1、 1 2015级高三上学期第三次月考 数学试题（理科） 第卷 一 .选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知集合 A=x|x2n， 则 ? p为 . 14. 设变量,xy满足不等式组31xyxyxy? ?，则22?的最小值是 。 3 15. 已知两个平面向量 ab， 满足 1a? ， 2 21ab? ，且 a 与 b 的夹角为 120? ，则b? _ 16. 椭圆 x2a2y2b2 1(a b 0 )的右焦点 F(c,0)关于直线 ybcx 的对称点 Q 在椭圆上 ， 则椭圆的离心率是 _ 三、解答题 （共 70分，解答应写
2、出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分 12分） 设 )4(c o s-s i n x c o s xf ( x ) 2 ? x (1)求 f(x)的单调 递增 区间； (2)在锐角 ABC中，角 A， B， C的对边分别为 a， b， c若 0)2(f ?A ， a 1，求 ABC面积的最大值 18. （本小题满分 12 分） 记Sn为数列?na的前项 和，已知0n?, 2 22n n na a s? ? ? （nN?） （ ） 求数列 的通项公式 . （ ） 设2 2 23nnnb aa?，求数列?nb的前项 和T. 19. （本小题满分 12 分） 如图，四棱锥P ABC?
3、中，PA?地面ABCD，AD BC，3AB AD AC? ? ?， 4PA BC?，M为线段AD上一点，2AM MD?，N为PC的中点 （ I）证明MN平面PAB； （ II）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值 . 4 20. （本小题满分 12 分） 随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已经成为人们越来越关心的话题，为了解公众对“延迟退休”的态度，某校课外研究性学习小组在某社区随机抽取了 50 人 进行调查，将调查情况进行整理后制成下表： 年龄 ? ?20,25? ?25,30? ?30,35? ?35,40? ?40,45人数 4 5 8 5 3 年龄 ? ?4
4、5,50? ?50,55? ?55,60? ?60,65? ?65,70人数 6 7 3 5 4 经调查年龄在? ?25,30，? ?55,60的被调查者中赞成“延迟退休”的人数分别是 3人和 2人，现从这两组的被调查者中各随机选取 2人，进行跟踪调查 （）求年龄在? ?,的被调查者中选取的 2人都赞成“延迟退休”的概率； （）若选中的 4人中，不赞成“延迟退休”的人数为 X，求随机变量 的分布列和数学期望 21（本小题满分 12分） 设函数21( ) ( ) ln , ( ) ln ( 1 )2 af x x b x g x a x x x a? ? ? ? ? ?, 已知曲线 ()y f
5、x?在点(1, (1)f处的切线与直线20xy?垂直 . ( ) 求b的值； 5 ( ) 若对任意 1x? ，都有() 1agx a? ?，求a的取值范围 . 请考生从 22、 23 题中任选一题做答，并用 2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所图题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分。 22. （本小题满分 10 分） 选修 4 4：极坐标与参数方程 已知直线352:132xtlyt? ? ?（ t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2cos? . (1)将曲线 C 的极坐标方程
6、化为直角坐标方程； （ 2）设点 M 的直角坐标为 ? ?5, 3 ，直线 l 与曲线 C 的交点为 A ， B ， 求 | | | |MA MB? 的值 . 23. （本小题满分 10 分） 选修 4-5：不等式选讲 已知关于 x 的不等式 x a b? 的解集为 ? ?24xx? (1)求实数 a ， b 的值； (2)求 12at bt? 的最大值 6 2015级高三第三次月考理科数学答案 一、 选择题 1-5 D A C B C 6-10 C B D B A 11-12 C A 二填空题 13. ? n N， n22 n 14. 9215. 2 16. 22 三、解答题 17.解： (
7、1)由题意知 f(x) sin 2x2 1 cos? ?2x 22 sin 2x2 1 sin 2x2 sin 2x12 由 2 2k2 x 2 2k ， k Z，可得 4 k x 4 k ， k Z； 所以 f(x)的单调递增区间是 ? ? 4 k ， 4 k (k Z)； ? 6分 (2)由 f? ?A2 sin A 12 0，得 sin A 12，由题意知 A为锐角，所以 cos A 32 由余弦定理 a2 b2 c2 2bccos A，可得 1 3bc b2 c22 bc， 即 bc2 3，当且仅当 b c时等号成立因此 12bcsin A 2 34 所以 ABC面积的最大值为 2 3
8、4 ? 12分 18. 解： (1)由2 2 =2n n na S a?得21 1 12S =2n n naa? ? ?相减得? ?221 1 12 S S =n n n n n na a? ? ? ? ? ?即? ?2211 =0n n n na a a? ? ? ? ? ? ? ?1 1 1 =0n n n n n na a a a a a? ? ? ? ? ?因为na0 解得1 =1nn? ?（nN?） 故数列?na为等差数列，且公差 d=1 ? 4分 21 1 1112 S = 2= 2 = 1aa ?又解 得 或 （ 舍 去 ）故na=n+1 ? 6分 ? ? ? ? ? ?2 2
9、23 3 3 1 12 b = 2 1 2 3 2 2 1 2 3n nna a n n n n? ? ? ? ? ? ? ? 8分 3 1 1 1 1 1 1T .2 3 5 5 7 2 1 2 3nn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?则3 1 1 n = =2 3 2 3 2 3nn? 12分 7 19. 解析：（）由已知得232 ? ADAM，取BP的中点T，连接TNAT,， 由N为PC中点知BCTN/，221 ? BCTN. 又AD/，故/ / ,TN AM TN AM?，四边形AMNT为平行四边形，于是ATMN/. 因为?AT平
10、面PAB，?MN平面PAB，所以/MN平面PAB. ? 5分 （）取BC的中点E，连结AE，由ACAB?得BCAE?，从而ADAE?，且5)2( 2222 ? BCABBEABAE. 以A为坐标原点， 的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系xyzA?， 由题意知，)4,0,0(P，)0,2(M，)0,25C，)2,1,25(N， ? 7分 (0, 2, 4)PM ?，)2,1,25( ?PN，)2,AN. 设( , , )n x y z?为平面PMN的法向量，则?00PNnPMn， 即?025042zyxzx， 可取(0,2,1)n?， ? 9分 于是| | 8 5| c os ,
11、| 25| | |n ANn AN n AN? ? ? ?. 故直线AN与平面PMN所成角的正弦值8525。? 12分 20 解：（）设“年龄在? ?,30的被调查者中选取的 2人都是赞成 ”为事件 A， 所以? ? 2325 310CPA C? 4分 （）X的可能取值为 0,1,2,3 ? 5分 所以? ? 22322253 10 10CCPX CC? ? ?，? ? 1 1 2 2 1 12 3 2 3 2 12253 21 5C C C C C CPX CC? ? ?8 ? ? 2 2 1 1 1 12 2 3 2 2 12253 132 30C C C C C CPX CC?，? 2
12、1 12 2 12253 13 15C C CCC? ? ?X0 1 2 3 P110251330115所以? ? 1 2 13 1 220 1 2 310 5 30 15 15EX ? ? ? ? ? ? ? ? ? 12 分 21.解 (1)曲线 y f(x)在点 (1， f(1)处的切线斜率为 2，所以 f(1) 2， -2分 又 f( x) ln xb 1，即 ln 1 b 1 2，所以 b 1. -4分 (2) g(x)的定义域为 (0， )， g (x) ax (1 a)x 1 1 ax ? ?x a1 a (x 1). -5分 若 a 12，则 a1 a 1，故当 x (1， )
13、时， g (x) 0， g(x)在 (1， )上单调递增 . 所以，对任意 x 1，都有 g(x) aa 1的充要条件为 g(1) aa 1，即 1 a2 1 aa 1，解得 a 2 1或 2 1 a 12 -8 分 若 12 a 1，则 a1 a 1，故当 x ? ?1， a1 a 时， g (x) 0；当 x ? ?a1 a， 时， g(x) 0.f(x)在 ? ?1， a1 a 上单调递减，在 ? ?a1 a， 上单调递增 . 所以，对任意 x 1，都有 g(x) aa 1的充要条件为 g? ?a1 a aa 1. 而 g? ?a1 a aln a1 a a22（ 1 a） aa 1aa
14、 1在12 a 1上恒成立， 所以 12 a 1 -10分 若 a 1， g(x)在 1， )上递减，不合题意。 综上， a的取值范围是 ( ?， 2 1) ( 2 1， 1). -12 分 22.解： (i ) ? cos2? 等价于 ? cos22 ? . 将 222 yx ? ， x?cos 代入 式即得曲线 C 的直角坐标方程是 0222 ? xyx . - -4分 9 (ii ) 将?.213,235tytx代入 ，得 018352 ? tt .设这个方程的两个实根分别为 21,tt ，则由参数 t 的几何意义即知 | MBMA ? .18| 21 ?tt -10分 23.解： （ 1）由 |x a b? ? ? b a x b a? ? ? ? ?所以 2,4,baba? ? ? ?解得 31ab? ?. （ 2） ? ? ? ?22 2 11 2 3 + 1 1 2 3 33t t t t? ? ? ? ?4 12 163?， 所以 12 3 + 4tt?- ，即 12 3 +tt- 的最大值为 4，当 1t= 时取等号 .
