1、 1 2017-2018 学年高三（上）第一次月考 数学试卷（理科） 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.复数 41 iz i? ?的共轭复数的虚部为（ ） A 52i?B 52?C 52iD 522.已知全集 | 0 8U x Z x? ? ? ?，集合 | 2 ( 2 8 )A x Z x m m? ? ? ? ? ?，若 UCA的元素的个数为 4，则 m 的取值范围为（ ） A (6,7 B 6,7) C 6,7 D (6,7) 3.已知函数 ( ) lgf x x?
2、 ，则“ 1a? ”是“ ( ) 1fa? ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4.在等差数列 na 中， 5 9a? ，且 3226aa?，则 1a? （ ） A -3 B -2 C. 0 D 1 5.下列函数中，在 1,1? 上与函数 cosyx? 的单调性和奇偶性都相同的是（ ） A 22xxy ? B | | 1yx? C. 2( 2)y x x? D 2 2yx? ? 6.若 sin cos 4sin 5 cos? ? ， 则 cos2? （ ） A 2425? B 725? C. 2425 D 725 7.已知变量 xy， 满足约束条
3、件 2 3 6 0,2 5 10 0,6 0,xyxyx? ? ? ? ?，则目标函数 z x y? 的最大值为（ ） A 12 B 525 C. 465 D 2 8.已知定义在 (0, )? 的函数 ()fx的图象如图所示，则函数 0.3( ) log ( )g x f x? 的单调递减区间为（ ） 2 A ()ab， B (1 ) (3 )a ?， ， ， C.(,2)a D (0, )a ,(, )b? 9.将函数 2( ) 2 sin (2 )6f x x ?的图象 向右平移 6? 个单位后，得到新函数图象的对称轴方程为（ ） A ()4 24kx k Z? ? ? B ()4 12k
4、x k Z? ? ? C. ()4 12kx k Z? ? ? D ()4 24kx k Z? ? ? 10.在 ABC? 中， D 为 BC 边上一点，且 AD BC? ，向量 AB AC? 与向量 AD 共线，若| | 10AC? ， | | 2BC? ， 0GA GB GC? ? ?， 则 |ABCG? （ ） A 3 B 5 C.2 D 10211. 已知函数 ( ) 1 lng x x x? ? ? ，给出下列两个命题： 命题 : (0, )px? ? ?， 2 4 4 ( )x x g x? ? ? . 命题 :q 若 ( 2) ( )a x g x? 对 (0, )x? ? 恒成
5、立，则 0a? . 那么，下列命题为真命题的是（ ） A.pq? B.()pq? C. ()pq? D.( ) ( )pq? ? ? 12. 设 nS 为正项数列 na 的前 n 项和， 1 2a? ， 11( 2 1)n n nS S S?3 ( 1)nnSS?，记21nniiTa?则 3 10log (2 1)T ?（ ） A 10 B 11 C.20 D 21 3 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.记函数 29yx?， 2ln( 6)y x x? ? ?的定义域分别为 AB， ，则 AB? 14.已知向量 ( , 2)m x x
6、?与向量 (1,3 )nx? 是共线向量，则 |n? 15.若 25sin 3 cos5?， ( , )36? ， tan( ) 43? ?，则tan( )? 16.在 Rt ABC? 中， AC BC? ， 3BC? ， 5AB? ， 点 DE、 分别在 AC AB、 边上，且/DE BC ，沿着 DE 将 ADE? 折起至 ADE? 的位置，使得平面 ADE?平面 BCDE ，其中点 A 为点 A 翻 折后对应的点，则当四棱锥 A BCDE? 的体积取得最大值时 ， AD 的长为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17.在 AB
7、C? 中，角 A B C， ， 的对边分别是 a b c， ， ，且 2 sinb a B? ， tan 0A? . （ 1）求角 A 的大小； （ 2）若 1b? ， 23c? ， ABC? 的面积为 S ，求 aS . 18. 在 ABC? 中，角 A B C， ， 的对边分别是 a b c， ， ，已知 4 c o s 3 (c o s c o s )a A B b C?. （ 1）证明： 2 2 2 32b c a bc? ? ? ； （ 2）若 6AB AC ? ，求 a 的最小值 . 19. 已知正项数列 1na ? 是公差为 2 的等差数列，且 24 是 2a 与 3a 的等比中
8、项 . （ 1）求数列的通项公式； （ 2）若 ( 1) 1nnba?，求数列 nb 的前 n 项和 nS . 20. 设函数 2( ) ( 1) lnx a x x? ? ? ?，其中 aR? . （ 1）讨论函数 ()x? 的单调性； （ 2）若关于 x 的方程 ( ) 0xa? ?在 1, xe? 上有解，求 a 的取值范围 . 21. 将函数 sinyx? 的图象的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 14 ，得到函数 ()y f x? 的4 图象 .已知函数 2( ) 2 4g x x? . （ 1）若函数 ( ) ( )p x g x kx?在区间 1,2 上的最大值为 5()24f ?
9、 ，求 k 的值； （ 2）设函数 ( ) ( ) ( )h x f x g x?，证明：对任意 (0, )? ? ，都存在 (0, )? ? ，使得( ) 0hx? 在 ( , )4? 上恒成立 . 22.已知函数 2( ) ( 2 2) xf x x x e? ? ?. （ 1）求曲线 ()y f x? 在点 (0, (0)f 处的切线方程； （ 2）当 0x? 时， 31( ) 43f x x x a? ? ?恒成立，求 a 的最大值； （ 3）设 2( ) ( ) (2 ) xF x xf x x x e? ? ?，若 ()Fx在 5, 2tt? 的值域为 6(6 6 18) ,0e?
10、 ，求 t的取值范围 .（提示： 6 2.4? ， 6 11.6e ? ） 5 2017-2018 学年高三（上）第一次月考 数学试卷参考答 案（理科） 一、选择题 1-5: DABAD 6-10: AABCB 11、 12： BC 二、填空题 13. 3, 2)? ( 或 3 2)xx? ? ? ? 14. 5 或 10 15. 76? 16.433三、解答题 17.解：（ 1） 2 sinb a B? ， sin 2 sin sinB A B? ， sin 0? ， 1sin 2A? ， tan 0A? ， A 为锐角， 6A? . （ 2） 2 2 2 2 cosa b c bc A?
11、? ? 31 1 2 4 3 72? ? ? ? ?， 7a? . 又 13sin22S bc A?， 2 213aS?. 18. 解：（ 1）证明：由 4 c o s 3 ( c o s c o s )a A c B b C?及正弦定理得， 4sin cosAA 3 (sin c o s sin c o s )C B B C?3sin( )BC? ? ?3sinA ， 又 sin 0A? ， 3cos 4A? ， 2 2 2 324b c abc? ?，即 2 2 2 32b c a bc? ? ? . （ 2） 解： co s 6A B A C bc A?， 8bc? ， 由余弦定理得 2
12、 2 2 2 cosa b c bc A? ? ? 32 2bc bc? 1 42bc?， 2a? ， a 的最小值为 2. 19. 解：（ 1） 1na ? 数列是公差为 2 的等差数列， 1na? 1 1 2( 1)an? ? ? ?， 21(2 2)na n a? ? ?， 221(2 )aa? ， 231(4 )aa? . 又 24 是 2a 与 3a 的等比中项， 2 2 22 3 1 1( 2 ) ( 4 ) 2 4a a a a? ? ? ?，6 11(2 )( 4 ) 2 4aa? ? ? 解得 1 2a? ( 1 8a ? 不合舍去 )， 故数列 na 的通项公式为 24na
13、n? . （ 2） ( 1) 1nnba?，2111 4 1n nb an? 1(2 1)(2 1)nn ?1 1 1()2 2 1 2 1nn?， 1 1 1 1(12 3 3 5nS ? ? ? ? 11 )2 1 2 1nn? ? ?11(1 )2 2 1 2 1nnn? ? ?. 20. 解：（ 1） 1( ) 2x ax x? ? 221( 0)ax xx ?， 当 0a? 时， ( ) 0x? ? ，函数 ()x? 在 (0, )? 上单调递减 . 当 0a? 时，由 ( ) 0x? ? ，解得 12x a? 或 12x a? （舍）， 当 1(0, )2x a? 时， ( ) 0
14、x? ? ，函数 ()x? 单调递减；当 1( , )2x a? ? 时， ( ) 0x? ? ，函数 ()x? 单调递增 . 综上，当 0a? 时， ()x? 在 (0, )? 上单调递减；当 0a? 时， ()x? 在 1(0, )2a 上单调递减，在 1( , )2a ? 上单调递增 . （ 2） 由 ( ) 0xa? ?得2lnxa x?， 设2ln( ) (1 )xg x x ex? ? ?，31 2ln( ) xgx x?， 当 1 xe? 时， ( ) 0gx? ；当 e x e?时， ( ) 0gx? . m ax 1( ) ( ) 2g x g e e?. 又 (1) 0g
15、? ，21()gee?， 1( ) 0, 2gx e? ， a 的取值范围为 10, 2e . 21. 解：（ 1）由题可得 ( ) sin4f x x? ， 5 5 1( ) sin24 6 2f ?. 2( ) 2 4p x x kx? ? ?， 224( ) 28 16kkx? ? ? ? ?， 1,2x? ， 7 当 128k?即 8 16k? 时，max( ) ( ) 28kp x p?2 116 2k?，此方程无实数解 . 当 28k? 即 16k? 时，m a x 1( ) ( 2 ) 2 1 4 2p x p k? ? ? ?， 294k? ，又 16k? ，则 294k? 不
16、合题意 . 当 18k? 即 8k? 时，m a x 1( ) (1) 2 2p x p k? ? ? ?， 52k? . 综上， 52k? . （ 2） ()y gx? 在 (0, )4? 上递减， ()y f x? 在 (0, )8? 上递增，在 ( , )84? 上递减， 且 (0) (0)fg? ， ( ) ( )44fg? ， ()y f x? 与 ()y gx? 的图象只有一个交点 . 设这个交点的横坐标为0 (0, )4x ?， 则由图可知，当 0(0, )xx? 时， ( ) ( )f x g x? ， ( ) 0hx? ；当0( , )4xx?时， ( ) ( )f x g
17、x? ， ( ) 0hx? . 故对任意 (0, )? ? ，都存在 0 (0, )x? ? ? ?，使得 ( ) 0hx? 在 ( , )4? 上恒成立 . 22. 解：（ 1） 2( ) ( 4) xf x x e?， (0) 4f ? ，又 (0) 2f ? ， 所求切线方程为 24yx? ? ，即 42yx? ? . （ 2） 当 0x? 时， 31( ) 43f x x x a? ? ?，即 31( ) 43a f x x x? ? ?恒成立， 设 31( ) ( ) 4 ( 0 )3g x f x x x x? ? ? ?， 22( ) ( 4 ) 4xg x x e x? ? ?
18、 ?2( 4)( 1)xxe? ? ?， 当 02x? 时， ( ) 0gx? ， ()gx 递减；当 2x? 时， ( ) 0gx? ， ()gx 递增 . 2m in 16( ) (2 ) 2 3g x g e? ? ? ?， 8 2 162 3ae? ? ， a 的最大值为 2 162 3e?. （ 3） 32( ) ( 3 ) xF x x x e? ， 3( ) ( 6 ) xF x x x e?， 令 ( ) 0Fx? 得 6x? 或 06x? ； 令 ( ) 0Fx? 得 60x? ? ? 或 6x? . 当 6x? 时， ()fx取得极小值，当 0x? 时， ()fx取得极大值 . 6( 6 ) 6 ( 6 3 )Fe? ? ? ?, 6( 6 ( 6 1 8 )Fe?, ( 6 ) ( 6 ) 0FF? ? ?. 令 ( ) 0Fx? 得 0x? 或 3x? . 0.562tt? ?或 5 326tt? ?， 51 6 ,0 22t? .
