1、 - 1 - 2017 年下学期高三第 2 次月考试题 理科数学卷 考试范围：集合至平面向量线性运算占 60%，其他占 40%.满分 150 分 时量 120 分钟 一、选择题（本大题共 12 个小题 ,每个小题 5 分 ,满分 60 分 .每个小题的四个选项中 ,只有一项符合要求） 1.已知集合 2 | 2 0,A x x x Z? ? ? ?是整数集 ,则 AZ? A. 1? B. 1 C. 1,0? D. 0,1 2.若复数 1 ()iz a Rai? 为纯虚数 ,则 z 的值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 2 3.在 ABC? 中 ,已知 (1, 3 ), ( 3 ,1),B
2、A B C?则角 B 为 A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 4.执行如图所示的程序框图 ,当输入的 x 为 6 时 ,输出的 y 的值为 A. 1 B. 2 C. 5 D. 10 5.已知命题 : (0 , ), c o s .22p x x x? ? ? ?则有关命题 p 的真假及 p? 的论述正确的是 A.假命题 , 0 0 0: (0 , ), c o s .22p x x x? ? ? ? ? B. 真命题 , 0 0 0: (0 , ), c o s .22p x x x? ? ? ? ? C.假命题 , 0 0 0: (0 , ), c o s .22p x x x?
3、 ? ? ? ? D.真命题 , 0 0 0: (0 , ), c o s .22p x x x? ? ? ? ? 6.函数 ( ) 2lnf x x? 的图像与函数 2( ) 4 5g x x x? ? ?的图 像的交点个数为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7.函数 s in s in() c o s s in c o s s inxxfx x x x x?的最小正周期为 A. 4? B. 2? C. ? D. 2? 8.已知命题 : s i n ( 2 ) ;36p y x x? ? ?曲 线 的 一 条 对 称 轴 为:q 函数 sin(2 )3yx?在区间- 2 - 0, 2
4、? 上单调递增 .给出下列命题： pq ; pq ; ()pq? ; ( ) .pq? 其 中真命题的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9.已 知函数 ( ) ln ,f x x x? 若直线 l 过点 (0, 1)? ,且与曲线 ()y f x? 相切 ,则直线 l 的方程为 A. 10xy? ? ? B. 10xy? ? ? C. 10xy? ? ? D. 10xy? ? ? 10.已知实数 ,xy满足条件 22220xyxyx?,则 yx 的最小值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11.用 min , ab 表示 ,ab两数中的较小值 .若函数 ( ) m in
5、, f x x x t?的图像关于直线1x? 对称 ,则 t 的值为 A. 2? B. 2 C. 1? D. 1 12.若定义在 R 上的函数 ()fx满足 ( ) ( ) 1, (0 ) 4 ,f x f x f? ? ?则不等式 3( ) 1xfx e?的解集为 A. (0, )? B. ( ,0) (3, )? ? C. (3, )? D. ( ,0) (0, )? ? 二、填空题：本小题共 4 个小题 ,每小题 5 分 ,满分 20 分 . 13.若函数 ( ) ( )( 1)xxf x e e ax? ? ?为奇函数 ,则实数 a 的值为 _. 14.设向量 ,ab满足 2 5 ,
6、4,? ? ?a b a b =则 _ .?ab 15.若 4cos( ) ,45? ?则 sin2? _. 16.记抛物线 2:C y x? 与圆 22:2O x y?所围成的封闭图形为区域 ,M 则从圆 O 中随机选取一点 ,P 恰好 PM? 的概率为 _. 三、解答题 :本大题满分 70 分 .解答题应写出必要的步骤、演算过程等 . 17.（满分 12 分） . - 3 - 在钝角三角形 ABC? 中 ,内角 ,ABC 所对的边长为 , , .abc 已知角 C 为最大内角 ,且3 2 sin .a c A? （ 1）求角 ;C （ 2）若 3 2,c? 且 ABC? 的面积为 33,2
7、 求 ,ab的值 . 18.（满分 12 分） 某省电视台举行歌唱大赛 ,大赛依次设初赛 ,复赛 ,决赛三个轮次的比赛 .已知某歌手通过初赛 ,复赛 ,决赛的概率分别为 3 2 1,434且各轮次通过与否相互独立 .记该歌手参赛的轮次为 .? （ 1）求 ? 的分布列和数学期望 . （ 2）记“函数 ( ) 3 sin ( )2xf x x R? ?是偶函数”为事件 A ,求 A 发生的概率； 19.（满分 12 分） 如图 ,在四棱锥 P ABCD? 中 ,平面 PAB? 平面 , , 9 0 ,A B C D A D B C A B C?PA? 3 , 1, 2 , 3 ,P B B C
8、A B A D O? ? ? ?为 AB 的中点 . （ 1）证明 :PO CD? ； （ 2）求二面角 C PD O?的余弦值 . 20.（满分 12 分） OB CA DP- 4 - 已知椭圆 22: 1( 0 )xyE a bab? ? ? ?的右焦点为 (1,0),F 左顶点为 ( 2,0).A? （ 1）求椭圆 E 的方程； （ 2）过点 A 作两条相互垂直的直线分别 与椭圆 E 交于（不同于点 A 的） ,MN两点 .试判断直线 MN 与 x 轴的交点是否为定点 ,若是 ,求出定点坐标；若不是 ,请说明理由 . 21.（满分 12 分） 已知函数 2( ) ( ln ), .f x
9、 x a x x a R? ? ? ? （ 1）当 1a? 时 ,求 ()fx的单调区间； （ 2）若 1( ) ( 1) ,2f x e a?求实数 a 的取值范围 . 请考生在第 22 题与 23 题中任选一题作答 ,如果多做 ,则按第 22 题计分 . 22.（满分 10 分）选修 4-4 坐标系与参数方程 已知极坐标方程12: 1 0 , : s in ( ) 6 .3CC ? ? ? ? ?（ 1）求 12,CC的直角坐标方程 ,并分别判断 12,CC的形状； - 5 - （ 2）求 12,CC交点间的距离 . 23.（满分 10 分）选修 4-5 不等式选讲 设函数 ( ) 1 .
10、f x x x a? ? ? ? （ 1）若 3,a? 解不等式 ( ) 5;fx? （ 2）如果 00, ( ) 2 ,x R f x? ? ?使 得 成 立求 a 的取值范围 . - 6 - 理科数学卷参考答案 满分 150 分 时量 120 分钟 一、选择题（本大题共 12 个小题 ,每个小题 5 分 ,满分 60 分 .每个小题的四个选项中 ,只有一项符合要求） 1.已知集合 2 | 2 0,A x x x Z? ? ? ?是整数集 ,则 AZ? A. 1? B. 1 C. 1,0? D. 0,1 【答案】 C.【解析】 | ( 2 ) ( 1 ) 0 | 2 1 ,A x x x x
11、 x? ? ? ? ? ? ? ? 1,0.AZ? 2.若复数 1 ()iz a Rai? 为纯虚数 ,其中则 z 的值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 2 【答案】 A.【解析】设 1 ,i biai? ? 其中 , 0.b Rb?则 1,i b abi? ? ? 解得 1.ab? 所以,zi? 1.z? 3.在 ABC? 中 ,已知 (1, 3 ), ( 3 ,1),B A B C?则角 B 为 A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 【答案】 A.【解析】因为 3co s ,2B A B CB B A B C?所以角 B 为 30. 4.执行如图所示的程序框图 ,当输入的
12、x 为 6 时 ,输出的 y 的值为 A. 1 B. 2 C. 5 D. 10 【答案】 D.【解析】略 . 5.已知命题 : (0 , ), c o s .22p x x x? ? ? ?则有关命题 p 的真假及 p? 的论述正确的是 A.假命题 , 0 0 0: (0 , ), c o s .22p x x x? ? ? ? ? B. 真命题 , 0 0 0: (0 , ), c o s .22p x x x? ? ? ? ? C.假命题 , 0 0 0: (0 , ), c o s .22p x x x? ? ? ? ? D.真命题 , 0 0 0: (0 , ), c o s .22p
13、 x x x? ? ? ? ? 【答案】 D.【解析】设 ( ) cos ,f x x x? 则 ( ) 1 sin 0,f x x? ? ? ?()fx在 (0, )2? 上单调递增 .y=x2+1是结束输出 y否x0?x=x-3输入 x开始- 7 - 所以对 (0, ),2x ? c o s ( ) ( ) .22x x f x f ? ? ? ?命题 p 为真命题 ,选 D. 6.函数 ( ) 2lnf x x? 的图像与函数 2( ) 4 5g x x x? ? ?的图像的交点个数为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】 B.【解析】由 22( ) 4 5 ( 2 ) 1g
14、 x x x x? ? ? ? ? ?知 , ()gx的图像是顶点坐标为 (2,1),开口向下的抛物线 .且 (2 ) 2 ln 2 ln 4 1 (2 ),fg? ? ? ?作图可知函数 ()fx与函数 ()gx 的图像有两个交点 . 7.函数 s in s in() c o s s in c o s s inxxfx x x x x?的最小正周期为 A. 4? B. 2? C. ? D. 2? 【答案】 B. 【解析】通分可得222 s in c o s s in 2( ) ta n 2 .c o s s in c o s 2x x xf x xx x x? ? ?所以 ()fx的最小正周
15、期 .2T ? 8.已知命题 : s i n ( 2 ) ;36p y x x? ? ?曲 线 的 一 条 对 称 轴 为:q 函数 sin(2 )3yx?在区间0, 2? 上单调递增 .给出下列命题： pq ; pq ; ()pq? ; ( ) .pq? 其中真命题的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答 案】 A.【解析】当 6x ? 时 ,2 0,3x ?故命题 p 为假命题 .函数 y? sin(2 )3x ? 在 50, 12? 上单调递增 ,在 5 , 12 2? 上单调递减 .故命题 q 为假命题 .从而为真命题 ,选 A. 9.已知函数 ( ) ln ,f x x
16、 x? 若直线 l 过点 (0, 1)? ,且与曲线 ()y f x? 相切 ,则直线 l 的方程为 A. 10xy? ? ? B. 10xy? ? ? C. 10xy? ? ? D. 10xy? ? ? 【答案】 C.【解析】 ( ) ln 1,f x x? ?设切点为 0 0 0( , ln ),x x x 则斜率 0ln 1kx? ? ? 00 000ln 1 1ln ,xx xxx? ?解得 0 1, 1.xk?所以 l 的方程为 1,yx? 即 1 0.xy? ? ? - 8 - 10.已知实数 ,xy满足条件 22220xyxyx?,则 yx 的最小值为 A. 1 B. 2 C.
17、3 D. 4 【答案】 A.【解析】略 . 11.用 min , ab 表示 ,ab两数中的较小值 .若函数 ( ) m in , f x x x t?的图像关于直线1x? 对称 ,则 t 的值为 A. 2? B. 2 C. 1? D. 1 【答案】 B. 【解析】作图可知 ,当 0t? 时 ,函数 ()fx的图像关于直线 2tx? 对称 .所以1,2t? ? 解得 2.t? 12.若定义在 R 上的函数 ()fx满足 ( ) ( ) 1, (0 ) 4 ,f x f x f? ? ?则不等式 3( ) 1xfx e?的解集为 A. (0, )? B. ( ,0) (3, )? ? C. (3
18、, )? D. ( ,0) (0, )? ? 【答 案】 A.【解析】令 ( ) ( ) 1,xg x e f x?( ) ( ) ( ) 1.xg x e f x f x? ? ?由已知可得 , ( ) 0gx? ? 在 R 上恒成立 ,所以 ()gx在 R 上单调递增 . 又 (0) (0) 1 3,gf? ? ?所以不等式 3( ) 1 ( ) 1 3 ,xxf x e f xe? ? ? ? ?即 ( ) (0).g x g? 解得 0,x? 所以选 A. 二、填空题：本小题共 4 个小题 ,每小题 5 分 ,满分 20 分 . 13.若函数 ( ) ( )( 1)xxf x e e ax? ? ?为奇函数 ,则实数 a 的值为 _. 【答案】 0.a? 【解析】易证 xxy e e? 为奇函数 ,又因为函数 ()fx为奇函
