1、 - 1 - 湖北省荆州市 2018 届高三数学上学期第五次双周练试题 理 一、选择题： （本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .） 1.已知复数 31iz i? ? （ i 是虚数单位），则复数 z 在复平面上对应的点位于（ ） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 2.已知集合 ? ?2 3 4 0A x x x? ? ? ?，集合 ? ?3B x x?，则 AB? （ ） A ? ?3, 1? B ? ?3,4? C ? ?1,3? D ? ?3,4 3.如图，在一个 60o 的二面角的棱上有两点
2、,AB，线段 ,ACBD 分别在这两个面内，且都垂直于棱 AB ， AB AC a?， 2BD a? ，则 CD 的长为（ ） A 2a B 5a C a D 3a 4.已知双曲线 ? ?2222 1 0, 0yx abab? ? ? ?的离心率为 3 ，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A 2 2 0xy? B 2 2 0xy? C 80xy? D 80xy? 5.已知函数 ? ? ? ?s in 0 , 02f x x ? ? ? ? ? ? ? ?， ? ?02ff?，若将 ?fx的图像向左平移 12? 个单位后所得函数图像关于原点对称，则 ? （ ） A 12? B 6? C 4? D
3、3? 6. 如图是某个几何体的三视图，其中正视图为正方形，俯视图是腰长为 2 的等腰直角三角形，则该几何体外接球的直径为（ ） A 2 B 22 C 3 D 23 - 2 - 第 3 题图 第 6 题图 7.若存在正常数 ,ab，使得对任意的实数 x ，都有 ? ? ? ?f x a f x b? ? ?，则称 ?fx为 R 上的 “ 限增函数 ”. 给出下列函数：（ 1） ? ? 2 1f x x x? ? ?；（ 2） ? ?f x x? ；（ 3）? ? ? ?2sinf x x? ，其中 “ 限增函数 ” 是（ ） A （ 1）（ 2）（ 3） B （ 2）（ 3） C （ 1）（ 3
4、） D （ 3） 8.已知数列 ?na 满足：111, 2nn naaa a?， ? ?1131, 2 12 n nb b n a? ? ? ? ? ?，若数列 ?nb是递增数列，则实数 ? 的取值范围是（ ） A 4,5? B ? ?,1? C 3,2? D 2,3? 9.已知 2 5 03 5 030xyxykx y k? ? ? ? ? ? ?，若 1 3z x y?的最小值是 a ， 2 7z x y? 的最大值是 b ，且 7ab? ，则 k 的值是（ ） A 1 B 1? C 2? D 2 10.已知 ,mn为非零向量， 22m m n? ? ?，则 2n m n?的最大值是（ ）
5、 A 42 B 33 C 732 D 833 11.设 ,AB是抛物线 ? ?2 20y px p?上的两点， O 为坐标原点，已知 OA OB? ， OD AB?于 D ，点 D 的坐标为 ? ?1,3 ，则实数 p 的值为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 12.已知 1 2 1 2, , , , ,a a b b a b是实数， 0a? ，设 ? ? ? ? ? ?1 2 1 2, , , , 1 , 3m a a n b b p? ? ? ?，? ? ? ?1 1 2 2, , ,q a b r a b?，若 2m n p?， ? ?,q r a b? ，且 40ab? ? ? ，
6、则 ba 的取值范围是（ ） - 3 - A 1, 5? B 11,25? C 1,5? ? D 1,2? ? 二、填空题： （本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分 .只需要填写演算结果） 13.设圆 05422 ? xyx 的弦 AB 的中点为 ? ?3,1P ，则直线 AB 的方程 _. 14.已知 ,ABC 是曲线 11y x? ? 上不同三点， ,DEF 分别是线段 ,BC CA AB 的中点，则过,DEF 的圆一定过定点 . 15.已知两个正数 ,ab，可按规则 c ab a b? ? ? 扩充一个新数 c ，在 ,abc三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新
7、数，依次下去，每扩充一次得到一个新数称为一个操作 .若 0pq?，经过 6 次操作后扩充得到的数是 ? ? ? ? ? ?1 1 1 ,mnq p m n N ? ? ? ?，则 mn? 的值 是 . 16.已知函数 ? ? ln 2xf x e a x ex? ? ?恰有两个极值点，则实数 a 的取值范围是 . 三、解答题： （本大题共有 6 个小题，共 70 分，要求写出详细的演算步骤及解题过程） 17.（ 12 分）在 ABC? 中， ,abc分别是角 ,ABC 的对边，且 2 2 2b c a bc? ? ? （ 1）求角 A 的大小； （ 2）设 ? ? 23 s in c o s
8、c o s2 2 2x x xfx ?， 2a? ，若当 xB? 时，函数 ?fx取最大值，求ABC? 的面积 . 18.（ 12 分）已知数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，常数 0? ，且对于任意的正整数 n ，都有11nnaa S S? ?. （ 1）求数列 ?na 的通项公式； （ 2）设 1 0, 100a ?，当 n 为何值时，数列 1lgna?的前 n 项和 nT 最大？ - 4 - 19.（ 12 分）如图，在三棱锥 P ABC? 中， 2PA? ，底面 ABC? 为边长为 2 的正三角形，点P 在平 面 ABC 上 的 射 影 为 D ，且,1AD BD BD?. （ 1
9、）求证： AC 平面 PDB ； （ 2）求二面角 P AB C?的余弦值； （ 3）线段 PC 上是否存在点 E ，使得 PC? 平面ABE ？若存在，求出 CECP 的值；若不存在，请说明理由 . 20.（ 12 分）已知椭圆 ? ?22: 1 0xyC a bab? ? ? ?的离心率为 22 ，左焦点 ? ?1 1,0F ? ，过点? ?0,2D 且斜率为 k 的直线 l 交椭圆 C 于 ,AB两点 . （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）求实数 k 的取值范围； （ 3）在 y 轴上是否存在定点 E ，使得 AEBE? 恒为定值？若存在， 求出 E 的坐标；若不存在，请说明理由 .
10、 21.（ 12 分）已知 m 是实数，设函数 ? ? ? ?1 1xF x e x x? ? ?， ? ? ? ?ln 1 0G x x x x? ? ? ?，? ? ? ?ln 1xf x e e x m x x? ? ? ?. （ 1）求函数 ?Fx的最小值； （ 2）求函数 ?Gx的最大值； （ 3）若存在实数 ? ?0 1,x ? ? ，使得 ? ?0 0fx? ，求实数 m 的取值范围 . - 5 - 选做题，从 22 或 23 题选一题作答，共 10 分 22. 以 原 点 O 为极点， x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 直 线 l 的方程为2s i
11、n 33? ? ?， C 的方程为 4 cos 2 sin? ? ?. （ 1）求直线 l 与 C 的普通方程； （ 2）若直线 l 与 C 相交于 ,AB两点，求线段 AB 的长度 . 23.若关于 x 的不等式 2 1 1x x a? ? ? ? ?对任意实数 x 都成立，求实数 a 的取值范围 . - 6 - 荆州中学 2018 届高三第四次双周考试卷数学（理）参考答案 一 .选择题答案： BCAAB； DBAAB； DB 二 .填空题答案： 13. 40xy? ? ? ； 14.? ?1,0 ； 15.21 ； 16.? ?0,e 17.（ 1）在 ABC? 中，由 2 2 2b c
12、a bc? ? ? 可知 1cos 2A?，由 0 A ?可知 3A ? （ 2） ? ? 1 c o s 13 s i n c o s s i n2 2 2 6 2x x xf x x ? ? ? ? ? ?由 3A ? 知 20 3B ? ，从而 56 6 6B? ? ? ? ? 当 xB? 时， ?fx取得最大值 ? ? 13s in6 2 2f B B ? ? ? ?， 此时， 62B ?，即 3B ? ，于是 ABC? 为正三角形 而 2a? ，所以， ABC? 的面积为 23 234 ? 18.解：（ 1） 18.解（ 1）由 1n? 可知 2112aa? ? .当 1 0a? 时
13、， 0na? ；当 1 0a? 时，1 2a ?由 11nna a S S? ?可知 1 1 1 1nna a S S? ?， 两式相减可得 1 2nnaa? ? 所以， ?na 成等比数列，从而其通项公式为 12122nnna ? ? ? ?综上所述，当 1 0a? 时，数列 ?na 的通项公式为 0na?；当 1 0a? 时， ?na 的通项公式为1 2nna ? （ 3） 当 1 0a? 时， 1 2100 nna ?，令 1lg 2 lg 2n nbna? ? ? ，故数列 ?na 是递减的等差数列，公差是 lg2? 所以，1 2 3 4 5 6 61 0 0 1 0 0lg lg 0
14、2 6 4b b b b b b? ? ? ? ? ? ? ? ，当 7n? 时，7 7100 100lg lg 02 128b ? ? ?所以，数列 ?nb 的前 6 项和最大，即数列 1lgna?的前 6 项和最大 19. 解（ 1）由 AD DB? ，且 1, 2DB AB?可知 3AD? ， 60oDBA? 由 ABC? 为正三角形知 60oCAB?，且 , , ,ABCD 共面，所以， DB AC . - 7 - 而 DB? 面 PBD ， AC? 面 PBD ， 所以， AC 面 PBD （ 2） 由点 P 在平面 ABC 上的射影为 D 可知 PD? 面 ABC ，从而 ,PD
15、DA PD DB? 又 DA DB? ，故可以以 D 为原点， ,DB DA DP 分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系 于是 ? ? ? ? ? ? ? ?1 , 0 , 0 , 0 , 3 , 0 , 0 , 0 , 1 , 2 , 3 , 0B A P C， 且 ? ?0,0,1n? 是平面 ABC 的一个法向量 设 ? ?,m x y z? 是平面 PAB 的一个法向量，所以 ,m BA m BP? 由 ? ? ? ?1, 3 , 0 , 1, 0 ,1B A B P? ? ? ?及 0, 0m BA m BP? ? ? ?知 300xyxz? ? ? ? ?令 1y
16、? 得 3xz? ， 所以， ? ?3,1, 3m? 是平面 PAB 的一个法向量 于是， 3 2 1c o s ,771mnmn mn? ? ? ? ?又二面角 P AB C?钝二面角，所以， 二面角 P AB C?的余弦值为 217? （ 3） 由（ 2 ）知 ? ? ? ?1 , 3 , 0 , 2 , 3 , 1A B P C? ? ? ?， 而? ? ? ?1 , 3 , 0 2 , 3 , 1 2 3 0A B P C? ? ? ? ? ? ? ? 所以， PC 与 AB 不垂直，从而线段 PC 上不存在点 E ，使得 PC? 平面 ABE 20.解 （ 1）依题意有 221cac
17、? ?，解得 222, 1ab?， 所以，椭圆的方程为 2 2 12x y? （ 2 ） 设 直 线 l 的方程为 2y kx?由 2 2 122x yy kx? ? ?可知 ? ?221 2 8 6 0k x kx? ? ? ? 由直线 l 交椭圆 C 于 ,AB两点可知 ? ?226 4 2 4 1 2 0kk? ? ? ? ?， 解得 62k? 或 62k? - 8 - 所以， k 的取值范围是 66,22? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（ 3）设 ? ? ? ?1 1 2 2, , ,A x y B x y，则12 2812kxx k? ? ? ?，12 26
18、12xx k? ?故 ? ? ? ? ? ? 221 2 1 2 1 2 1 2 2212 2 2 4 ky y k x k x k x x k x x k ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 2 1 2 242 2 4 21y y k x k x k x x k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 设存在点 ? ?0,Em，则 ? ? ? ?1 1 2 2, , ,A E x m y B E x m y? ? ? ? ? ?， 所以， ? ? ? ? ? ? 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2A E B E x x m y m y x x y y m y y m? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 222 2 4 1 021m k m mk? ? ? ? ? 要使得，对任意的实数 k ， AE BE t?都为定值
