1、 1 河南省南阳市 2018 届高三数学上学期第三次考试试题 理 第 卷（选择题 共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.已知集合 ? ? ? ? ?2 2| 2 3 0 , | lo g 1 2A x x x B x x? ? ? ? ? ? ?，则 ? ?RC A B?I （ ） A ? ?1,3 B ? ?1,3? C ? ?3,5 D ? ?1,5? 2.命题“若 220xy?，则 0xy?” 的否命题为（ ） A若 220xy?，则 0x? 且 0y? B若 220xy?，则
2、 0x? 或 0y? C若 220xy?，则 0x? 且 0y? D若 220xy?，则 0x? 且 0y? 3.函数 ? ? ? ? 2ln 1f x x x? ? ?的零点所在的大致区间是（ ） A ? ?0,1 B ? ?1,2 C ? ?2,e D ? ?3,4 4.函数 ? ? ? ?22 2 , 1lo g 1 , 1x xfx xx? ? ? ?，则 52ff?（ ） A 12? B -1 C. -5 D 12 5.下列四个结论，其中正确结论的个数是（ ） 命题“ , ln 0x R x x? ? ? ?” 的否定是 “ 0 0 0, ln 0x R x x? ? ? ?” ；
3、命题“若 sin 0xx?，则 0x? ” 的逆否命题为 “ 若 0x? ，则 sin 0xx?” ； “命题 pq? 为真 ” 是 “ 命题 pq? 为真 ” 的充分不必要条件； 若 0x? ，则 sinxx? 恒成立 . A 4 个 B 3 个 C. 2 个 D 1 个 6.函数 ? ? ? ?cosf x x?的部分图象如图所示，则 ?fx的单调递减区间为（ ） A 13,44k k k Z? ? ?B 132 , 2 ,44k k k Z? ? ?2 C. 13,44k k k Z? ? ?D 132 , 2 ,44k k k Z? ? ?7.若 1201ln 2 , 5 , s in
4、4a b c x d x? ? ? ?，则 ,abc的大小关系（ ） A abc? B bac? C. c b a? D b c a? 8.已知 1sin cos63? ? ? ?，则 cos 23?（ ） A 518 B 518? C. 79 D 79? 9. 已知函数 ? ? ? ? ? ?2 1s in , 02f x x? ? ?的周期为 ? ，若将其图象沿 x 轴向右平移 a 个单位 ? ?0a? ；所得图象关于原点对称，则实数 a 的最小值为（ ） A ? B 34? C. 2? D 4? 10.设正实数 ,xy满足 1,12xy?，不等式 2241 2 1xy myx?恒成立，则
5、 m 的最大值为（ ） A 22 B 42 C. 8 D 16 11.已知函数 ? ? lnf x x x x? ，若 kZ? ，且 ? ? ? ?1k x f x? 对任意的 1x? 恒成立，则 k的最大值为（ ） A 2 B 3 C. 4 D 5 12.关于函数 ? ? 2 lnf x xx? ，下列说法错误的是（ ） A 2x? 是 ?fx的极小值点 B函数 ? ?y f x x?有且只有 1 个零点 C.存在正实数 k ，使得 ? ?f x kx? 恒成立 D对任意 两个正实数 12,xx，且 21xx? ，若 ? ? ? ?12f x f x? ，则 124xx? 第 卷（非选择 题
6、 共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上 13.函数 ? ? ? ?0 , 0xf x a a a a? ? ? ?的定义域 和值域都是 ? ?0,1 ，则3 5 48log log65aa? 14.定义在 R 上的奇函数 ?fx满足 ? ? ? ?3 , 2 0 1 4 22f x f x f? ? ? ?，则? ?1f ? 15.若函数 ? ? 1, 0 21, 2 0xxfx x? ? ? ? ? ? ? ?， ? ? ? ? ? ?, 2 , 2g x f x a x x? ? ? ?为偶函数，则实数a? 16.如图所示，已
7、知 ABC? 中， 090C? ， 6, 8,AC BC D?为边 AC 上的一点， K 为 BD上的一点，且 A B C K A D A K D? ? ? ? ?，则 DC? 三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17.已知函数 ? ? ? ? 1c o s s in c o s 2f x x x x? ? ?. （ 1）若 0 2? ，且 2sin 2? ，求 ? ?f ? 的值； （ 2）求函数 ?fx的最小正周期及单调递增区间 . 18. 在 ABC? 中，角 ,ABC 的对边分别为 ,abc，且满足 ? ? ? ?c o s 2 c o sb A c a B? ?
8、 ?. （ 1）求角 B 的 大小； （ 2）若 4b? ， ABC? 的面积为 3 ，求 ABC? 的周长 . 19. 已知 ? ?, , 2m n R f x x m x n? ? ? ? ?. （ 1）求 ?fx的最小值； （ 2）若 ?fx的最小值为 2，求 22 4nm? 的最小值 . 4 20.已知函数 ? ? ? ?2 4 3 , 5 2f x x x a g x m x m? ? ? ? ? ? ?. （ 1）若 ? ?y f x? 在 ? ?11?， 上存在零点，求实数 a 的取值范围； （ 2）当 0a? 时，若对任意的 ? ?1 1,4x? ，总存在 ? ?2 1,4x
9、? ，使 ? ? ? ?12f x g x? ，求实数 m的取值范围 . 21. 已知函数 ? ? ? ? ?2 1 2 lnf x a x x? ? ? ?. （ 1）当 1a? 时，求 ?fx的单调区间； （ 2）若函数 ?fx在 10,2?上无零点，求 a 最小值 . 22. 设函数 ? ? ? ?2 lnf x a x x a R? ? ? ?. （ 1）若 ?fx在点 ? ? ?,e f e 处的切线为 0x ey b? ? ? ，求 ,ab的值； （ 2）求 ?fx的单调区间； （ 3）若 ? ? xg x ax e?，求证：在 0x? 时， ? ? ? ?f x g x? . 试
10、卷答案 一、选择题 1-5:ADBAB 6-10:DDCDC 11、 12： BC 二、填空题 13. 3 14. -2 15. 12? 16. 73 三、解答题 17.解：（ 1） 0 2? ，且 2sin 2? ， 2cos 2? ， ? ? ? ? 1 2 2 2 1 1c o s s i n c o s2 2 2 2 2 2f ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?; （ 2）函数? ? ? ? 21 1 1 1 c o s 2 1c o s s i n c o s s i n c o s c o s s i n 22 2 2 2 2xf x x x x x x x x ? ?
11、 ? ? ? ? ? ? ? 5 ? ?12s in 2 c o s 2 s in 22 2 4x x x ? ? ? ?， ?fx的最小正周期为 22T ? ?；令 2 2 2 ,2 4 2k x k k Z? ? ? ? ? ? ? ?， 解得 3 ,88k x k k Z? ? ? ? ?； ?fx的单调增区间为 3 ,88k k k Z? ? ?. 18.解：（ 1） ? ? ? ?c o s 2 c o sb A c a B? ? ?， ? ? ?co s 2 co sb A c a B? ? ?， 由正弦定理可得： ? ?s in c o s 2 s in s in c o sB
12、A C A B? ? ?， ? ?s in 2 s in c o s s inA B C B C? ? ? ?，又角 C 为 ABC? 内角， sin 0C? ， 1cos 2B? ， 又 ? ?0,B ? ， 23B ? ， （ 2）有 1 sin 32ABCS ac B? ?，得 4ac? ， 又 ? ? 22 2 2 16b a c a a c a c? ? ? ? ? ? ?， 25ac? ，所以 ABC? 的周长为 4 2 5? . 19.解：（ 1）? ?3,23,2x m n x mnf x x m n m xnx m n x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
13、 ?， ?fx在 ,2n?是减函数，在 ,2n?是增函数， 当 2nx? 时， ?fx取最小值22nnfm?； （ 2）由（ 1）知， ?fx的最小值为 2nm? ， 22nm?， 22222 11, , 2 24 2 4 2 4n n nm n R m m m? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?g，当且仅当 2nm? ， 即 1, 2mn?时，取等号 . 2244nm?的最小值为 2. 20.解：（ 1） ? ? 2 43f x x x a? ? ? ?的对称轴是 2x? ， ?fx在区间 ? ?1,1? 上是减函6 数， ?fx在 ? ?1,1? 上存
14、在零点，则必有： ? ? ?1010ff ? ?，即 080aa ? ?， 解得： 80a? ? ? ，故实数 a 的取值范围为 ? ?8,0? ； （ 2）若对任意 ? ?1 1,4x? ，总存在 ? ?2 1,4x ? ，使 ? ? ? ?12f x g x? 成立，只需函数 ? ?y f x?的值域为函数 ? ?y g x? 值域的子集 . 当 0a? 时， ? ? ? ?2 4 3, 1, 4f x x x x? ? ? ?的值域为 ? ?1,3? ，下面求? ? ? ?5 2 , 1, 4g x m x m x? ? ? ?的值域， 当 0m? 时， ? ? 5gx? ，不合题意，故
15、舍； 当 0m? 时， ? ? 52g x mx m? ? ?的值域 为 ? ?5 ,5 2mm?， 只需要 ? ? ? ?1,3 5 ,5 2mm? ? ? ?，即 515 2 3mm? ? ?，解得 6m? ； 当 0m? 时， ? ? 52g x mx m? ? ?的值域 为 ? ?5 2 ,5mm?， 只需要 ? ? ? ?1,3 5 2 ,5mm? ? ? ?，即 5 2 153mm? ? ?，解得 3m? ； 综上实数 m 的取值范围为 ? ? ? ?, 3 6,? ? ? ?. 21.解：（ 1）当 1a? 时， ? ? 1 2 lnf x x x? ? ? ， 则 ? ? 21
16、fx x? ，由 ? ? 0fx? ，得 2x? ，由 ? ? 0fx? ，得 02x?， 故 ?fx的单调减区为 ? ?0,2 ，单调增区间为 ? ?2,? . （ 2）因为 ? ? 0fx? 在区间 10,2?上恒成立不可能， 故要使函数 ?fx在 10,2?上无零点，只要对任意的 10,2x ?， ? ? 0fx? 恒成立，即对1 2 ln0, , 221xxa x? ? ? ? 恒成立，令 ? ? 2 ln 12 , 0 ,12xl x xx ? ? ? ? ?，则7 ? ? ? ?222 ln 2ln1x xlxx? ?，再令 ? ? 212 ln 2 , 0 ,ln 2m x x
17、xx ? ? ? ? ?，则? ? ? ?222122 0xmx x x x? ? ? ? ? ?，故 ?mx在 10,2?上为减函数，于是? ? 1 2 2 ln 2 02m x m ? ? ? ? ，从而 ? ? 0lx? ，于是 ?lx在 10,2?上为增函数，所以? ? 1 2 4 ln 22l x l ? ? ? ，故要使 2ln2 1xa x? 恒成立，只要 ? ?2 4 ln 2,a? ? ?，综上，若函数 ?fx在 10,2?上无零点，则 a 的最小值为 2 4ln2? . 22.解：（ 1） ? ? ? ?2 lnf x a x x a R? ? ? ?， ? ? 11axf
18、 x a xx? ? ? ?， 又 ?fx在点 ? ? ?,e f e 的切线的斜率为 1e ， ? ? 11aefe ee? ?， 2a e? ， 切点为 ? ?,1e? 把切点代入切线方程得： 2be? ； （ 2）由（ 1）知： ? ? ? ?11 0axf x a xxx? ? ? ? ? 当 0a? 时， ? ? 0fx? ? 在 ? ?0,? 上恒成立， ?fx在 ? ?0,? 上是单调减函数 ，当 0a? 时，令 ? ? 0fx? ? ，解得： 1x a? ，当 x 变化 时， ? ? ? ?,f x f x? 随 x 变化 情况如下表：当 10,xa?时， ? ? ? ?0,f x f x? ? 单调减，当1,x a? ?时， ? ? 0fx? ? ，单 ?fx单调增，综上所述：当 0a? 时， ?fx的单调减区间为 ? ?0,? ；当 0a? 时， ?fx的单调减区间为 10,a?，单调增区间为 1,+a?. (3)当 0x? 时，要证 ? ? 0xf x ax e? ? ?，即证 ln 2 0xex? ? ? ，令? ? ? ?ln 2 0xh x e x x? ? ? ?，只需证 ? ? 0hx? ， ? ? 1xh x e x? ?由指数函数及幂函数
