1、 - 1 - 2017-2018 学年高三上期第一次月考 文科数学试题 本试题包括选择题、填空题和解答题三部分，时量 120分钟，满分 150 第 卷（共 60分） 一、选择题 ：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 ? ? ? ?0 ,1 , 2 , 3 , 4 , 1 , 3 , 5 , ,M N P M N? ? ?则 P 的子集共有 ( ) A.2个 B.4个 C.6个 D.8个 2.下面四个条件中，使 a b 成立的充分而不必要的条 件是 ( ) .a b +1 . a b -1 . 2a 2b . 3a
2、3b 3.若函数 ()y f x? 的定义域是 0,2 ，则函数 (2 )() 1fxgx x? ? 的定义域是 ( ) A 0,1 B 0,1) C 0,1) (1,4 D (0,1) 4.设 221() 1 xfx x? ?，则 11( ) ( ) ( 2 ) (3 )23f f f f? ? ? ?（ ） A. 0 B. 3512? C. 1 D. 3512 5. 设 a log32， b log52， c log23， 则 ( ) A acb B bca C cba D cab 6 函数 12 2( ) lo g 2f x x x? ? ?的零点个数为 ( ) A.0 B.1 C. 2
3、 D. 3 7.设 ，则 =（ ） A 12e B 12e2 C 24e D 24e2 8.给出下列三个等式： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x y f x f y f x y f x f y? ? ? ?， ( ) ( )() 1 ( ) ( )f x f yf x y f x f y? ? 下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ） A ( ) 3xfx? B ( ) sinf x x? C 2( ) logf x x? D ( ) tanf x x? - 2 - 9.已知 (3 ) 4 , 1()lo g , 1a a x a xfx xx? ? ? ，是 R上的增函
4、数，那么 a的取值范围是 ( ) （ A） (1， +? ) （ B） (-? ,3) (C)53 ， 3) (D)(1,3) 10.下 列函数中既是奇函数，又是区间 ? ?1,1? 上单调递减的是（ ） （ A） ( ) sinf x x? (B) ( ) 1f x x? ? (C) 1( ) ( )2 xxf x a a? (D) 2() 2 xf x ln x? ? 11 设函数? ? ?2112)(xxfx 00?xx，若 1)( 0 ?xf ，则 0x 的取值范围是 （ ） （ A）（ 1? ， 1） （ B）（ 1? ， ? ） （ C）（ ? ， 2? ） ? （ 0， ? ）
5、（ D）（ ? ， 1? ） ? （ 1， ? ） 12. 已知函数 f(x)? x2 2x， x 0，ln（ x 1） ， x 0.若 |f(x)|ax ， 则 a的取值范围是 ( ) A ( ， 0 B ( ， 1 C 2， 0 D 2， 1 第 卷（共 90分） 二 .填空题 ：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分，把答案填在答题卡中对应号后的横线上。 13. 偶函数 y f(x)的图像关于直线 x 2对称， f(3) 3，则 f( 1) _ 14.已知向量 2 4 11? ? ? ?， ， ，a = b =若向量 ()?b a+ b ，则实数 ? 的值是 _ 15.函数 1 (
6、0 1)xy a a a? ? ?， 的图象恒过定点 A ，若点 A 在直线 1 0( 0)m x ny m n? ? ? ?上，则 11mn? 的最小值为 _ 16. 已知集合 2,0,1,3,A? 在平面直角坐标系中，点 M(x,y)的坐标 ,x A y A?。 （ 1）则点 M不在 x轴上的概率 _； （ 2）则点 M正好落在区域 5000xyxy? ? ?上的概率 _。 三解答题 ：本大题共 6小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. （ 10分 已知等差数列 an满足 a1 a2 10， a4 a3 2. - 3 - (1)求 an的通项公式 (2)设等比
7、数列 bn满足 b2 a3， b3 a7.问： b6与数列 an的第几项相等？ 18.（ 12 分） 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问 50 名职工，根据这 50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图 (如图 14所示 )，其中样本数据分组区间为： 40， 50)， 50， 60)， ， 80， 90)， 90， 100 (1)求频率分布直方图中 a的 值； (2)估计该企业的职工对该部门评分不低于 80的概率； (3)从评分在 40， 60)的受访职工中，随机抽取 2人，求此 2人的评分都在 40， 50)的概率 - 4 - 19.（ 12 分） 已知函数 f(x)
8、2cos x(sin x cos x) (1)求 f? ?54 的值； (2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间 20.（ 12 分） 如图 13，四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD 为矩形， PA 平面 ABCD， E为 PD的中点 - 5 - (1)证明： PB 平面 AEC； (2)设 AP 1， AD 3，三棱锥 P ABD的体积 V 34 ，求 A到平面 PBC的距离 21.（ 12分）如图，已知椭圆 C ： 22 1( 0)xy abab? ? ? ?的一个焦点为 F（ 1， 0），且过点 (20)， （）求椭圆 C 的方程； （）若 AB 为垂直于 x 轴的动弦，直线
9、 l ： 4x? 与 x 轴交于点 N ，直线 AF 与 BN 交于点M 求 AMN 面积的最大值 22.（ 12 分）已知 3x? 是函数 ? ? ? ? 2ln 1 1 0f x a x x x? ? ? ?的一个极值点。 （）求 a ； （）求函数 ?fx的单调区间； （）若直线 yb? 与函数 ? ?y f x? 的图象有 3个交点，求 b 的取值范围 . - 6 - 数学文科答案 一、选择题：（ 12x5=60） 1 12 BABAD CDBDD DC 二 .填空题： (4x5=20) 13. 3 14. -3 15. 4 16. 3/4, 3/16 三解答题： (70分 ) 17.
10、 解： (1)设等差数列 an的公差为 d.因为 a4 a3 2，所以 d 2. 又因为 a1 a2 10，所以 2a1 d 10，故 a1 4. 所以 an 4 2(n 1) 2n 2(n 1， 2， )（ 5分） (2)设等比数列 bn的公比为 q.因为 b2 a3 8， b3 a7 16， 所以 q 2， b1 4.所以 b6 42 6 1 128. 由 128 2n 2得 n 63. 所以 b6与数列 an的第 63项相等 （ 10 分） 18. 解： (1)因为 (0.004 a 0.018 0.0222 0.028) 10 1， a 0.006. （ 3分）(2)由图知， 50名受
11、访职工评分不低于 80的频率为 (0.022 0.018)10 0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于 80的概率的估计值为 0.4.（ 6分）(3)受访职工中评分在 50， 60)的有 500.006 10 3(人 )，记为 A1， A2， A3；受访职工中评分在 40， 50)的有 500.00410 2(人 )，记为 B1， B2. 从这 5名受访职工中随机抽取 2人，所有可能的结果共有 10种，它们是 A1， A2， A1， A3，A1， B1， A1， B2， A2， A3， A2， B1， A2， B2， A3， B1， A3， B2， B1， B2，又因为所抽取 2人的评分都在
12、 40， 50)的结果有 1种，即 B1， B2，所以所求的概率 P 110. （ 12分）- 7 - 19.解： (1)f? ?54 2cos54 ? ?sin54 cos54 2cos4? ? sin4 cos4 2. （ 4分）(2)因为 f(x) 2sin xcos x 2cos2x sin 2x cos 2x 1 2sin? ?2x 4 1， （ 7分）所以 T 22 ，故函数 f(x)的最小正周期为 . （ 9分）由 2k 2 2x 4 2k 2， kZ ，得 k 38 x k 8， kZ. 所以 f(x)的单调递增区间为 ? ?k 38 ， k 8 ， k Z.（ 12 分） 2
13、0. (1)证明：设 BD与 AC的交点为 O，连接 EO. 因为 ABCD为矩形，所以 O为 BD的中点 又 E为 PD的中点，所以 EOPB. EO?平面 AEC， PB?平面 AEC， 所以 PB 平面 AEC.（ 6分）(2)V 13 12 PA AB AD 36 AB， 由 V 34 ，可得 AB 32. 作 AHPB 交 PB于点 H. 由题设知 BC 平面 PAB，所以 BCAH ，因为 PBBC B，所以 AH 平面 PBC. 又 AH PA ABPB 3 1313 ， 所以点 A到平面 PBC的距离为 3 1313 （ 12分）21.解： （ ） 由题设 2a? ， 1c?
14、，从而 2 2 2 3b a c? ? ? 所以椭圆 C 的方程为 22143xy? （ 4分）（ ） 设 AM 的方程为 1x ty?，代入 22143xy?得 22(3 4) 6 9 0t y ty? ? ? ? - 8 - 设 11()Ax y， ， 22()M x y， ，则有：12 2634tyy t? ?，12 2 934yy t? ? 221 2 1 2 1 2 24 3 3 3( ) 4 34 ty y y y y y t ? ? ? ? ? ?令 23 4 ( 4)t ? ， 则 2212 4 3 1 1 1 1 1 14 3 4 3 24yy ? ? ? ? ? ? ? ?
15、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，因为 4? ，110 4? ，所以当 114? ，即 4? ， 0t? 时， 12yy? 有最大值 3 ，此时 AM 过点F AMN 的面积 1 2 1 21322A M NS F N y y y y? ? ? ? 有最大值 92 （ 12分）22.解：（）因为 ? ? 2 101 af x xx? ? ? 所以 ? ? 3 6 10 04af ? ? ? ? 因此 16a? （ 3 分）（）由（）知， ? ? ? ? ? ?21 6 ln 1 1 0 , 1 ,f x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2
16、 4 31xxfx x? ? 当 ? ? ? ?1,1 3,x? ? ?时， ? ? 0fx? 当 ? ?1,3x? 时， ? ? 0fx? 所以 ?fx的单调增区间是 ? ? ? ?1,1 , 3,? ? ?fx的单调减区间是 ? ?1,3 （ 7分）（）由（）知， ?fx在 ? ?1,1? 内单调增加，在 ? ?1,3 内单调减少，在 ? ?3,? 上单调增加，且当 1x? 或 3x? 时， ? ? 0fx? 所以 ?fx的极大值为 ? ?1 16ln 2 9f ?，极小值为 ? ?3 32 ln 2 21f ? 因此 ? ? ? ?21 6 1 6 1 0 1 6 1 6 ln 2 9 1ff? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 1 3 2 1 1 2 1 3f e f? ? ? ? ? ? ? ? 所以在 ?fx的三个单调区间 ? ? ? ? ? ?1,1 , 1,3 , 3,? ?直线 yb? 有 ? ?y f x? 的图象各有一个交点，当且仅当 ? ? ? ?31f b f? 因此， b 的取值范围为 ? ?32 ln 2 21,16 ln 2 9?。 （ 12 分）
