1、 1 2017-2018 学年第一学期第一次月考 高三数学试题（理科） 测试时间： 120 分钟 满分： 150 分 第 卷 (选择题，共 60 分 ) 一、选择题 (本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题只有一个选项符合题意 ) 1已知集合 A x|y 4x x2， B x|x|2 ，则 A B ( ) A 2,2 B 2,4 C 0,2 D 0,4 2下列说法中，正确的是 ( ) A命题 “ 若 am20” 的否定是 “ ? x R， x2 x0” C命题 “ p 或 q” 为真命题，则命题 p 和命题 q 均为真命题 D已知 x R，则 “ x1” 是 “ x2” 的充
2、分不必要条件 3若 tan 12，则 sin4 cos4 的值为 ( ) A 15 B.15 C.35 D 35 4已知向量 a (1,2)与 b (4， k)垂直，且 a b 与 a b 的夹角为 ，则 cos 等于( ) A. 825 B.13 C 79 D 35 5函数 g(x) 2ex x 3?12t2dt 的零点所在的区间是 ( ) A ( 3， 1) B ( 1,1) C (1,2) D (2,3) 6设函数 f(x) Asin(x )，其中 A0， | |an 1，则实数 a 的取值范围是 ( ) A.? ?0， 13 B.? ?0， 12 C.? ?13， 12 D.? ?12
3、， 1 10.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(1) 4，且 f(x)的导函数 f( x)3ln x 1 的解集为 ( ) A (1， ) B (0， e)C (0,1) D (e， ) 11已知四面体 P ABC 中， PA 4， AC 2 7， PB BC 2 3， PA 平面 PBC，则四面体 P ABC 的外接球半径为 ( ) A 2 2 B 2 3 C 4 2 D 4 3 12已知曲线 f(x) ke 2x在点 x 0 处的切线与直线 x y 1 0 垂直，若 x1， x2是函数 g(x) f(x) |ln x|的两个零点，则 ( ) A 10(n N*)， a1a3 4，
4、且 a3 1 是 a2和 a4的等差中项，若 bn log2an 1. (1)求数列 bn的通项公式； (2)若数列 cn满足 cn an 1 1b2n 1 b2n 1，求数列 cn的前 n 项和 4 20.(本小题满分 12 分 )已知长方形 ABCD 中， AB 1， AD 2.现将长方形沿对角线 BD折起，使 AC a，得到一个四面体 A BCD，如图所示 (1)试问：在折叠的过程中，异面直线 AB 与 CD， AD 与 BC 能否垂直？若能垂直，求出相应的 a 值；若不垂直，请说明理由 (2)当四面体 A BCD 体积最大时，求二面角 A CD B 的余弦值 21 (本小题满分 12
5、分 )已知向量 m (3sinx， cosx)， n ( cosx， 3cosx)， f(x)m n 32 . (1)求函数 f(x)的最大值及取得最大值时 x 的值； (2)若方程 f(x) a 在区间 ? ?0， 2 上有两个不同的实数根，求实数 a 的取值范围 22 (本小题满分 12 分 )已知函数 f(x) ax ln x 4(a R) (1)讨论 f(x)的单调性； (2)当 a 2 时，若存在区间 m， n? ? ?12， ，使 f(x)在 m， n上的值域是5 ?km 1，kn 1 ，求 k 的取值范围 6 答案 B B D D C A D B D B A B 12.解析 依题
6、意得 f( x) 2ke 2x， f(0) 2k 1， k 12.在同一坐标系下画出函数 y f(x) 12e 2x与 y |ln x|的大致图象，结合图象不难看出，这两条曲线的两个交点中，其中一个交点横坐标属于区间 (0,1)，另一个交点横坐标属于区间 (1， ) ，不妨设x1 (0,1)， x2 (1， ) ，则有 12e 2x1 |ln x1| ln x1 ? ?12e 2， 12 ， 12e 2x2 |ln x2|ln x2 ? ?0， 12e 2 ， 12e 2x2 12e 2x1 ln x2 ln x1 ln (x1x2) ? ? 12， 0 ，于是有 e 120， 在等比数列 a
7、n中，由 an0， a1a3 4，得 a2 2， (2 分 ) 又 a3 1 是 a2和 a4的等差中项，所以 2(a3 1) a2 a4， 把 代入 ，得 2(2q 1) 2 2q2，解得 q 2 或 q 0(舍去 )， (4 分 ) 所以 an a2qn 2 2n 1，则 bn log2an 1 log22n n.(6 分 ) (2)由 (1)得 cn an 1 1b2n 1 b2n 1 2n 1n n 2n 12? ?12n 1 12n 1 ， (8 分 ) 所以数列 cn的前 n 项和 Sn 2 22 ? 2n 12 ( 1 13 ) ? ?13 15 ? ? ?12n 1 12n 1
8、 2n1 2 12?1 12n 1 2n 1 2 n2n 1.(12 分 ) 20.解 (1)若 AB CD，因为 AB AD， AD CD D， 所以 AB 面 ACD?AB AC.即 AB2 a2 BC2?12 a2 ( 2)2?a 1.(2 分 ) 若 AD BC，因为 AD AB， AB BC B，所以 AD 面 ABC?AD AC， 即 AD2 a2 CD2?( 2)2 a2 12?a2 1，无解，故 AD BC 不成立 (4 分 ) (2)要使四面体 A BCD 体积最大，因为 BCD 面积为定值 22 ，所以只需三棱锥 A BCD的高最大即可，此时面 ABD 面 BCD.(6 分
9、 ) 过 A 作 AO BD 于 O，则 AO 面 BCD， 以 O 为原点建立 空间直角坐标系 Oxyz(如图 )， 8 则易知 A? ?0， 0， 63 ， C? ?63 ， 33 ， 0 ， D? ?0， 2 33 ， 0， 显然，面 BCD 的法向量为 OA ? ?0， 0， 63 .(8 分 ) 设面 ACD 的法向量为 n (x， y， z) 因为 CD ? ? 63 ， 33 ， 0 ， DA ? ?0， 2 33 ， 63 ， 所以 ? 6x 3y，2 3y 6z.令 y 2，得 n (1， 2， 2)， (10分 ) 故二面角 A CD B 的余弦值即为 |cos OA， n
10、 |2 6363 1 2 4 2 77 .(12 分 ) 21.解 (1)f(x) m n 32 3sinxcosx 3cos2x 32 32sin2x 32 (1 cos2x) 32 32sin2x 32 cos2x 3sin? ?2x 56 . 当 2x 56 2k 2 ，即 x k 6 ， k Z 时，函数 f(x)取得最大值 3. (2)由于 x ? ?0， 2 时， 2x 56 ? ?56 ， 116 . 而函数 g(x) 3sinx 在区间 ? ?56 ， 32 上单调递减，在区间 ? ?32 ， 116 上单调 递增 又 g? ?116 32 ， g? ?32 3， g? ?56
11、 32 . 结合图象 (如图 )，所以方程 f(x) a 在区间 ? ?0， 2 上有两个不 同的实数根时， a? 3， 32 . 22.解 (1)函数 f(x)的定义域是 (0， ) ， f( x) ax 1x ， 当 a0 时， f( x)0 ，所以 f(x)在 (0， ) 上为减函数， 当 a0 时，令 f( x) 0，则 x 1a，当 x ? ?0， 1a 时， f( x)0， f(x)为增函数， (3 分 ) 当 a0 时， f(x)在 (0， ) 上为减函数；当 a0 时， f(x)在 ? ?0， 1a 上为减函数，在?1a， 上为增函数 (4 分 ) (2)当 a 2 时， f(
12、x) 2x ln x 4，由 (1)知： f(x)在 ? ?12， 上为增函数，而 m，n? ?12， ， f(x)在 m， n上为增函数，结合 f(x)在 m， n上的值域是 ? ?km 1， kn 1 知： f(m) km 1，f(n) kn 1，其中 12 m0， F(x)在 ? ?12， 上为增函数，即 ( x)在 ? ?12， 上为增函数，而 (1) 0， 当 x ? ?12， 1 时， (x)0， (x)在 ? ?12， 1 上为减函数，在 (1， ) 上为增函数， (10 分 ) 而 ? ?12 3ln 2 92 ， (1) 4，当 x 时， (x) ，故结合图象得： (1)k ? ?12 ? 4k 3ln 2 92 ， k 的取值范围是 ? ? 4， 3ln 2 92 .(12 分 )
