1、 - 1 - 2017-2018 学年高三上期第二次月考 理科数学试题 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 1已知集合 2 | l g ( 3 2 ) , | 4 A x y x B x x? ? ? ? ?，则 AB? （ ） A. 3 | 2 2xx? ? ? B. | 2xx? C. | 2xx? D. 3 | 2 2xx? ? ? 2命题0: 0, 4px ?，00si n 2 cos 2x x a?是假命题，则实数a的取值范围是（ ） A1aB2aC. 1a?D2?3下列函数中，在其定义域 内既是增函数又存在零点的函数是 ( ) A. )62tan( ? xy B. 132
2、? xxy C. 22 ? ?xey D. 21? xy 4 ABC? 中，三个内角分别为 CBA , ,已知 :p BA 22 sinsin ? ， BAq coscos: ? ，则 qp是 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5已知函数 axxxxf ? 2ln)( 在区间 ),1( ? 内有极值点，则实数 a 的取值范围是（ ） A. )212ln,( ? B. )12ln,( ? C. )2ln,( ? D. 212ln,( ? 6 已知 ?fx是定义在 ? ?,? 上的偶函数，且在 ? ?,0? 上是增函数，设 ? ?4log
3、7af? ， )3(log 21fb ? )2.0( 5.0? fc ，则 ,abc的大小关系是 ( ) A. c b a? B. c a b? C. b c a? D. abc? - 2 - 7函数xxxf ln)(3? 的图象大致是 ( ) 8已知函数 )42cos()( ? xxf ，将 )(xfy? 的图象上 所有的点的横坐标缩短为原来的 21倍，纵坐标不变；再把所得的图象向右平移 ? 个单位长度，所得的图象关于原点对称，则 ? 的最小正值是（ ） . A.43? B. 83? C. 165? D. 163? 9 关于函数 1)43s in (2)( ? xxf ,下列叙述 有误 的是
4、 ( ) A. 其图象关于直线 4?x 对称 B. 其图象关于点 )0,1211( ? 对称 C. 其值域为 1,3? D. 函数 在区间 43,125 ? 单调递增 10 设函数? ? ? ?si nf x A x?(其中,A?是常数 )若函数?fx在区间,44?上具有单调性，且2 4 4f f f? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，则?的对称中心 的 坐标 为（ ） （其中kZ?） . A. )0,34( ?k B.)0,35( ?k C. )0,45( ?k D. )0,43( ?k11 已知函数 ? ? ,0 ln , 0xexfxx
5、x? ?，则函数 ? ? ? ? ? ?21 1F x f f x f xe? ? ?(e 为自然对数的底 数）的零点个数是（ ） - 3 - A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 12已知定义在上的函数 )(xf 和 )(xg 分别满足 ,)0(22 )1()( 222 xfxefxf x ? ? 0)(2)( ? xgxg ，则下列不等式成立的是 ( ) A. ( 2 ) ( 2 0 1 5 ) ( 2 0 1 7 )f g g? B. ( 2 ) ( 2 0 1 5 ) ( 2 0 1 7 )f g g? C. ( 2 0 1 5 ) ( 2 ) ( 2 0 1 7 )g f g? D
6、. ( 2 0 1 5 ) ( 2 ) ( 2 0 1 7 )g f g? 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分 ） 13在平面直角坐标系中，角 ? 的始边在 x 轴的非负半轴上，终边在直线 xy 2? 上，则? c o ss in3s in 2 14抛物线 xy ?2 与直线 2?xy 围成区域的面积为 15 已知 ,5 34s in)6c o s ( ? 则 ? )342cos( _ 16已知函数?),3),2(lo g)3,0),42s in ()(2 xxxxxf ，若存在三个不同的实数 ,abc，使得? ? ? ? ? ?f a f b f c?，则 abc 的取值范围为 _ 三
7、、解答题（ 6个小题，共 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17已知函数 xxxf ?2s in322s in)(的最小正周期为 ? (1)若 2411,3 ?x ，求函数 ?fx的值域； (2)在 ABC? 中，角 CBA , 的对边分别为 a， b， c，若 ,6c o sc o s ? AbBa 3)( ?Cf ，求 ABC? 的面积的最大值 18 习主席构建的“一带一路”经济带的发展规划已经得到了越来越多相关国家的重视和参与 .某市旅游局顺潮流、乘东风，闻讯而动，决定利用旅游资源优势，撸起袖子大干一场 .为了了解游客的情况，以便制定相应的策略 .在某月中随机抽取甲、乙两
8、个景点各 10天的游客- 4 - 数，画出茎叶图如下： （ 1）若景点甲中的数据的中位数是 125，景点乙中的数据的平均数是 124，求 ,xy的值； （ 2）若将图中景点甲中的数据作为该景点较长一段时期内的样本数据 .今从这段时期内任取 4天，记其中游客数超过 120 人的天数为 X，求概率 )1( ?Xp ； （ 3）现从上图的共 20 天的数据中任取 2天的数据（甲、乙两景点中各取 1天），记其中游客数不低于 115且不高于 125人的天数为 ? ，求 ? 的分布列和期望 . 19 如图，在梯形 ABCD 中， CDAB/ ， o60,2 ? ABCCBDCAD ， 平面 ACEF? 平
9、面 ABCD ，四边形 ACEF 是菱形，60CAF? . （ 1）求证： BC? 平面 ACEF ； （ 2）求平面 ABF 与平面 ADF 所成锐二面角的余弦值 . 20 如图，对称轴为坐标轴，焦点均在 y 轴上的两椭圆 12,EE，离心率相同切均为 22 ，椭圆 1E 过点 ( 1, 2)? 且其上顶点恰为椭圆 2E 的上焦点， P 是椭圆 1E 上异于 12,FF的任意一点，直线 1PF 与椭圆 2E 交于 ,AB两点，直线2PF 与椭圆 2E 交于 ,CD 两点 . - 5 - （ 1）求椭圆 1E , 2E 的标准方程； （ 2） AB CD? 是否为定值？若为定值求出该定值；否则
10、，说明理由 . 21. （本小题满分 12分）已知函数 )1()( ? xaxf ， )1()( ? bxexg x ， Ra? . （ 1）当 2?b 时，函数 )()( xgxfy ? 有两个零点，求 a 的取值范围； （ 2）当 ab? 时，不等式 )()( xgxf ? 有且仅有两个整数解，求 a 的取值范围 . 22.（本小题满分 10分）在直角坐标系中，以坐标原点 O为极点， x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系已知点 M的极坐标为2 2, 4?，曲线 C的参数方程为1 2 cos2sinx y ? ?（ ?为参数） （ 1）若直线 l过点 M且与曲线 C相切，求直线 l的极坐标方程；
11、 （ 2）若直线 m过点 且倾斜角为 6? ，直线 m与曲线 C交于 QP, 两点，求 | MQMP ? 的值。 理科数学答案 一、 1-12 CDCCB ADDBD CD 二、 13. 2 14. 29 15. 257 16. )9,415 17解：（ 1） 3)32s in (2)( ? xxf ?2 分 所以 ()fx值域为 32,32 ? ? 6分 （ 2） 32,6 ? Cc ?. 8分 - 6 - 12?ab ， 所以 33s in21 ? CabS ABC . ?12 分 18.解：（ 1）由题意知 4.3 ? yx ； （ 2）由题意知，因为景点甲的每一天的游客数超过 120人
12、的概率为 63105? ， 任取 4天，即是进行了 4次独立重复试验，其中有 X次发生， 故随机变量 X服从二项分布，则 625112)1( ?Xp ； （ 3）从 图中看出：景点甲的数据中符合条件的只有 1天，景点乙的数据中符合条件的有 4天，所以在景点甲中被选出的概率为 110 ，在景点乙中被选出的概率为 410 . 由题意知： ? 的所有可能的取值为 0， 1， 2. 则 ? ? 9 6 2 70 1 0 1 0 5 0P ? ? ? ? ? ? ? 1 6 9 4 2 11 1 0 1 0 1 0 1 0 5 0P ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 4 22 1 0 1 0 5
13、0P ? ? ? ? ? 所得分布列为： ? ? 2 7 2 1 1 10 1 25 0 5 0 2 5 2E ? ? ? ? ? ? ? ?. 19解 （ 2）取 为 中点，连 ， 四边形 是菱形， ， ，即与同理可知 平面 如图所示，以 为坐标原点建立空间直角坐标系，则有 ， ， ； 设 是平面 的一个法向量，则 ，即 ，取， ? 0 1 2 P 2750 2150 125 - 7 - 设 是平面 的一个法向量，则 ，即 ， 取 )1,3,3( ?n 设平面 与平面 所成锐二面角为 ，则 ，即平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 20解 （第（ 2）问分数重新设置） 21. 解：（ 1）由
14、 )(xf = )(xg 得 )1(1 )12( ? ? xx xea x ，令)1(1 )12()( ? ? xx xexF x ， 2)1( )32()( ? ? x xxexF x ， - 8 - 可得 )(xF 在 )0,(? 内递增，在（ 0， 1）内递减，在 )23,1( 内递减，在 ),23( ? 内递增，则有 1)0()( ? FxF 极大值 ， 234)23()( eFxF ?极小值，由图象可得),4()1,0( 23 ? ea （也可用过点（ 0， 1）作曲线 )(xg 的切线，可求得两切线的斜率分别是 1和 234e ，由直线)(xf 与曲线 )(xg 的位 置可得） （
15、 2）由 )()( xgxf ? 得 1)1( ?xexxa. 令xexxxh 1)( ?，则xxx exeexxh 221)( ?. 令 2)( ? xex x? ，则 01)( ? xex? ，所以 )(x? 在 R 上单调递增， 又 01)0( ? ， 01)1( ?e? ，所以 )(x? 在 R 上有唯一零点， )1,0(0?x ， 此时 )(xh 在 ),( 0x? 上单调递减，在 ),( 0?x 上单调递增 . 01)()( 000m in xexxxhxh ?00 100xx e xex ? ， 易证 1?xex ，00 1)( 000 xx e xexxh ? 0020 ?xe
16、x. 当 0?x 时， 01)0()( ? hxh ；当 1?x 时， 1)1()( ?hxh . （ 1）若 0?a ，则 10)( ?xah ，此时 1)( ?xah 有无穷多个整数解，不合题意； （ 2）若 1?a ，即 11?a ，因为 )(xh 在 0,(? 上单调递减，在 ,1? 上单调递增， 所以 Zx? 时， ahhxh 11)1(),0(m in )( ? ，所以 axh 1)? 无整数解，不合题意； （ 3）若 10 ?a ，即 11?a ，此时 ahh 11)1()0( ? ，故 0,1是 axh 1)( ? 的两个整数解， 又 axh 1)( ? 只有两个整数解，因此?
17、ahah 1)2(1)1(，解得 1222? eea ，所以 )1,1222? eea . 22解（ 1）由题意得点 M的直角坐标为 ? ?2,2，曲线 C的 一般方程为- 9 - ? ?2 214xy? ? ? 2分 设直线 l的方程为 ? ?22y k x? ? ?，即 2 2 0kx y k? ? ? ?，直线 l过 M且与曲线 C相切， 22 21k k? ?，即 23 4 0kk?，解得40 3k ? 或 k=-， 4分 直线 l的极坐标方程为 sin 2?或 4 c os 3 sin 14 0? ? ? ? ? ?， 5分 （ 2）设直线 m的参数方程为 )(212 232为参数ttytx? 代入圆的方程得01)23(2 ? tt 8分 则有 1| ? MQMP
