1、 1 2014级高三上学期第 3 次月考数学（文）试卷 一、选择题 1集合 2 | lo g 1 ) 0M x x? ? ?（ ，集合 11| ? xxN ，则 NM? 等于（ ） A )1,1? B )1,0 C 1,1? D )1,0( 2下列关于命题的 说法错误 的 是（ ） A命题“若 0232 ? xx ， 则 2?x ” 的逆否命题是“若 2?x ， 则 0232 ? xx ” B“ 3?a ” 是“函数 xy alog? 在其定义域上为增函数”的充分不必要条件 C若命题 p ： 1003, ? nNn ， 则 p? ： 1003, ? nNn D命题“ xxx 53),0,( ?
2、 ”是真命题 3已知平面向量 )2,2(),1,0( ? ba ， 2| ?ba? ， 则 ? 的值为（ ） A 21? B 12? C 2 D 1 4 若变量 ,xy满足约束 条件 2002 2 0xyxyxy? ? ?，则 2z x y?的最小值等于（ ） A 52? B -2 C 32? D 2 5 “ 牟合方盖 ” 是我 国古代数学家 刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐 优美的几何 体它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合 （ 牟 合 ） 在一起 的 方形伞 （ 方盖 ） 其直观图如图 所示 ，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线当 其 正
3、 视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是 （ ） 2 6等差数列 na 中的 40251 aa， 是函数 16431)( 23 ? xxxxf 的极值点，则 20132log a 等于（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 7已知函数 )2|,0)(s in ()( ? ? xxf 的最小正周期为 ? ， 若将其图象向右平移 3? 个单位后得到的图象关于原点对称，则函数 )(xf 的图象（ ） A关于直线 12?x 对称 B关于直线 125?x 对称 C关于点 )0,12(? 对称 D关于点 )0,125(? 对称 8 若 直线 )0,0(06 ? babyax 被圆 04222 ? yxy
4、x 截得 弦长为 52 ，则 ab 的最大值是（ ） A 25 B 4 C 29 D 9 9 已知抛物线 2 8yx? 的焦点到双曲线 2222: 1( 0 0 )xyE a bab? ? ? ?，的渐近线的距离不大于 3 ，则双曲线 E 的离心率的取值范围是（ ） A (1, 2 B (1,2 C. 2, )? D 2, )? 10 在正方体 1111 DCBAABCD ? 中， E 为线段 CB1 的中点，若三棱锥 1ADDE? 的外接球的体积为?36 ，则正方体的棱长为（ ） A 2 B 22 C 33 D 4 11已知椭圆 ? ?22: 1 0xyC a bab? ? ? ?的离心率为
5、 32 ，四个顶点构成的四边形的面积为 12，直线 l 与椭圆 C 交于 ,AB两点，且线段 AB 的中点为 ? ?2,1M? ，则直线 l 的斜率为（ ） A 13 B 32 C 12 D 1 3 12已 知双曲线 ? ?2222: 1 0 , 0xyC a bab? ? ? ?的右焦点 F 和 ? ?0,Ab的连线与 C 的一条渐近线相交于点 P ，且 2PF AP? ，则双曲线 C 的离心率为（ ） A 3 B 3 C 4 D 2 二、填空题 13 若双曲线 2 2 1x ym?的实轴长是离心率的 2倍，则 m= 14已知函数 21( ) ln 22f x x ax x? ? ?存在单调
6、递减区间 ， 则实数 a 的取值范围为 15 若数列 ?na 满足 2 1 3 2 4 3 1nna a a a a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ，则称数列 ?na 为“差递减”数列若数列 ?na 是“差递减”数列，且其通项 na 与其前 n 项和 nS （ *nN? ）满足 2 3 2 1nnSa ? ? ?（ *nN? ），则实数 ? 的取值范围是 16在等腰直角 ABC? 中， ?90?ABC ， 2?BCAB ， NM、 为 AC 边上两个动点，且满足2| ?MN ， 则 BNBM? 的取值范围为 . 三、解答题 17 已知数列 na 满足 2 *121 1 1 ()
7、2nn nNa a a? ? ? ? ?. （ 1）求数列 na 的通项公式； （ 2）设 1n n nb aa? ， nS 为数列 nb 的前 n 项和，求 nS . 18 已知函数 2 1( ) 3 s i n c o s c o s ( )2f x x x x x R? ? ? ?. （）当 5 , 12 12x ? 时，求函数 ()fx取得最大值和最小值时 x 的值； （）设锐角 ABC? 的内角 A 、 B 、 C 的对应边分别是 a 、 b 、 c ，且 1a? ， *cN? ，若向量1 (1,sin )nA? 与向量 2 (2,sin )nB? 平行，求 c 的值 . 4 ACB
8、DEF19如图，在四 棱锥 ABCDE? 中，底面 ABCD 为正方形， ?AE 平面 CDE ，已知 2AE DE?， F 为线段 DE 的中点 （ 1）求证： /BE 平面 ACF ； （ 2）求四棱锥 ABCDE? 的体积 20已 知动圆 P （ P 为 圆心）经过点 ? ?30N ， ， 并且 与 圆 ? ?2 2: 3 16M x y? ? ?相 切 （）求点 P 的 轨迹 E 的 方程； （）经 过点 ? ?02A ， 的 直线 l 与 曲线 E 相 交于点 C ， D ， 并且 35AC AD?， 求直线 l 的 方程 21已知函数 xxf ln)( ? . （ 1）若曲线 1)
9、( ? xaxfxg ） 在点 )2(,2( g 处的切线与直线 012 ? yx 平行，求实数 a 的值； （ 2）若 0?nm ， 求证 2 lnln nmnm nm ? . 22 请考生在 下面 两大题中选定一大题作答。注意：只 能做所选大题内的小题，不得做另一大题内的小题。如果全做，则按所做的第一大题记分。 （ 1） .已知直线 l 的参数方程为12312xtyt? ? ?（ t 为参数），曲线 C 的极坐标方程为2 2 sin( )4?，直线 l 与曲线 C 交于 ,AB两点，与 y 轴交于点 P . （ 1）求 曲线 C 的直角坐标方程； （ 2）求 11PA PB?的值 . 5
10、（ 2） .设函数 ? ? 12f x x x a? ? ? ? （ 1）当 1a? 时，求不等式 ? ? 1fx? 的解集； （ 2）若不等式 ? ? 0fx? ，在 ? ?2,3x? 上恒成立，求 a 的取值范围 参考答案 1 D 2 D 3 C 4 A 5 B 6 A 7 B 8 C 9 B 10 D 11 C 12 D 13 251? 14 ? ?,1? 15 1( , )2? 16 3,22?17解析： （ 1）当 1n? 时，1112a? ， 1 2a? ，当 2n? 时， 2121 1 1 12n na a a? ? ? ?， 21 2 11 1 1 1 ( 1)2n na a
11、a ? ? ? ? ?， -得 1 2 12n na ?， 4分 221na n? ? ( 2)n?.又 1 2a? 满足上式， 221na n? ?. 6分 （ 2） 2 2 1 12 ( )2 1 2 1 2 1 2 1nb n n n n? ? ? ? ? ?， 8分 1 1 1 1 1 1 22 ( 1 ) ( ) ( ) 2 ( 1 ) 23 3 5 2 1 2 1 2 1 2 1nS n n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 12分 18 解析：（） 3 1 c o s 2 1 3 1( ) s i n 2 s i n 2 c o s 2 1 s i
12、n ( 2 ) 12 2 2 2 2 6xf x x x x x ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 2分 5 , 12 12x ? ， 223 6 3x? ? ? ? ? ?， 3 sin(2 ) 126x ? ? ? ?， 4分 当 sin(2 ) 16x ?时，即 2 62x ?，得 3x ? ， ()fx取得最大值 0 ； 5分 当 3sin(2 )62x ? ? ?，即 2 63x ? ? ， 得 12x ? ， ()fx取得最小值 3 12?。 6分 （） 向量 1 (1,sin )nA? 与向量 2 (2,sin )nB? 平行， 所以 sin 2sinBA? ，根据正弦定理的
13、推论，得 2ba? ， 8分 1a? ， 2b? ，由余弦定理 2 1 4 2 1 2 c o s 5 4 c o sc C C? ? ? ? ? ? ?， 10 分 0 2C ?， 0 cos 1C?， 215c?， 15c? ， *cN? ， 2c? ，经检验符合三角形要求， c 的值为 2 . 12分 19解析：（ 1）连结 BD 和 AC 交于 O ，连结 OF ， 1分 ABCD 为正方形， ?O 为 BD 中点， F? 为 DE 中点， BEOF/? ， 4分 BE? 平面 ACF ， OF? 平面 ACF /BE? 平面 ACF 5分 （ 2）作 EG AD? 于 G ?AE?
14、平面 CDE ， ?CD 平面 CDE ， CDAE? ， ABCD 为正方形， CD AD?， ,A E A D A A D A E?平面 DAE ， ?CD 平面 DAE ， 7分 CD EG?， AD CD D? ， EG?平面 ABCD 8分 ?AE? 平面 CDE ， DE? 平面 CDE ， AE DE?， 2AE DE?， 22AD? ， 2EG? 10 分 ?四棱锥 ABCDE? 的体积 21 1 8 2( 2 2 ) 23 3 3A B C DV S E G? ? ? ? ? ? 12 分 20解析：（）设 ? ?Px y， 为 所求曲线上任意一点，并且 P 与 M 相 切于
15、点 B ， 则4P M P N P M P B? ? ? ? 所 以点 P 的 轨迹方程为 2 2 14x y?； 4分 （）经 检验， 当直线 lx? 轴 时，题目条件 不成立，所 以直线 l 存在 斜率，设直线:2l y kx? 设 ? ?11C x y， ， ? ?22D x y， ， 则 OACBDEFG? ?2 2 221 1 4 1 6 1 2 04 2x y k x k xy k x? ? ? ? ? ? ? ?， 6分 ? ? ? ?2 21 6 4 1 4 1 2 0kk? ? ? ? ? ?， 得 2 34k? 12 21614kxx k? ? ? ? ，12 21214x
16、x k? ? ， 8分 又 由 35AC AD?， 得1235xx?， 将 它代入 ， 得 2 1k? ， 1k? （ 满足 2 34k?） ， 10 分 所 以直线 l 的 斜率为 1k? ， 所以直线 l 的 方程为 2yx? ? 12分 21解析：（ 1） 1ln( ? xaxxg ） ， 21( xaxxg ?）. 曲线 1)( ? xaxfxg ） 在点 )2(,2( g 处的切线与直线 012 ? yx 平行， 214212( ? ag ） ， 4?a . 4分 （ 2） 0?nm ， 1?nm ， 要证 2 lnln nmnm nm ? ，即证nmnmnmln1)1(2? 6分 令 )1( ? xxnm ， )1(1 )1(2ln)( ? xxxxxh 8分 由（ 2）知， )1(1 )1(2ln)( ? xxxxx
