1、 - 1 - 2017-2018 学年上期高三第四次月考理科数学试卷 一 .选择题：（本大题共 12小题，每小题 5分，共计 60分） 1.已知 i为虚数单位，复数 z 满足 2(1 ) (1 )i z i? ? ? ，则 z 的虚部 为（ ） （ A） i （ B） 1 （ C） i? （ D） 1? 2.张丘建算经是我国古代内容极为丰富的数学名著 ， 书中有如下问题： “ 今有女不善织 ，日减功迟 ， 初日织五尺 ， 末日织一尺 ， 今共织九十尺 ， 问织几日？ ” ， 已知 “ 日减功迟 ” 的具体含义是每天比前一天少织同样多的布 ， 则此问题的答案是 ( ) A .10日 B. 20
2、日 C .30日 D .40日 3.已知命题: (0 , ), c os .22p x x x? ? ? ?则有关命题p的真假及p?的论述正确的是 A.假命题 ,0 0 0: ( 0 , ), c os .22p x x x? ? ? ? ?B.真命题 ,0 0 0: , , .C.假命题 ,0 0 0: ( 0 , ), c os .p x x x? ? ?D.真命题 ,0 0 0: , , .? ?4. 若 Sn=1-2+3-4+? +(-1)n-1 n,则 S100=（ ） A.-50 B.50 C.-100 D.5050 5. 在等比数列 an中 ,a3=7,前三项之和 S3=21,则
3、 a4=（ ） A. 27? B.7 C.27 D. 27? 或 7 6.在四边形ABCD中，)2,1(?AC，)2,4(?BD,则该四边形的面积为（ ） A.5B.5 C.5D.10 7.在 ABC 中，角 A 、 B 均为锐角，则 cos sinAB? 是 ABC 为钝角三角形的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8. 下列函数在其定义域上既 是增函数又是奇函数的是 （ ） A. B. C. D. - 2 - 9若 1sin( )63? ?，则 22cos ( ) 162?=（ ） A 13 B 13 C 79 D 79 10.函数 1
4、() 1xfx x? ? ，设 2( ) ( )f x f f x? ， 32( ) ( )f x f f x? ， ? 1( ) ( )nnf x f f x? ? ，（ n为不小于 2的正整数），令集合 )(| 2017 xxfxM ? ，则集合 M为（ ） A空集 B二元素集 C单元素集 D实数集 11 如图，矩形 ABCD中， AB 2， AD 1， P是对角线 AC上一点， AP 25AC ，过点 P的直线分别交 DA 的延长线， AB， DC 于点 M， E， N.若 DM mDA ， DN nDC (m0， n0)，则 3m 2n的最小值是 ( ) A.65 B.125 C.24
5、5 D.5 12 已知函数 f(x) x ex-a， g(x) 12ln(2x 1) 4ea-x，其中 e为自然对数的底数 ， 若存在实数 x0， 使 f(x0) g(x0) 4成立 ， 则实数 a的值为 ( ) (A) ln 2 (B)1 ln 2 (C)ln 2 (D)ln 2 1 二 .填空题：（每小题 5 分，共 4小题，共计 20 分） 13 已 知定积分? ? ? dxxx10 2_ 14 数书九章是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作。其 中在卷五 “ 三斜求积 ” 中提出了已知三角形三边 a.b.c 求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是 “ 以小斜冥并大斜冥减中斜
6、冥，余半之，自乘于上，以小斜冥乘大斜冥减上，余四约之，为实。一为 从 隅 ， 开 平 方 得 积 。 ” 若 把 以 上 这 段 文 字 写 成 公 式 ， 即 若cba ?，则)2(41 222222 bacacS ?， 现 有 周 长 为7210?的ABC?满足Asin:B:csin=2:3:7，则用以上给出的公式求得ABC?的面积为 15.各项都是正数的等比数列 错误！未找到引用源。 的公比 q 1,且 a2,错误！未找到引用源。a3,a1成等差数列 ,则 错误！未找到引用源。 的值为 _. 16.已知函数 )2()( xx aexexf ? 有 两个极值点，则实数 a 的取值范围是 _
7、 三、解答题：（本大题共 6小题，共计 70分） 17. （本小题满分 10分） - 3 - 已知数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，且对任意正整数 n ，都有 3 24nnaS?成立 （）记 2lognnba? ，求数列 ?nb 的通项公式； （）设11nnnc bb?，求数列 ?nc 的前 n 项和 nT 18.（本小题满分 12分） 在 ABC中 ， 角 A， B， C的对边依次为 a， b， c， 满足 acos B bcos A 2ccos C. () 求角 C的大小； () 若 ABC的周长为 3， 求 ABC面积 S的最大值 19. （本小题满分 12 分） 已知函数 )0(
8、3s in32c o ss in2)( 2 ? ? xxxxf 的最小正周期为 ? （ 1） 求函数 f(x)的单调增区间； （ 2） 将函数 f(x)的图象向左平 移 6? 个单位，再向上平移 1个单位，得到函数 y=g(x)的图象求y=g(x)在区间 10,0 ? 上零点的个数 - 4 - 20. （本小题满分 12 分） 已知数列 an的各项满足： a1=1-4k(k R? ）， ),2(43 *11 Nnnaa nnn ? ? （ 1）判断数列 73nna?是否为等比数列； （ 2）若 k=0,求数列 an的通项公式及前 n项和 Sn。 21. （本小题满分 12 分） 对于函数)(x
9、f，若在定义域内存在实数 ,满足),()( xfxf ?则称)(x为 “ 局部奇函数 ” . （ 1） 若mf x ?2)(是定义在区间? ?1,1?上的 “ 局部奇函数 ” ，求实数m的取值范围；（ 2） 若324)( 21 ? ? mmxf xx为 定义域 R 内的 “ 局部奇函数 ” ， 求实数 的取值范围 . - 5 - 22 （本小题满分 12分） 已知函数 ? ? 1ln? x xxxf 与 ? ? )1( ? xaxg . (1)若曲线 ? ?xfy? 与直线 ? ?xgy? 恰好相切于点 ? ?0,1P ，求实数 a 的值； (2)当 ? ? ,1x 时， ? ? ? ?xgx
10、f ? 恒成立，求实数 a 的取值范围； (3)求证： ? ?*1 2 .144)12ln ( Nni in ni ? ?参考答案： 1-6.DCDADB 7-12.CCABDA 12. f(x) g(x) x 21ln(2x 1) ex a 4ea x， 令 h(x) x 21ln(2x 1)， 则 h( x) 12x 11 ， 知 h(x)在 ， 01 上是减函数 ， 在 (0， ) 上是增函数 ， 所以 h(x)min h(0) 0， 又 ex a 4ea x 2 4， 所以 f(x) g(x)4 ， 当且仅当 ex a 4ea x，x 0， 即 x 0， a ln 2， 选 A. 13
11、 14 15. 16. 17.(1) (2) 18.【解析】 ( )因为 acos B bcos A 2ccos C?sin Acos B sin Bcos A 2sin Ccos C， 即 sin(A B) 2sin Ccos C， 而 sin(A B) sin C0， 则 cos C 21， 又 C (0， )， 所以 C 3.(5分 ) ( )由余弦定理得 a2 b2 ab (3 a b)2， 化简得 3 ab 2(a b)， (8分 ) 而 a b 2， 故 3 ab 4， 解得 3或 1.(10 分 ) 若 3， 则 a， b至少有一个不小于 3， 这与 ABC的周长为 3矛盾； 若
12、 1， 则当 a b 1时 ， ab取最大值 1 - 6 - 综上 ， 知 ABC的最大面积值为 Smax (12 分 ) 19. 由题意，可得 函数的最小正周期为 ， ，解之得 由此可得函数的解析式为 令 ，解之得 函数 的单调增区间是 将函数 的图象向左平移个单位，再向上平移 个单位，可得函数 的图象， ，可得 的解析式为 令 ，得 ，可得 或 解之得 或 函数 在每个周期上恰有两个零点， 函数 在 恰好有 个周期， 在 上有 个零点 20. - 7 - 22解析：（ 1） 所以 2分 - 8 - （ 2）方法一 : 时， 记 ,则 ,又记 ( ) 时 , 时 , , 不恒成立 . ( )
13、 时 , 在 递增 , , 不恒成立 . ( ) 时 , 在 递减 , , 恒成立 . 综上所述 , 实数 的取值范围为 : ? 8分 方法二：（先找必要条件） 注意到 时，恰有 4分 令 则 5分 在 恒成立的必要条件为 即 6分 下面证明：当 时， - 9 - 令 即 在 递减， 恒成立，即 也是充分条件，故有 . 8分 方法三：（分参） 即 时， ， 时，显然成立； 3分 时，即 4分 令 ，则 令 6分 即 在 上单调递减 故 8分 （ 3）不妨设 为 前 项和，则 要证原不等式，只需证 9分 而由（ 2）知：当 时恒有 - 10 - 即 当且仅当 时取等号 取 ，则 10分 即 即 即 成立，从而原不等式获证 . 12分
