1、 - 1 - 嵩阳高中 2017-2018 学年高三年级上学期第七次阶段检测 理科数学试题 一、选择题（共 12 小题；共 60 分） 1. 已知 是实数集， ， ，则 等于 A. B. C. D. 2. 已知复数 满足 （为虚数单位），则 A. B. C. D. 3. 设， 是实数，则 “ ” 是 “ ” 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知 ， ，则 A. B. C. D. 5. 若向量 ， 满足 ，则 在 方向上投影的最大值是 A. B. C. D. 6. 已 知 函 数 数列 满足 ，且 是单调递增数列，则实数 的取
2、值范围是 A. B. C. D. 7. 设 为 所在平面内一点， ，则 A. B. C. D. 8. 设数列 满足： ， ，且 ，则 的值是 A. B. C. D. - 2 - 9. 若函数 满足：在定义域 内存在实数 ，使得 成立，则称函数 为 “ 的饱和函数 ” 给出下列四个函数： ； ； ； 其中是 “ 的饱和函数 ” 的所有函数的序号为 A. B. C. D. 10. 已知函数 ，下列结论中错误的是 A. 的图象关于点 中心对称 B. 的图象关于 对称 C. 的最大值为 D. 既是奇函数，又是周期函数 11. 已 知定义在 上的函数 满足：函数 的图象关于直线 对称，且当 时， 成立（
3、 是函数 的导函数），若 ， ， ，则， ， 的大小关系是 A. B. C. D. 12. 已知函数 （ ， 为常数），当 时 取得极大值，当 时 取得极小值，则 的取值范围是 A. B. C. D. 二、填空题（共 4 小题；共 20 分） 13. 设曲线 在点 处的切线方程为 ，则 14. 在 中，已知 ，给出下列结论： 由已知条件，这个三角形被唯一确定； 一定是钝角三角形； ； 若 ，则 的面积是 其中正确结论的序号是 - 3 - 15. 设数列 的前 项和为 ，令 ，称 为数列 ， ， 的 “理想数 “，已知数列 ， ， ， 的 “理想数 “为 ，那么数列， ， ? ， 的 “理想数
4、“为 16. 已知 ，若函数 有三个不同的零点 ， ，则 的取值范围是 三、解答题（共 6 小题；共 70 分） 17. 数列 满足 ， ， （ 1）设 ，证明 是等差数列； （ 2）求数列 的通项公式 18. 如图所示，在四边形 中， ，且 ， ， （ 1）求 的面积；（ 2）若 ，求 的长 19. 已知二次函数 满足条件 ， ，且方程 有相等的实数根 （ 1）求函数 的解析式； （ 2）是否存实数 ，使得 的定义域和值域分别为 和 ?如果 存在，求出 ， 的值；如果不存在，请说明理由 20. 的内角， ， 所对的边分别为， ，且 ， （ 1）求 的面积； （ 2）若 ，求 边上的中线 的长
5、 - 4 - 21. 若数列 满足 ， ， ， 为数列 的前 项和 （ 1）当 ， 时，求 ， ， 的值； （ 2）是否存在实数，使得数列 为等比数列 ?若存在，求出， 满足的条件；若不存在，说明理由 22. 已知函数 ， （ 1）求证： ； （ 2）设 ，若 时， ，求实数 的取值范围 - 5 - 嵩阳高中 2016-2017 学年高三上学期第七次周考理科数学答案 第一部分 1. B 【解析】 ，故 2. A 【解析】由题意可得 ，故 3. D 【解析】， 是实数，如果 ， 则 “ ” ，则 “ ” 不成立 如果 ， ， ，但是 不成立， 所以 “ ” 是 “ ” 的既不充分也不必要条件 4
6、. A 【解析】 ； ， 两式相加得 ， 已知 ，代入上式可得 ， 则可知 ， 所以 ， 所以 5. B 6. A 7. A 【解析】 ， ， 因为 ， 所以 ，整理得 8. D 【解析】令 ，则由 ，得 ， 所以数列 构成以 为首项，以 为公差的等差数列，则 ，即 ， 所以 ， 则 9. B 【解析】对于 ，若存在实数 ，满足 ， 则 ，所以 ，（ ，且 ），该方程无实根，因此 不是 “ 的饱和函数 ” ； 对于 ，若存在实数 ，满足 ， - 6 - 则 ，解得 ，因此 是 “ 的饱和函数 ” ； 对于 ，若存在实数 ，满足 ， 则 ， 化简得 ，该方程无实根，因此 不是 “ 的饱和函数 ”
7、 ； 对于 ，注意到 ， ， 即 ，因此是 “ 的饱和函数 ” ； 综上可知，其中是 “ 的饱和函数 ” 的所有函数的序号是 10. C 【解析】 A 项，因为 所以 的图象关于点 中心对称，故正确 B 项，因为 所以 的图象关于直线 对称，故正确 C 项， 令 ，则 ， 的最大值问题转化为求 在 上的最大值 令 ，得 或 ，经计算比较得最大值为 ，故错误 D 项，由 - 7 - 知其为奇函数； 对于任意的，都有 ，所以 是以 为周期的周期函数 ，故正确 11. D 【解析】定义在 上的函数 满足：函数 的图象关于直线 对称，可知函数 是偶函数， 所以 是奇函数， 又因为当 时， 成立（ 是函
8、数 的导函数）， 所以函数 在 上既是奇函数又是减函数； ， ， 所以 12. D 第二部分 13. 14. 【解析】由 ，可设 ， ， （ ），即边长不确定， 不正确 ， 正确 ， 正确 ， ，若 ，不妨设 ， ， ，则 不正确 15. 【解析】根据题意得 ， 所以 所以， ， ， ， 的理想数为 - 8 - 16. 【解析】函数 ，图象如图， 函数 有三个不同的零点 ， ， ，且 ，即方程 有三个不同的实数根 ， ， ，且 ， 当 时， ， 因为 ， 所以 ， 当且仅当 时取得最大值 当 时， ， ， 此时 ， 由 ， 可得 ， 所以 ， ， 所以 ， 所以 ， 因为 ， 所以 的取值范围
9、是 第三部分 17. （ 1） 由 - 9 - 得 即 又 所以 是首项为，公差为 的等差数列 （ 2） 由（ 1）得 即 于是 所以 的通项公式为 18. （ 1） 因为 ， ， 所以 因为 ， 所以 因为 ， ， 所以 的面积 （ 2） 在 中， 所以 因为 ， ， 所以 所以 - 10 - 19. （ 1） 设 ， 因为 ，所以 ， 即 因为 ， 所以函数 的对称轴方程为 ，即 又方程 有相等的实数根，所以在方程 ，即 中 ，解得 所以 ，所以 （ 2） 假设存在实数 ，使得 的定义域和值域分别为 和 因为 ， 所以 ，解得 ， 故 在 上为增函数， 所以 又 ，所以 所以存在实数 ， ，满足题意 20. （ 1） 已知等式 ， 利用正弦定理化简得： ， 整理得： ， 因为 ， 所以 ， 则 又因为 ， 所以 ， 所以解得 ， 所以 （ 2） 因为由 ，可得： ，解得： ， 又因为由（）可得： ，
