1、 1 高四第一学期第 1 次考试数学试题 一、选择题 1命题 “ ? ?0 0 00 , , ln 1x x x? ? ? ? ?” 的否定是（ ） A. ? ?0 0 00 , , ln 1x x x? ? ? ? ? B. ? ?0 0 00 , , ln 1x x x? ? ? ? ? C. ? ?0, , ln 1x x x? ? ? ? ? D. ? ?0, , ln 1x x x? ? ? ? ? 2 数学归纳法证明不等式 ? ?*1 1 11 , 22 3 2 1n n n N n? ? ? ? ? ? ?时，由 ? ?2n k k?不等式成立， 推证 1nk?时，左边应增加的项
2、数为 ( ) A. 12k? B. 21k? C. 2k D. 21k? 3 已知全集 UR? ，集合 | 2 0M x x a? ? ?， ? ?2 | log 1 1N x x? ? ?，若集合? ? | 1 3 UM C N x x x? ? ? ?或，那么 a 的取值为（ ） A. 12a? B. 12a? C. 12a? D. 12a? 4 已知数列 为等差数列，且满足 若 展开式中 项的系数等于数列的第三项，则 的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 5 函数 ? ? 2232xxxfx e?的大致图像是（ ） A. B. 2 C. D. 6 若关于 x 的不等式
3、? ?21 2 1x x a a x R? ? ? ? ? ? ?的解集为空集，则实数 a 的取值范围是 ( ) A. ? ?0,1 B. ? ?1,0? C. ? ?,1? D. ? ? ? ?, 1 0,? ? ? ? 7 命题 p ： “ xR? ” ，使 20x? ，命题 q ： “ 2a? ， 2b? 是 4ab? 成立的充分条件 ” ，则下列命题为假命题的是（ ） A. pq? B. pq? C. pq? D. pq? 8 设随机变量 ? ? ? ?2, , 4,B p B p?,若 ? ? 51=9P ? ,则 ? ?2P? 的值为 ( ) A. 1681 B. 3281 C.
4、1127 D. 6581 9 若函数 ? ? ? ?sin 2f x x b? ? ?，对任意实数 x 都有 ? ? 2,133f x f x f? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，则实数 b 的值为（ ） A. 2? 和 0 B. 0 和 1 C. 1? D. 2? 10 已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 11 下列命题中： 线性回归方程 ? ?y bx a?必过点 ? ?,xy ； 在回归方程 ? 35yx? 中，当变量 增加一个单位时， y 平均增加 5 个单位； 在回归分析中，相关指数 2R 为 0.80的模型比相关指数 2R 为 0.98的模型拟
5、合的效果要好； 在回归 直线 0.5 8?yx?中，变量 2x? 时，变量 y 的值一定是 -7 其中假命题的个数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12 已知函数 ，若存在实数 满足 时，3 成立，则实数 的最大值为 ( ) A. B. C. D. 二、填空题 13 若 x ， y 满足约束条件 2 2 020xxyxy? ? ? ? ?，则 22xy? 的最小值是 _ 14 在 ABC? 中，角 A ， B ， C 所对的边长分别为 a ， b ， c ，若 sin 2sinAB? ，且3a b c? ，则角 C 的大小为 _. 15 已知平面向量 ,mn的夹角为 6? 且
6、 3, 2mn?，在 ABC? 中， 2AB m n?， 26AC m n?， D 为 BC 中点，则 AD? _。 16 已 知 函 数 ? ? 29 s in8 c o s 2 1 6f x xx?，则当 ?fx取最小值时 cos2x 的值为 三、解答题 17 某城市现有人口总数为 100 万人，如果年自然增长率为 （ 1）写出该城市人口总数（万人）与年数（年）的函数关系式； （ 2）计算大约多少年以后该城市人口将达到 万人（精确到 1 年）； （ 3）如果 年后该城市人口总数不超过 万人，那么年自然增长率应该控制在多少？ （ ， ， ） 18 某仪器经过检验合格才能出厂，初检合格率为 3
7、4 ：若初检不合格，则需要进行调试，经调试后再次对其进行检验；若仍不合格，作为废 品处理，再检合格率为 45 .每台仪器各项费用如表： 4 项目 生产成本 检验费 /次 调试费 出厂价 金额（元） 1000 100 200 3000 （ ）求每台仪器能出厂的概率； （ ）求生产一台仪器所获得的利润为 1600 元的概率（注：利润 ? 出厂价 ? 生产成本 ? 检验费 ? 调试费）； （ ）假设每台仪器是否合格相互独立，记 X 为生产两台仪器所获得的利润，求 X 的分布列和数学期望 19 已知等差数列 ?na 满足 2 0a? ， 6810aa? ? （ I）求数列 ?na 的通项公式； （ I
8、I）求数列 的前 n 项和 20 如 图，在四棱锥 O ABCD? 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，侧棱 OB? 底面ABCD ，且侧棱 OB 的长是 2 ，点 ,EFG 分别是 ,ABOD BC 的中点 . （ ）证明： OD? 平面 EFG ； （ ）求三棱锥 O EFG? 的体积 . 5 参考答案 DCCDB DBCAD 11 C 12 B 13 2 14 ?60?C 15 7 16 12? 17 （ 1） （ ） ;（ 2） 16 ;（ 3） 以下 （ 1） （ ） （ 2）设 年后该城市人口将达到 万人，即 ， ， 因此，大约 16 年后该城市人口将达到 万人 （ 3）设
9、年自然增长率应该控制在 由题意知： ，即 ，两边取对数得 ， , 所以 ， 因此年自然增长率应该控制在 以下 18 （ ） 1920 ;（ ） 15 ;（ ）见解析 . （ ）每台仪器能出厂的对立事件为不能出厂，根据对立事件的概率可得结果；（ ）由表可 知生产一台仪器所获得的利润为 1600元即初检不合格再次检测合格，根据相互独立事件6 同时发生的概率可得结果；（ ）由题意可得 X 可取 3800 ， 3500 ， 3200 ， 500 ， 200 ， 2800? ，根据相互独立事件同时发生的概率计算出概率，可得分布列及期望 . 试题解析：（ ）记每台仪器不能出厂为事件 A ，则 ? ? 3
10、4 1114 5 2 0PA ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 所以每台仪器能出厂的概率 ? ? 1 191 20 20PA ? ? ? （ ）生产一台仪器利润为 1600 的概率 3 4 114 5 5P ? ? ? ? （ ） X 可取 3800， 3500 ， 3200， 500 ， 200 ， 2800? ? ? 3 3 93800 4 4 1 6PX ? ? ? ?， ? ? 12 1 3 33500 5 4 1 0P X C? ? ? ? ?， ? ? 2113200 5 2 5PX ? ? ?， ? ? 12 3 1 1 3500 4 4 5 4 0P X C ? ? ?
11、 ? ? ?， ? ? 12 1 1 1 1200 5 4 5 5 0P X C ? ? ? ? ? ?， ? ? 21 1 12800 4 5 4 0 0PX ? ? ? ? ? X 的分布列为： X 3800 3500 3200 500 200 2800? P 916 310 125 340 150 1400 ? ? ? ?9 3 1 3 1 13 8 0 0 3 5 0 0 3 2 0 0 5 0 0 2 0 0 2 8 0 0 3 3 5 01 6 1 0 2 5 4 0 5 0 4 0 0EX ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 19 （ 1） 2.nan? （
12、2）1.2n nnS ?（ I）设等差数列 ?na 的公差为 d，由已知条件可得 110,2 12 10,adad? ? ? 解得 1 1,1.ad ?故数列 ?na 的通项公式为 2.nan? （ II）设数列12 n nna nS?的 前 项 和 为，即 2111 ,122 nn naaS a S? ? ? ? ?故， 12 .2 2 4 2nnnSaaa? ? ? ? 所以，当 1n? 时， 7 1211 1112 2 2 21 1 1 212 4 2 2121122n n n nnnnnnnS a a aaaann? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?所以1.2n nnS
13、?综上，数列11.22n nnna nnS? ? 的 前 项 和20（ ）证明见解析；（ ） 12 . （ ）证明 : 四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形， E 是 AB 的中点 , ? 5DE? 又 侧棱 OB? 底面 ABCD , AB? 面 ABCD ? OB? AB 又 2, 1OB EB? ? 5OE? ? 5,DE OE? ? ODE? 是等腰三角形， F 是 OD 的中点 , ? EF OD? . 同理 5,DG DG? ? ODG? 是等腰三角形， F 是 OD 的中点 , FG OD? EF FG F? ,EFFG? 面 EFG OD? 平面 EFG （ ）侧棱 OB? 底面 ABCD , BD? 面 ABCD ? OB? BD 2, 2 2OB DB? ? 23OD? 由（ ）知： OD? 平面 EFG , 是三棱锥 O 到平面 EFG 的距离 F 分别是 OD 的中点 , 3OF? ， 5,DE OE? EF OD? ,? 2EF? 5,DG DG? FH OD? ? 2FG? 四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形， ,EG是 ,ABBC 的中点 ? 2EG? ?三角形 EFG 是等边三角形 ? 32EFGS ? 0 1132G E O F E F GV V Sh? ? ?
