1、 1 2018 届高三上学期适应性月考（一） 理科数学试卷 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.已知集合 2 2 3A x y x x? ? ? ?， 2 02xBxx?，则 AB? （ ） A 2, 1? B 1,2? C 1,1? D 1,2) 2.复数 32(1 )(1 )ii?在复平面上对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3.已知 ()fx在其定义域 1, )? ? 上是减函数，若 (2 ) ( )f x f x? ， 则（ ） A
2、1x? B 11x? ? ? C 13x? D 13x? ? ? 4.双曲线方程为 2221xy?，则它的右焦点坐标为（ ） A 2( ,0)2 B 5( ,0)2 C. 6( ,0)2 D ( 3,0) 5.某市国际马拉松邀请赛设置了全程马拉松、半程马拉松和迷你马拉松三个比赛项目， 4 位长跑爱好者各自任选一个项目参加比赛，则这 4 人中三个项目都有人参加的概率为（ ） A 89 B 49 C. 29 D 827 6.若方程 2 ( 1) 1 0x k x? ? ? ?有大于 2 的根，则实数 k 的取值范围是（ ） A 7( , )2? B 7( , 2? C. 7( , )2? D 7
3、, )2? 7.已知 ,?都是锐角，且 sin c o s c o s (1 sin )? ? ? ?，则（ ） A 3 2? B 2 2? C. 3 2? D 2 2? 8.如图，由曲线 2 1yx?，直线 0, 2xx?和 x 轴围成的封闭图形的面积是（ ） 2 A 2 20 ( 1)x dx?B 2 20 ( 1)x dx?C. 2 20 1x dx?D 122211( 1) ( 1)x dx x dx? ? ? ?9.设直线 2ax? 与椭圆 22 1( 0)xy abab? ? ? ?交于 ,AB两点，若 OAB? 是直角三角形，则椭圆的离心率为（ ） A 22 B 33 C. 63
4、 D 12 10.已知数列 na 满足： 1 1a? ， 121nnaa?（ 2n? ），为求使不等式1 2 3 na a a a k? ? ? ? ?的最大正整数 n ，某人编写了如图所示的程序框图，在框图的判断框中的条件和输出的表达式分别为（ ） A ,S ki? B ,1S ki? C. ,S ki? D ,1S ki? 11.为得到函数 22( ) 2 s in c o s 3 ( s in c o s )f x x x x x? ? ?的图象，可以把函数3 ( ) 2 cos( 2 )3g x x?的图象（ ） A 向左平移 4? 个单位 B向左平移 2? 个单位 C. 向右平移 4
5、? 个单位 D向右平移 2? 个单位 12.如图是某几何体的三视图，则该几何体的各个棱长中，最长的棱的长度为（ ） A 32 B 19 C. 22 D 33 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 61(1 2 )( )xx x?展开式的常数项是 （用数字作答） 14.已知变量 ,xy满足条件 2 3 029xyxyxy? ? ?，则 23xy? 的最小值等于 15.如图，在 ABC? 中， D 是 AB 上一点， 2AD DB? ，若 CD CA? ， 2CD? ，则CD CB? 4 16. 已知 ,abc分别为 锐角 ABC? 的三个
6、内角 ,ABC 的对边， 2a? ，且( 2 )(s in s in ) ( ) s inb A B c b C? ? ? ?，则 ABC? 周长的取值范围为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. 已知数列 na 满足： 1 1a? ， 1121nnnaa a ? ?（ 2n? ） . （ 1）求数列 ?na 的通项公式； （ 2）设数列 ? ?1nnaa? 的前 n 项和为 nT ，求证： 12nT?. 18. 为了解学生完 成数学作业所需时间，某学校统计了高三年级学生每天完成数学作业的平均时间介于 30 分钟到 90 分钟之
7、间，图 5 是统计结果的频率分布直方图 . （ 1）数学教研组计划对作业完成较慢的 20%的学生进行集中辅导，试求每天完成数学作业的平均时间为多少分钟以上的学生需要参加辅导？ （ 2）现从高三年级学生中任选 4 人，记 4 人中每天完成数学作业的平均时间不超过 50 分钟的人数为 X ，求 X 的分布列和期望 . 19. 如图，在三棱锥 K ABC? 中， ,DEF 分别是 ,KAKB KC 的中点，平面 KBC? 平面ABC ， AC BC? ， KBC? 是边长为 2 的正三角形， 3AC? . （ 1）求证： BF? 平面 KAC ； （ 2）求二面角 F BD E?的余弦值 . 5 2
8、0. 已知椭圆 22: 1( 0 )xyC a bab? ? ? ?的离心率为 12 ， 12,FF是椭圆的左、右焦点， P 是椭圆上一点， 12PF PF? 的最小值为 2. （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）过点 2F 且与 x 轴不重合的直线 l 交椭圆 C 于 ,MN两点，圆 E 是以 1F 为圆心椭圆 C 的长轴长为半径的圆，过 2F 且与 l 垂直的直线与圆 E 交于 ,PQ两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围 . 21. 设 2( ) (ln 1) ( 2 )f x x x a x x? ? ? ?， aR? . （ 1）令 ( ) ( )g x f x? ，求 ()gx
9、的单调区间； （ 2）已知 ()fx在 1x? 处取得极大值，求实数 a 的取值范围 . 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 已知极坐标的极点在平面直角坐标系 的原点 O 处，极轴与 x 轴的非负半轴重合，且长度单位相同，直线 l 的极坐标方程为： 2 sin( ) 33?，曲线 C 的参数方程为：3 3 cos2 3sinxy ? ? ? ? ?，（ ? 为参数），其中 0,2 )? . （ 1）写出直线 l 的直角坐标方程及曲线 C 的普通方程； （ 2）若 ,AB为曲线 C 与直线 l 的两交点，求 AB
10、. 23.选修 4-5：不等式选讲 设 ( ) 2 3 1f x x x? ? ? ?. （ 1）求不等式 ( ) 4f x x?的解集； （ 2）若函数 ( ) ( )g x f x ax?有两个不同的零点，求实数 a 的取值范围 . 6 理科数学参考答案 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C C C B C B C C B C C 【解析】 1函数 2 23y x x? ? ? 的定义域为 ( 1 3 + )A ? ? ? ?， ，不等式 2 02xx? 的解集为 2 2)B?， ，所以
11、2 1AB? ? ?， ，故选 A. 2 复数 32(1 i)(1 i)? 1i?，对应点为 ( 1 1)?， ，位于第三象限，故选 C. 3 由单调性及定义域得 12xx? ? ? ，解得 13x? ， 故选 C. 4 双曲线 焦点在 x 轴上， 2 2 2131 22a b c? ? ? ?， ，右焦点为 6 02?，故选 C. 5 23434CA 36 43 81 9P ? ? ?，故选 B. 6 问题等价于 方程 1 1xkx? ? ? 在 (2 )?， 有解，而函数 1yxx? 在 (2 )?， 上递增，值域为 52?，所以 k 的取值范围是 72?， +，故 选 C. 7 s i
12、n c o s c o s (1 s i n ) s i n ( ) c o s s i n 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，即 2? ，故选 B. 8 阴影部分面积为 1 2 2 201 ( 1)d ( 1)dx x x x? ? ? ? ? ?，而 2221 0 1| 1| 1 1 2xxx xx? ? ? ? ， ， ， 故选 C. 9 2ax? 代入椭圆方程得 32yb?， 2 2 2363 ( )2 2 3acb a c a a? ? ? ? ? ?，故选 C. 10 判断的条件为 Sk? ；输出的结果为 1i? ，故选 B. 11 ( ) 2 s in 2
13、 2 s in 236f x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ( ) 2 sin 2 6g x x?2sin2 12x?，故选 C 12 几何体 ABCD 为图 1 中粗线所表示的图形，最长棱是 AC， 2 2 23 3 2 22AC ? ? ? ?，故选 C 7 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 题号 13 14 15 16 答案 20 3? 6 (2 2 3 6? ， 【解析】 13 61xx?展开式的通项为 6216CrrrTx? ? ， 6 2 0 3 6 2 1r r r? ? ? ? ? ? ?；无解，所以展开式的常数项为
14、36C 20? . 15 由已知 3122CB CD CA?， 0CD CA? ， 231 622C D C B C D C D C A? ? ?. 16 由已知 ( )( ) ( )a b a b c b c? ? ? ?，即 2 2 2 1cos 2b c a bc A? ? ? ? ?得 60A?，由正弦定理，三 角 形 的 周 长 为 4 3 4 3 s in s in 2 4 s in 23 3 6B C B? ? ? ? ?， 62B ?， 3sin 162B ? ? ? ? ，周长的取值范围为 (2 2 3 6? ， . 三、 解答题（ 共 70 分 解答应写出文字说明，证明过程
15、或演算步骤 ） 17（本小题满分 12 分） （）解： 111 1 12111( 2 ) 2 ( 2 )21nnnn n n naaa n na a a a? ? ? ? ? ? ? ， 所以 1na? ? ?是以 2 为公差的等差数列，1 1111a a? ? ?， 所以 1 21n na ?， 所以数列 na 的通项公式为 121na n? ?. （） 证明： 由（）得1 1 1 1 1 12 1 2 1 2 2 1 2 1nnaa n n n n? ? ? ? ? ? ? ?， 8 1 1 112 2 1 2nT n? ? ?. 18（本小题满分 12 分） 解：（）设每天完成作业所需时
16、间为 x 分钟以上的同 学需要参加辅导，则 ( 7 0 ) 0 .0 2 (9 0 7 0 ) 0 .0 0 5 0 .2x? ? ? ? ? ?， 得 65x? （分钟）， 所以， 每天完成数学作业的平均时间为 65 分钟以上的同学需要参加辅导 . （）把统计的频率作为概率，则选出的每个学生完成作业的时间不超过 50 分钟的概率为0.2 (4 0.2)XB， ， 44( ) C 0 .2 0 .8 ( 0 1 2 3 4 )k k kP X k k? ? ? ， ， ， ， 0.8EX? . 19（本小题满分 12 分） （）证明：如图，建立空间直角坐标系， 则 (1 0 3)K ， ， ，
17、 33022B F C K? ? ?， ， ，(1 0 3 ) (0 3 0 )CA ?， ， ， ， ， 0BF CK? ， BF CK? 得 BF CK? ， 0BFCA? ， BF CA? 得 BF CA? ， CA， CK 是平面 KAC 内的两条相交直线， 所以 BF? 平面 KAC. （）解：平面 BDF 的一个法向量 (1 0 3)m? ， ， ， 平面 BDE（即平面 ABK）的一个法向量为 (3 2 3)n ?， ， ， 3cos 4mn? ?， ， 9 所以 二面角 F BD E?的余弦值为 34 . 20（本 小题满分 12 分） 解：（）已知 12ca? ， 12PF PF 的最小值为 222bc?， 又 2 2 2a b c?, 解得 2243ab?， ，所以椭圆方程为 22143xy? （）当 l 与 x 轴不 垂直时，设 l 的方程为 1 1 2 2( 1 ) ( 0 ) ( ) ( )y k x k M x y N x y? ? ? ， ， ， ,. 由 22( 1)143y k x
