为参数 ）， 以 坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 22)4sin( ? ? . （ 1）写出 1C 的普通方程和 2C 的直角坐标方程； （ 2）设点 P 在 1C 上，点 Q 在 2C 上，求 |PQ 的最小值及此时 P 的直角 坐标 . 23.选修 4-5：不等式选讲 已知关于 x 的不等式 axx 2log|1|12| ? （ 其
11、中 0?a ） . （ 1）当 4?a 时，求不等式的解集； （ 2）若不等式有解，求实数 a 的取值范围 . 6 试卷答案 一、选择题 1-5: ADDDB 6-10: DBACC 11、 12： BB 二、填空题 13. 4 14. 7 15. 60 16. 三、解答题 17.（ 1）由 nnn aaa ? ? 212 得 na 为等差数列， 设等差数列 na 的公差为 d ， 由 2073 ?aa ， 1452 ?aa ， 解得： 2?d ， 21?a ， 数列 na 的通项公式为 nan 2? . （ 2）证明：)12)(12( 1)1)(1( 1 ? nnaab nnn )12 11
12、2 1(21 ? nn)12 112 1515131311(21 ? nnS n ?)121(21 ? n 当 *Nn? ， 21)12 11(21 ? nSn. 18.（ 1） 22? 列联表如下： 关注奥运 不关注奥运 合计 男性员工 35 10 45 女性员工 12 18 30 合计 47 28 75 则)()()( )( 22 dbcadcba bcadnK ? ?879.798.10658722530452847 )10121835(75 2 ? ? 所以，有 99.5%以上的把握认为是否“关注奥运会”与性别有关 . （ 2）由条件可知， ? 的可能取值有： 0， 1， 2， 3，且
13、 7 61)0( 41047 ?CCP ?，21)1( 4101337 ?CCCP ?，103)2( 4101327 ?C CCP ?，301)3( 4103317 ?CCCP ? ? 的分布列为： ? 0 1 2 3 P 61 21 103 301 女性员工的期望值为： 5630131032211610 ?E . 19.（ 1）证明：设 AB 中点为 D ， 连结 CDPD, ， 因为 BPAP? ， 所以 ABPD? ， 又 BCAC? ， 所以 ABCD? . 所以 PDC? 就是二面角 CABP ? 的平面角 090?ACB ， 2?BCAC ， 所以 2? CDBDAD ， 22?A
14、B 又 PAB? 为正三角形，且 ABPD? ， 所以 6?PD . 因为 22?PC ， 所以 222 PDCDPC ? ， 所以 090?CDP ， 所以平面 ?PAB 平面 ABC . （ 2）由（ 1）知， DPDBDC , 两两垂直，以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系， )6,0,0(),0,2,0(),0,0,2(),0,0,0( PACD ?， 所以 )0,2,2(?AC ， )6,0,2( ?PC ， 设平面 PAC 的法向量为 ),( zyxn? ， ?00PCnACn ， 即?062022yxyx ， 令 1?x ， 则 1?y ， 33?z 8 所以平面 PAC
15、的一个法向量为 )33,1,1(n ? ， 易知平面 PAB 的一个法向量为 )0,0,2(?DC 所以721|,c o s ? DCn DCnDCn二面角 CAPB ? 为锐角，所以 二面角 CAPB ? 的余弦值为 721 . 20. （ 1）离心率 21?e ， 4341122 ?ab ， 即 22 34 ab ? （ 1） 又椭圆过点 )23,1( ， 则 149122 ? ba，（ 1） 式代入上式，解得： 42?a ， 32?b ， 椭圆方程为 134 22 ?yx （ 2）设 ),(),( 2211 yxNyxM ， 弦 MN 的中点 ),( 00 yxA 由? ? ? 1243
16、22 yxmkxy ， 得： 01248)43( 222 ? mm k xxk ， 直线 )0(: ? kmkxyl 与椭圆交于不同的两点， 0)124)(43(464 2222 ? mkkm ， 即 34 22 ? km ，（ 1） 由韦达定理得：221 438 kmkxx ?，2221 43 124 kmxx ? ?， 则20 434 kmkx ?，22200 43 3434 kmmkmkmkxy ?， 直线 AG 的斜率为：22243322481434 433kmkmkmk kmK AG ? ， 由直线 AG 和直线 MN 垂直可得： 14332 242 ? kkmk m， 即 kkm
17、843 2? ， 代入（ 1）式， 9 可得： 34)843( 222 ? kkk ， 即 2012?k ， 则 105?k 或 105?k . 21.（ 1） baxexf x ? 2)( 2 ， xexf x 2)( ? ， 由题意知，? ? ? bf baf 1)0( 021)0(，? ? 11ba（ 2）由（ 1）知， 1)( 2 ? xexf x 0)253(21)( 2 ? kxxxf 对任意 Rx? 恒成立， 012521 2 ? kxxe x 对任意 Rx? 恒成立， 12521 2 ? xxek x 对任意 Rx? 恒成立， 令 12521)( 2 ? xxexh x ， 则 25)( ? xexh x ， 由于 01)( ? xexh ， 所以 )( xh 在 R 上单调递增 又 023)0( ?h ， 023)1( ?eh ， 02)21( 21 ? eh ， 04743147)43( 43 ? eh 所以存在唯一的 )43,21(0?x， 使得 0)( 0 ?xh ， 且当 ),( 0xx ? 时， 0)(
