1、 1 高三第一学期承智班班第 1 次考试数学试题 一、选择题 1 已知 ? ? 22l o g , 0 2 , 8 1 4 , 2 ,xxfxx x x? ? ?若存在互不相同的四个实数 0 a b c d? ? ? ?满足? ? ? ? ? ? ? ?f a f b f c f d? ? ?，则 2ab c d? 的取值范围是 （ ） A. ? ?13 2 ,13 2? B. ? ?13 2,15? C. 13 2,15? D. ? ?13 2,15? 2 已知 ? ? 3f x x? ，若方程 ? ? ? ?2 20f x f k x? ? ?的根组成的集合中只有一个元素，则实数 k 的值
2、为 （ ） A. 1 B. 0 C. 1 D. 2 3 设 ? ? ? ? ?2 3 , 0 6 1 , 0xxfx xco s x x? ?， ? ? ? ?1g x kx x R? ? ?，若函数 ? ? ? ?y f x g x?在? ?2,4x? 内有 3 个零点，则实数 k 的取值范围是 ( ) A. ? ?6,4? B. ? ?4,6 C. ? ? ? ?5,6 4? D. ? ? ? ?5,6 4? 4 已知 ?fx是定义在 ? ?,? 上的偶函数，且在 ? ?,0? 上是增函数，设 ? ?4log 7af? ， ? ?0 .612lo g 3 , 0 .2b f c f ? ，
3、则 ,abc的大小关系是 ( ) A. c a b? B. c b a? C. b c a? D. abc? 5 对于函数 ?fx和 ?gx，设 ? ? | 0x f x? ?， ? ? | 0x g x? ?，若存在 ,?，使得 1?，则称 ?fx和 ?gx互为“零点相邻函数”，若函数 ? ? 1 2xf x e x? ? ?与? ? 2 3g x x ax a? ? ? ?互为“零点相邻函数”， 则实数 a 的取值范围是（ ） A. ? ?2,4 B. 72,3?C. 7,33?D. ? ?2,3 6 若圆 ? ? ? ?2 23 1 3xy? ? ? ?与双曲线 22 1( 0 , 0
4、)xy abab? ? ? ?的一条渐近线相切，则此双曲线的离心率为（ ） 2 A. 233 B. 72 C. 2 D. 7 7 已知平面上的单位向量 1e 与 2e 的起点均为坐标原点 O ，它们的夹角为 3? ，平面区域 D 由所有满足 12OP e e?的点 P 组成，其中 1 0 0?，那么平面区域 D 的面积为（ ） A. 12 B. 3 C. 32 D. 34 8 将 2 名教师， 4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、 乙两地参加社会实践活动，每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有（ ） A. 12 种 B. 10 种 C. 9 种 D. 8 种 9 定
5、义在 R 上的偶函数 ?fx，当 0x? 时， ? ? xf x e x?，且 ? ? ? ?f x t f x? 在? ?1,x? ? ? 上恒成立，则关于 x 的方程 ? ?21f x t?的根的个数叙述正确的是（ ） A. 有两个 B. 有一个 C. 没有 D. 上述情况都有可能 10 已知函数 ? ? ? ?221 xf x ax x e x? ? ? ?，若存在正数 0x ，使得 ? ?0 0fx? ，则实数 a 的取值范围是（ ） A. ? ?2,e? ? B. ? ?,2e? ? C. 1 2,e? ?D. 1,2e? ? ?11 定义在 R 上的偶函数 f(x)的导函数为 f
6、( x)，若对任意的实数 x，都有 2f(x)xf ( x)2 恒成立，则使 x2f(x) f(1)x2 1 成立的实数 x 的取值范围为 A. x|x1 B. ( ， 1) (1， ) C. ( 1,1) D. ( 1,0) (0,1) 12 如图， Rt ABC? 中， P 是斜边 BC 上一点，且满足： 12BP PC? ,点 ,MN在过点P 的直线上，若 ,AM AB AN AC?,( , 0)? ,则 2? 的最小值为（ ） A. 2 B. 83 C. 3 D. 103 二、填空题 3 13 已知函数 ? ? 31 233f x x ax bx? ? ? ?，若对于任意的 21,3a
7、 ?，任意的 ? ?1,2x? 都有 ? ? 0fx? 恒成立，则 b 的取值范围是 _ 14 在 ABC? 中，若 1tan 3A? ， 0150C? ， 1BC? ，则 AB? _ . 15 已知函数 ? ? ? ? 22e 2x kf x x x kx? ? ? ?（ k 是常数， e 是自然对数的底数， e 2.71828?）在区间 ? ?02，内存在两个极值点，则实数 k 的取值范围是 _ 16 设抛物线 2 2y px? （ 0p? ）的焦点为 F ，准线为 l .过焦点的直线分别交抛物线于 ,AB两点，分别过 ,AB作 l 的垂线，垂足 ,CD.若 2AF BF? ，且三角形 C
8、DF 的面积为 2 ，则 p 的值为 _. 三、解答题 17 已知 ? ? 21xf x e ax? ? ? （）讨论函数 ?fx的单调性； （）若函数 ?fx在 ? ?0,? 上有最小值，且最小值为 ?ga，满足 ? ? 23 2lnga? ，求实数 a 的取值范围 18 定义：在平面内，点 P 到曲线 ? 上的点的距离的最小值称为点 P 到曲线 ? 的距离，在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 M ： ? ?2 22 12xy? ? ?及点 ? ?2,0A ? ，动点 P 到圆M 的距离与到 A 点的距离相等，记 P 点的轨迹为曲线 W . （ 1）求曲线 W 的方程； （ 2）过原点的直
9、线 l （ l 不与坐标轴重合）与曲线 W 交于不同的两点 ,CD，点 E 在曲线 W上，且 CE CD? ，直线 DE 与 x 轴交于点 F ，设直线 ,DECF 的斜率分别为 12,kk，求 12kk . 19 已知函数 ? ? 21 1af x nx x?. （ 1）求 ?fx的单调区间； （ 2）若 0x? 且 1x? 时， 1 11nx axx?恒成立，求 a 的范围 . 4 20 已知椭圆 ? ?22 10xy abab? ? ? ?的左、右两个焦点分别为 12,FF，离心率 22e? ，短轴长为 2. （ 1）求椭圆的方程； （ 2）点 A 为椭圆上的一动点（非长轴端点）， 2A
10、F 的延长线与椭圆交于 B 点， AO 的延长线与椭圆交于 C 点，求 ABC? 面积的最大值 . 5 参考答案： DCABD ADAAD 11 B 12 B 13 4b? 14 102 15 ? ? ? ?21 e e e?， ， 16 233 17 (I) 函数 ?fx在 ? ?,ln2a? 单调递减，在 ? ?ln2 ,a? 单调递增；（） 1a? . （ 1）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，分别令 ? ?0fx? 得增区间， ? ?0fx? 得减区间；（ 2）结合（ 1）可得 a 的范围，得到函数的单调区间 ，求出函数 ?fx在 ? ?0,? 上有最小值，从而确定 a 的范围即可
11、 . 试题解析：（） f（ x） ex 2a 当 a0 时， f（ x） 0， f（ x）在 R 上单调递增； 当 a 0 时，令 f（ x） 0，得 x ln2a 列表得 x （ ， ln2a） ln2a （ 1n2a， ） f（ x） 0 f（ x） ? ? 所以函数 f（ x）在（ ， ln2a）单调递减，在（ ln2a， ）单调递增 （）由（）可知，当 a 0 时， f（ x）有最小值，且在 x ln2a 时取到最小值， ln2a 0， 12a? 6 f（ x） min f（ ln2a） 2a 2aln2a 1， g（ a） 2a 2aln2a 13 2ln2，即 2a 2aln2a
12、2 2ln20 令 t 2a， t 1， t tlnt 2 2ln20 记 （ t） t tlnt 2 2ln2， （ t） lnt 0 （ t）在（ 1， ）上单调递减，又 （ 2） 0， （ t） 0 时 t2 ，即 a1 所以 a 的取值范围是 a1 18（ ） 2 2 13x y?;（ ） 13? . （ ）由分析知：点 P 在圆内且不为圆心，故 2 3 2 2P A P M A M? ? ? ?, 所以 P 点的轨迹为以 A 、 M 为焦点的椭圆， 设椭圆方程为 22 1( 0 )xy abab? ? ? ?，则 2 2 3 32 2 2 2aacc? ， 所以 2 1b? ，故曲线
13、 W 的方程为 2 2 1.3x y? （ ）设 ? ? ? ? ?1 1 1 1 2 2, 0 , ,C x y x y E x y?,则 ? ?11,D x y? ,则直线 CD 的斜率为 11CDyk x? ，又 CE CD? ，所以直线 CE 的斜率是 11CExk y? ，记 11x ky?，设直线 CE 的方程为y kx m?，由题意知 0, 0km?，由 2 2 13y kx mx y?得： ? ?2 2 21 3 6 3 3 0k x m kx m? ? ? ? ?.12 2613mkxx k? ? ? ?， ? ?1 2 1 2 222 13 my y k x x m k?
14、? ? ? ? ?，由题意知， 12xx? ， 所以 1 2 11 1 2 1133y y yk x x k x? ? ? ?， 所以直线 DE 的方程为 ? ?11113yy y x xx? ? ?，令 0y? ，得 12xx? ，即 ? ?12 ,0Fx . 可得 12 1yk x?. 7 所以1213kk?，即 121=.3kk ? 19 (1)答案见解析； (2) 2a? . (1) ? ? ? ? ?222 1 11x a xfxxx? ? ? ?令 ? ? ? ?2 2 1 1g x x a x? ? ? ? ? ?42aa? ? 当 02a?时， ? ?0,x? ? ， ? ?
15、0fx? ? ? ?fx 当 0a? 时， ? ?0,x? ? ， ? ? 0fx? ? ? ?fx 当 2a? 时， ? ? 0fx? ? 两根为 21 12x a a a? ? ? ?， 22 12x a a a? ? ? ? ? ?10,xx? ， ? ? 0fx? ? ， ? ?fx ， ? ?2,xx? ? ， ? ? 0fx? ? ， ? ?fx ? ?12,x x x? ， ? ? 0fx? ? ， ? ?fx 综上当 2a? 时， 区间为 ? ?0,? 当 2a? 时， 区间 ? ? ? ?220 , 1 2 , 1 2 ,a a a a a a? ? ? ? ? ? ? ?，
16、 区间 ? ?221 2 , 1 2a a a a a a? ? ? ? ? ? (2)即证 21 121 1 1 1 1anx aaxx x x x? ? ? ? ? ? 整理得 121011anx axx? ? ?即证 1x? 时， 2101anx ax? ? ?01x?时， 2101anx ax? ? ? 令 ? ? 21 1ah x nx ax? ? ?， ? ? ? ? ?222 1 11x a xhxxx? ? ?当 2a? 时， ? ? 0hx? ? ， ?hx在 ? ?0,? ， ?10h ? 8 1x? 时， ? ? ? ?21 1 01ah x n x a hx? ? ?
17、? ? 01x?时， ? ? ? ?21 1 01ah x n x a hx? ? ? ? ? 满足题意 当 2a? 时， ? ?21 2 ,1x a a a? ? ? ?， ? ? 0hx? ? 01x?时， ? ? ? ?21 1 01ah x n x a hx? ? ? ? ? 不合题意 综上 2a? 20 （ 1）椭圆的标准方程为 2 2 12x y? （ 2） ABC? 面积的最大值为 2 （ 1） 由题意得 22b? ，解得 1b? ， 2 2 22 ,2ce a b ca? ? ? ?， a? ， 1c? ， 故椭圆的标准方程为 2 2 12x y? （ 2）当直线 AB 的斜率
18、不存在时，不妨取 2 2 21 , , 1 , , 1 ,2 2 2A B C? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 故 1 2 2 22ABCS ? ? ? ? ?； 当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 ? ?1y k x?， 联立方程组 ? ?221 12y k xx y?， 化简得 ? ?2 2 2 22 1 4 2 2 0k x k x k? ? ? ? ?， 设 ? ? ? ? 221 1 2 2 1 2 1 24 2 2, , , , ,2 1 2 1kkA x y B x y x x x x ? ? ? ? ? ? ? 22 1 2 1 214A B k x x x x? ? ? ? ? ? 9 ? ? 2222 4 2 2142 1 2 1kkk ? ? ? ? ? ? 22 12221kk ? ?点 O 到直线 0kx y k? ? ? 的距离 2211kkd ? 因为 O 是线段 AC 的中点，所以点 C 到直线
