1、 - 1 - 河北省邱县 2018届高三数学上学期第一次月考试题 理 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分） 1设集合 ? ? 11 1 , | 2xM N x? ? ? ?，则下列结论正确的是 A. NM? B. MN? C. NM? D. M N R? 2 已知复数 z 满足 2zi i x?()xR? ，若 z 的虚部为 2，则 z? A 2 B 22 C5D33已知命题 :p “ , 1 0xx e x? ? ? ? ?R ” ，则 p? 为 A , 1 0xx e x? ? ? ? ?R B , 1 0xx e x? ? ? ? ?R C , 1 0xx e x?
2、 ? ? ? ?R D , 1 0xx e x? ? ? ? ?R 4 已知等比数列 an满足 a1 3， a1 a3 a5 21，则 a3 a5 a7 A 21 B 42 C 63 D 84 5 已知 等差 数列 ?na 的前 n 项和 nS ,若 91032 ? aaa ，则 ?9S A. 27 B. 18 C.9 D. 3 6若 ,xy满足约束条件 202 1 02 2 0xyxyxy? ? ? ? ? ? ?，则 3Z x y?的最小 值为 A.-5 B. -3 C.-1 D. 2 7 定义 ? ? ? ? 2, 1m in , m in ,a a ba b f x xb a b x?
3、 ? ? ? ? ， 设，则由函数 ?fx的图象与 x 轴、直线 2x? 所围成的封闭图形的面积为 A. 712 B. 512 C. 1 ln26? D.1 ln23? 8 已知函数 )1ln ()( 2xxxf ? ，则不等式 0)()1( ? xfxf 的解集是 A. 2x|x ? B. 1x|x ? C. 21x|x ? D. 0x|x ? 9 已知点 A是半径为 1的 O 外一点，且 AO=2，若 M,N是 O 一条直径 的两个端点，则 AM AN?为 - 2 - A. 1 B. 2 C 3 D 4 10已知函数 ( ) s i n ( ) ( 0 , )2f x x ? ? ? ?
4、? ? ?的最小正周期为 4? ，且对 xR? ，有( ) ( )3f x f ? 成立，则 ()fx的一个对称中心坐标是 A 2( ,0)3? B ( ,0)3? C 2( ,0)3? D 5( ,0)3? 11在ABC?中，角CBA 、所对的边分别为cba 、，且 3 co s 3 co sb C c B a?，则tan( )BC? 的最大值 为 A. 3 B.2 C. 43 D. 42 12已知 偶 函数 ()fx 是定义在 R 上的可导函数，其导函数为 ()fx? ，当 0x? 时 有22 ( ) ( )f x xf x x?，则不等式 2( 2 0 1 4 ) ( 2 0 1 4 )
5、 4 ( 2 ) 0x f x f? ? ? ? ?的解集为 ( ) A ? ?2016, 2012? B ? ?, 2012? C ? ?, 2016? D ? ?20160? ， 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分） 13已知 | | 2a? ,| | 4b? , ()a b a?,则向量 a 与 b 的夹角 是 _. 14. 若 24 4)( ?xxxf ，则 )10011000()10012()10011( fff ? ?=_. 15已知在 ABC? 中， 4AB? , 6AC? ， 7BC?其外接圆的圆心为 O ， 则AO BC?_ 16.下列是有关 ABC? 的
6、几个命题， 若 ta n ta n ta n 0A B C? ? ?，则 ABC? 是锐角三角形；若 sin 2 sin 2AB? ，则 ABC? 是等腰三角形；若 ( ) 0AB AC BC?，则 ABC? 是等腰三角形；若 cos sinAB? ，则ABC? 是直角三角形； 其中所有正确命题的序号是 _ 三、解答题 （ 本大题共 6小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17（本小题满分 10分） 已知数列 ?na的前 项和 nS满足 2 3 1nnSa?，其中*nN? （ I）求数列 ?na的通项公式； （ II） 设 nn ab 3log1? ，求数列 ? ?nn
7、ba 的前 n 项和 nT . - 3 - 第 20 题图 PFED CBA18（本小题满分 12分） 在 ABC? 中，角 ,ABC 的对边分别为 ,abc，满足 ( 2 ) c o s c o sb c A a C? ( )求角 A 的大小 ( )若 3a? ，求 ABC? 的周长最大值 19 (本小题满分 12分 ) 某厂有 4 台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现 1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需 1名工人进行维修每台机器出现故障需要维修的概率为 13 ( )问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于 90%
8、？ ( )已知一名工人每月只有维修 1台机器的能力，每月需支付给每位工人 1 万元的工资每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生 5 万元的利润，否则将不产生利润若该厂现 有 2 名工人求该厂每月获利的均值 20.（本小题满分 12分） 如图，在四棱锥 P ABCD? 中，底面 ABCD 是长方形，侧棱 PD? 底面 ABCD ，且1 , 2PD AD DC? ? ?，过 D作 DF PB? 于 F， 过 F作 FE PB? 交 PC于 E. （ ） 证明： DE? 平面 PBC； （ ） 求平面 DEF 与平面 ABCD 所成 二面角的余弦值 . - 4 - 21. （本小题满分
9、 12 分） 如图，已知椭圆 ? ?22: 1 0xyC a bab? ? ? ?的左焦点 F 为抛物线2 4yx? 的焦点，过点 F做 x轴的垂线交椭圆于 A， B两点，且 3AB? (1)求椭圆 C的标准方程： (2)若 M， N为椭圆上异于点 A的两点，且满足 AM AF AN AFAM AN?，问直线 MN 的斜率是否为定值 ?若是，求出这个定值；若不是，请说明理由 22（本小题满分 12分） 已知函数 2( ) ( 2 1 ) lnf x x a x a x? ? ? ?（ aR? ） . ( )若 ()fx在区间 ? ?2,1 上是单调函 数，求实数 a 的取值范围； ( )函数
10、( ) (1 )g x a x? ，若 0 1, xe? 使得 00( ) ( )f x g x? 成立，求实数 a 的取值范围 . - 5 - 邱县 一中高三 第一次月考 数学（理）答案 BBCBA BDCCA DA 3? , 500， 10， 17 解： 解 :（ I） *31()22nnS a n N? ? ?， 当 111,n S a? ? ?， 1 1a?， ? 1分 当 2n?， 3122nnSa?， - ： 13322n n na a a ?，即： 13 ( 2)nna a n? ? 3分 又 1 1a?， 2 3a? ， 1 3nna? ?对*nN?都成立，所以 ?na是等比数
11、列， 1*3 ( )nna n N? .? 5分 （ II） 13, ? nnnn nbanb 12 333321 ? nn nT ? nn nT 3333233 32 ? ? 213-213-33312- 12 ? ? nnnn nnT ）（? 414 3)12( ? nn nT .? ? 10分 18（本小题满分 12分） （ I）解：由 ( 2 ) c o s c o sb c A a C?及正弦定理，得 ( 2 s i n s i n ) c o s s i n c o sB C A A C?3 分 2 s i n c o s s i n c o s s i n c o sB A C
12、A A C? ? ? 2 s i n c o s s i n ( ) s i nB A C A B? ? ? ? (0, )B ? sin 0B? (0, )A ? 1cos 2A? 3A ?6 分 - 6 - (II)解：由（ I）得 3A ?，由正弦定理得 3 23s in s in s in 32b c aB C A? ? ? ?所以 2 3 s in ; 2 3 s inb B c C? ABC? 的周长 3 2 3 s i n B 2 3 s i n ( B )3l ? ? ? ? ?9 分 3 2 3 s i n B 2 3 ( s i n B c o s c o s B s i
13、n )33? ? ? ? 3 3 3 sin B 3 c o sB? ? ? 3 6 sin(B )6? ? ? 2(0, )3B ? 当 3B ? 时， ABC? 的周长取得最大值为 9 ?12 分 19 (本小题满分 12分 ) 解： (1)一台机器运行是否出现故障可看作一次实 验，在一次试验中，机器出现故障设为事件A ，则事件 A 的概率为 13 该厂有 4 台机器就相当于 4 次独立重复试验，可设出现故障的机器台数为 X ，则 14,3XB?:， ? ? 404 2 1 60 3 8 1P X C ? ? ?， ? ? 314 1 2 3 21 3 3 8 1P X C ? ? ? ?
14、 ?， ? ? 2224 1 2 2 42 3 3 8 1P X C ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ? ? 334 1 2 83 3 3 8 1P X C ? ? ? ?， 即 X 的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 1681 3281 2481 881 181 设该厂有 n 名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修”为 Xn ，即0X? ， 1X? ， 2X? ，?， Xn? ，这 1n? 个互斥事件的和事件，则 n 0 1 2 3 4 ? ?P X n 1681 4881 7281 8081 1 - 7 - 72 8090%81 81 ，至少
15、要 3 名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于 90% (2)设该厂获利为 Y 万元，则 Y 的所有右能取值为： 18,13,8， ? ? ? ?18 0P Y P X? ? ? ? ? ? ? 7212 81P X P X? ? ? ? ?， ? ? ? ? 81 3 3 81P Y P X? ? ? ?， ? ? ? ? 184 81P Y P X? ? ? ? 即 Y 的分布列为： Y 18 13 8 P 7281881181则 ? ? 7 2 8 1 1 4 0 81 8 1 3 88 1 8 1 8 1 8 1EY ? ? ? ? ? ? ? 故该
16、厂获利的均值为 140881 20(12分 )解： （） 因为 PD? 底面 ABCD ，所以 PD BC? ， 由底面 ABCD 为长方形，有 BC CD? ，而 PD CD D? ， 所以 BC PCD?平 面 . 而 DE PCD?平 面 ，所以 BC DE? . ? 2分 又因为 DF PB? ， FE PB? 所以 PB? 平面 DEF . 而 PB PBC?平 面 ，所以 PB DE? . ? 4分 又 BC DE? ， PB BC B? ，所以 DE? 平面 PBC . ? 6分 （） 如图 2, 由 PD ABCD?平 面 ， 所以 (0 , 0 , 1)DP? 是平面 ABC
17、D 的一个法向量； ? 8分 由（ ）知， PB DEF?平 面 ， 所以 (1 , 2 , 1)PB ?是平面 DEF 的一个法向量 ? 10分 设平面 DEF 与平面 ABCD 所成二面 角为 ? 则 16c o s6| | | | 6B P D PB P D P? ? ? ?， - 8 - 故面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的余弦为 66. ? 12分 21.解： （ 1）由题意可知， ( 10)F?， ，所以 1c? ， ? ? 1分 令 xc? ，代入椭圆可得 2by a? ，所以 22 3ba ? ，又 221ab?， 两式联立解得： 224, 3ab?， ? 3分 2214
18、3xy? ? ? 4分 （ 2）由（ 1）可知， ( 1,0)F? ，代入椭圆可得 32y? ，所以 3( 1, )2A? ， ? 5分 ,AMAFuuur uuur 的夹角为 ? ， ,ANAFuuur uuur 的夹角为 ? ， 因为 | | | |A M A F A N A FA M A N?uuur uuur uuur uuurgguuur uuur， 所以 | | c o s | | c o sAF AF?uuur uuur，即 FAM FAN? ? ,又因为 FA x? 轴， 所以直线 ,AMAN 的倾斜角互补，直线 AM 的斜率与 AN的斜率互为相反数； 可设直线 AM 方程为： 3( 1) 2y k x? ? ? ，代入 22143xy
