1、 1 2017-2018 学年高三（上）第一次月考 数学试卷（文科） 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.若集合 2,0,1,3A? ， 1,1,3B? ，则 AB 元素的个数为（ ） A. 2 B. 4 C.5 D.7 2.复数 41 iz i? ?的共轭复数的虚部为（ ） A 52i?B 52?C 52iD 52 3.已知向量 ab， 的夹角为 6? ，且 | | 3a? ， (2 3 ) 9a a b? ,则 |b? （ ） A. 2 B.3 C.4 D.23 4.在
2、等差数列 na 中， 5 9a? ，且 3226aa?，则 1a? （ ） A -3 B -2 C. 0 D 1 5. 设 2 3 10ab?，则 12ab?（ ） A lg6 B lg12 C. lg18 D lg32 6.已知函数 ( ) 2xfx? 32 ( )2xa x x R? ? ，则“ ( 1) (1)ff? ”是“ ()fx是奇函数”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.若 sin cos 4sin 5 cos? ? ，则 cos2? （ ） A 2425? B 725? C. 2425 D 725 8.已知变量 xy，
3、满足约束条件 2 3 6 0,2 5 10 0,6 0,xyxyx? ? ? ? ?，则目标函数 z x y? 的最大值为（ ） A 12 B 525 C. 465 D 2 2 9.已知定义在 (0, )? 的函数 ()fx的图象如图所示，则函数 0.3( ) log ( )g x f x? 的单调递减区间为（ ） A ()ab， B (1 ) (3 )a ?， ， ， C.(,2)a D (0, )a ,(, )b? 10.将函数 2( ) 2 sin (2 )6f x x ?的图象向右平移 6? 个单位后，得到新函数图象的对称轴方程为（ ） A ()4 24kx k Z? ? ? B ()
4、4 12kx k Z? ? ? C. ()4 12kx k Z? ? ? D ()4 24kx k Z? ? ? 11. 设 nS 为数列 na 的前 n 项和， 1 1a? ， 1 2nnaS? ? ， 则数列 1na的前 20 项和为（ ） A.19312 2 3? ?B.19714 4 3? ?C.18312 2 3? ?D.18714 4 3? ?12.已知函数 ( ) 1 lng x x x? ? ? ，给出下列两个命题： 命题 : (0, )px? ? ?， 2 4 4 ( )x x g x? ? ? . 命题 :q 若 ( 2) ( )a x g x? 对 (0, )x? ? 恒
5、成立，则 0a? . 那么，下列命题为真命题的是（ ） A.pq? B.()pq? C. ()pq? D.( ) ( )pq? ? ? 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.记函数 29yx?， 2ln( 6)y x x? ? ?的定义域分别为 AB， ，则 AB? 3 14.已知向量 ( , 2)m x x?与向量 (1,3 )nx? 是共线向量，则 |n? 15.若 25sin 3 cos5?， ( , )36? ， tan( ) 43? ?，则tan( )? 16.在 Rt ABC? 中， AC BC? ， 3BC? ， 5AB?
6、， 点 DE、 分别在 AC AB、 边上，且/DE BC ，沿着 DE 将 ADE? 折起至 ADE? 的位置，使得平面 ADE?平面 BCDE ，其中点 A 为点 A 翻 折后对应的点，则当四棱锥 A BCDE? 的体积取得最大值时， AD 的长为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17.在 ABC? 中，角 A B C， ， 的对边分别是 a b c， ， ，且 2 sinb a B? ， tan 0A? . （ 1）求角 A 的大小； （ 2）若 1b? ， 23c? ， ABC? 的面积为 S ，求 aS . 18. 已知
7、函数 ( ) 2 sin( )4f x x ?. （ 1）若 3 10()45fa ?， ( ,0)2a ? ，求 sin( )4a ? 的值； （ 2）设函数 ( ) (3 )g x f x? ，求 ()gx 的递减区间 . 19. 在 ABC? 中，角 A B C， ， 的对边分别是 a b c， ， ，已知 4 c o s 3 (c o s c o s )a A B b C?. （ 1）证明： 2 2 2 32b c a bc? ? ? ； （ 2）若 6AB AC ? ，求 a 的最小值 . 20. 已知正项数列 1na ? 是公差为 2 的等差数列，且 24 是 2a 与 3a 的等
8、比中项 . （ 1）求数列 na 的通项公式； （ 2）若 ( 1) 1nnba?，求数列 nb 的前 n 项和 nS . 21. 设函数 2( ) ( 1) lnx a x x? ? ? ?，其中 aR? . （ 1）讨论函数 ()x? 的单调性； （ 2）若关于 x 的方程 ( ) 0xa? ?在 1, xe? 上有解，求 a 的取值范围 . 4 22. 已知函数 3( ) ln ( , )f x x m x n m n R? ? ? ?的图象在点 (1, (1)f 处的切线方程为12y? . （ 1）若 ()fx在 ( , 1)aa? 上是单调函数，求 a 的取值范围； （ 2）证明：当
9、 0x? 时， 32( ) 3 (3 ) xf x x x x e? ? ? ? ?. 5 2017-2018 学年高三（上）第一次月考 数学试卷参考答案（文科） 一、选择题 1-5:CDAAC 6-10: CAABC 11、 12： DB 二、填空题 13. 3, 2)? ( 或 3 2)xx? ? ? ? 14. 5 或 10 15. 76? 16.433三、解答题 17.解：（ 1） 2 sinb a B? ， sin 2 sin sinB A B? ， sin 0? ， 1sin 2A? ， tan 0A? ， A 为锐角， 6A? . （ 2） 2 2 2 2 cosa b c bc
10、 A? ? ? 31 1 2 4 3 72? ? ? ? ?， 7a? . 又 13sin22S bc A?， 2 213aS?. 18. 解：（ 1） ( ) 2 sin( )4f x x ?， 3( ) 2 sin( )42f a a? ? ? 102 cos5a?， 5cos5a?， ( ,0)2a ? ， 25sin5a?， sin( )4a ? 2 1 0(sin c o s )2 1 0aa? ? ?. （ 2） ( ) 2 sin(3 )4g x x ?. 令 33 2 , 2 4 2 2x k k? ? ? ? ? ?()k Z x? ? ? 2 2 7 , ( )3 4 3
11、1 2kk kZ? ? ? ? ? ?， 故函数 ()gx 的递减区间 为 2 2 7 , ( )3 4 3 1 2kk kZ? ? ? ? ? ?. 19.解：（ 1）证明：由 4 c o s 3 ( c o s c o s )a A c B b C?及正弦定理得， 6 4sin cosAA 3 (sin c o s sin c o s )C B B C?3sin( )BC? ? ?3sinA ， 又 sin 0A? ， 3cos 4A? ， 2 2 2 324b c abc? ?，即 2 2 2 32b c a bc? ? ? . （ 2） 解： co s 6A B A C bc A?，
12、8bc? ， 由余弦定理得 2 2 2 2 cosa b c bc A? ? ? 32 2bc bc? 1 42bc?， 2a? ， a 的最小值为 2. 20.解：（ 1）数列 1na ? 是公差为 2 的等差数列， 1na? 1 1 2( 1)an? ? ? ?， 21(2 2)na n a? ? ?， 221(2 )aa? ， 231(4 )aa? . 又 24 是 2a 与 3a 的等比中项， 2 2 22 3 1 1( 2 ) ( 4 ) 2 4a a a a? ? ? ?，11(2 )( 4 ) 2 4aa? ? ? 解得 1 2a? ( 1 8a ? 不合舍去 )， 故数列 na
13、 的通项公式为 24nan? . （ 2） ( 1) 1nnba?，2111 4 1n nb an? 1(2 1)(2 1)nn ?1 1 1()2 2 1 2 1nn?， 1 1 1 1(12 3 3 5nS ? ? ? ? 11 )2 1 2 1nn? ? ?11(1 )2 2 1 2 1nnn? ? ?. 21.解：（ 1） 1( ) 2x ax x? ? 221( 0)ax xx ?， 当 0a? 时， ( ) 0x? ? ，函数 ()x? 在 (0, )? 上单调递减 . 当 0a? 时，由 ( ) 0x? ? ，解得 12x a? 或 12x a? （舍）， 当 1(0, )2x
14、a? 时， ( ) 0x? ? ，函数 ()x? 单调递减；当 1( , )2x a? ? 时， ( ) 0x? ? ，函数 ()x? 单调递增 . 7 综上，当 0a? 时， ()x? 在 (0, )? 上单调递减；当 0a? 时， ()x? 在 1(0, )2a 上单调递减，在 1( , )2a ? 上单调递增 . （ 2） 由 ( ) 0xa? ?得2lnxa x?， 设2ln( ) (1 )xg x x ex? ? ?，31 2ln( ) xgx x?， 当 1 xe? 时， ( ) 0gx? ；当 e x e?时， ( ) 0gx? . m ax 1( ) ( ) 2g x g e
15、e?. 又 (1) 0g ? ，21()gee?， 1( ) 0, 2gx e? ， a 的取值范围为 10, 2e . 22. 解：（ 1） 2( ) 3 mf x x x?，则 (1) 3 0fm? ? ?， 3m? ，33 ( 1)( ) ( 0 )xf x xx?， 当 1x? 时， ( ) 0fx? ；当 01x?时， ( ) 0fx? . ()fx在 (0,1) 上递减，在 (1, )? 上递增 . 又 ()fx在 ( , 1)aa? 上是单调函数， 0,11aa? ?或 1a? ，即 0a? 或 1a? ， 0 1, )a? ? . （ 2） 证明：由（ 1）知 min( ) (1) 12f x f?. 设 32( ) 3 ( 3 ) ( 0 )xh x x x x e x? ? ? ? ? ?， 则 2( ) 3 6 ( 2 ) xh x x x x e? ? ? ? ?(2 )( 3 )xx e x? ? ? ， 令 ( ) 0hx? 得 02x? ；令 ( ) 0hx? 得 2x? . 2m ax( ) (2) 4h x h e? ? ?. 2.8e? ， 2 8e? ， 2 4 12e ? ， min max( ) ( )f x h x? ， 32( ) 3 (3 ) xf x x x x e? ? ? ? ?.
