1、 1 湖南省岳阳市 2018 届高三数学上学期第一次月考试题 理 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.设复数 z 满足 ? ? ?2 2 5z i i? ? ?，则 z? （ ） A 23i? B 23i? C 32i? D 32i? 2.已知 ? ? ? ?2 2 2| , , | 1 , ,M y y x x R N y x y x R y R? ? ? ? ? ? ? ?，则 MN?（ ） A ? ?2,2? B ? ?0,2 C ? ?0,1 D ? ?1,1? 3
2、.等比数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，若 362, 18SS?，则 105SS 等于（ ） A -3 B 5 C -31 D 33 4.已知 ? ? ?tan 2 0,? ? ?，则 5cos 22?（ ） A 35 B 45 C. 35? D 45? 5.在如图所示的程序框图中，若输出的值是 3，则输入 x 的取值范围是（ ） A ? ?4,10 B ? ?2,? C. ? ?2,4 D ? ?4,? 6.若 33 nxx?的展开式中所有项的系数的绝对值之和为 1024，则该展开式中的常数项2 是（ ） A -270 B 270 C. -90 D 90 7.一个几何体由 多面体和旋转
3、体的整体或一部分组合而成，其三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A 32? B 1? C. 16? D ? 8.有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙丙两人必须相邻，则满足要求的排法有（ ） A 34 种 B 48 种 C. 96 种 D 144 种 9.定义在 R 上的函数 ?fx满足 ? ? ? ?2f x f x? ，当 ? ?3,5x? 时， ? ? 24f x x? ? ?，则下列不等式一定成立的是（ ） A cos sin66ff? ? ? ? ? ? ? ? ? ?B ? ? ? ?sin1 cos1ff? C. 22co s sin33ff? ? ? ? ? ? ?
4、? ? ?D ? ? ? ?sin 2 cos 2ff? 10.已知 ,ab为平面向量，若 ab? 与 a 的夹角为 3? ，若 ab? 与 b 的夹角为 4? ，则 ab?（ ） A 33 B 63 C. 53 D 2 11.已知两定点 ? ?1,0A? 和 ? ?1,0B ，动点 ? ?,Pxy 在直线 3yx?上移动，椭圆 C 以 ,AB为焦点且经过点 P ，则椭圆 C 的离心率的最大值为（ ） A 55 B 105 C. 255 D 2105 3 12.只能被 1 和它本身整除的自然数（不包括 1）叫做质数， 41， 43， 47， 53， 61， 71， 83，97 是一个由 8 个
5、质数组成的数列，小王同学正确地写出了它的一个通项公式，并根据通项公式得出数列的后几项，发现它们也是质数，试写出一个数 P 满足小王得出的通项公式，但它不是质数，则 P? （ ） A 1677 B 1681 C. 1685 D 1687 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在答题纸上 13.已知幂函数 ? ?y f x? 的图象过点 12,22?，则 ? ?2log 2f 的值为 14.若 ? ? sin 3nfn ? ，则 ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 3 2 0 1 7f f f f? ? ? ? ? 15.已知三棱锥 S ABC? ，满足 ,SASB
6、SC 两两垂直，且 2SA SB SC? ? ?， Q 是三棱锥S ABC? 外接球上一动点，则点 Q 到平面 ABC 的距离的最大值为 16.已知实数 ,ab满足 ? ?ln 1 3 0b a b? ? ? ?，实数 ,cd满足 2 5 0dc? ? ? ，则? ? ? ?22a c b d? ? ? 的最小值为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17.在 ABC? 中，角 ,ABC 的对边分别为 ,abc，已知向量? ?2c o s , c o s 1 , , 22Cm B n c b a? ? ? ?，且 0mn? . （ 1
7、）求角 C 的大小； （ 2）若点 D 为 AB 上一点，且满足 , 7 , 2 3A D D B C D c? ? ?，求 ABC? 的面积 . 18.如图 1，在 ABC? 中， 002 , 9 0 , 3 0A C A C B A B C? ? ? ? ?， P 是 AB 边的中点，现把ACP? 沿 CP 折成如图 2 所示的三棱锥 A BCP? ，使得 10AB? . （ 1）求证：平面 ACP? 平面 BCP ； （ 2）求二面角 B AC P?的余弦值 . 4 19.习大大构建的“一带一路”经济带的发展规划已经得到了越来越多相关国家的重视和参与 .岳阳市旅游局顺潮流、乘东风，闻讯而
8、动，决定利用旅游资源优势，撸起袖子大干一场 .为了了解游客的情况，以便制定相应的策略 .在某月中随 机抽取甲、乙两个景点各 10 天的游客数，画出茎叶图如下： （ 1）若景点甲中的数据的中位数是 125，景点乙中的数据的平均数是 124，求 ,xy的值； （ 2）若将图中景点甲中的数据作为该景点较长一段时期内的样本数据 .今从这段时期内任取4 天，记其中游客数超过 120 人的天数为 ? ，求概率 ? ?2P? ； （ 3）现从上图的共 20 天的数据中任取 2 天的数据（甲、乙两景点中各取 1 天）， 记其中游客数不低于 115 且不高于 125 人的天数为 ? ，求 ? 的分布列和期望 .
9、 20.已知点 P 是直线 :2l y x? 与椭圆 ? ?2 22 11x yaa ? ? ?的一个公共点， 12,FF分别为该椭圆的左右焦点 ，设 12PF PF? 取得最小值时椭圆为 C . （ 1）求椭圆 C 的标准方程及离心率； （ 2）已知 ,AB为椭圆 C 上关于 y 轴对称的两点， Q 是椭圆 C 上异于 ,AB的任意一点，直线 ,QAQB 分别与 y 轴交于点 ? ? ? ?0, , 0,M m N n，试判断 mn 是否为定值；如果为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由 . 21. 已知函数 ? ? ? ? ? ?21ln 1 02f x a x a x x a? ? ?
10、 ? ? ?. （ 1）讨论 ?fx的单调性； （ 2）若 ? ? 212f x x ax b? ? ? ?恒成立，求实数 ab 的最大值 . 22.请考生在下面两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分（本小题 10 分） . 1.选修 4-4：坐标系与参数方程 5 直角坐标系 xOy 中，直线 :3xtlyt?（ t 为参数），曲线1 cos: 1 sinxC y ? ?（ ? 为参数），以该直角坐标系的原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的方程为2 cos 2 3 sin? ? ? ? ? . （ 1）分别求曲线 1C 的极坐标方程和曲线 2C 的
11、直角坐标方程； （ 2）设直线 l 交曲线 1C 于 ,OA两点，直线 l 交曲线 2C 于 ,OB两点，求 AB 的长 . 2选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ? ? 3 1 3f x x ax? ? ? ?. （ 1）若 1a? ，解不等式 ? ? 4fx? ； （ 2）若函数 ?fx有最小值，求 a 的取值范围 . 试卷答案 一、选择题 1-5:ACDDA 6-10: CBCCB 11、 12： AB 二、填空题 13. 12 14. 32 15. 433 16. 1 三、解答题 17.解：（ 1）由 0mn? ，得 ? ?c o s 2 c o s 0c B b a C? ? ?，
12、由正弦定理可得 ? ?s in c o s s in 2 s in c o s 0C B B A C? ? ?， sin 2 sin cos 0A A C?， sin 0A? ， 1cos 2C? ， ? ?0,C ? ， 3C ? . （ 2） AD DB? ， ,2C D C A C B C D C D C A C B? ? ? ? ?， 又 7, 2 3CD c?， 两边平方： 2 2 2 2 24 2 c o s 2 8C D b a a b C b a a b? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 22 c o s 1 2c a b a b C a b a b? ? ? ? ?
13、? ? 6 由可得 8ab? ， 1 sin 2 32ABCS ab C? ?. 18.【解析】在图 1 中，取 CP 的中点 O ，连接 AO 交 CB 于 E ，则 AE CP? ， 在图 2 中，取 CP 的中点 O ，连接 ,AOOB ， 因为 2AC AP CP? ? ?，所以 AO CP? ，且 3AO? ， 在 OCB? 中，由余弦定理有 ? ? 22 2 01 2 3 2 1 2 3 c o s 3 0 7OB ? ? ? ? ? ?， 所以 2 2 210AO O B AB? ? ?，所以 O OB? . 又 ,AO C P C P O B O?，所以 AO? 平面 PCB
14、， 又 AO? 平面 ACP ，所以平面 ACP? 平面 CPB ； （ 2）因为 AO? 平面 CPB ，且 OC OE? ，故可如图建立空间直角坐标系，则? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 3 , 1 , 0 , 0 , 2 , 3 , 0O C A P B?，? ? ? ?2 , 3 , 3 , 1 , 0 , 3A B A C? ? ? ? ?. 显然平面 ACP 的法向量为 ? ?0,1,0n? . 设平面 ABC 的法向量为 ? ?,m x y z? ，则由 00m ABm AC? ?得 ? ?3,3,1m? ； 因
15、为二面角 B AC P?为锐二面角， 故所求角的余弦值 3 3 1 3c o s c o s ,1313mn? ? ? ?. 19.解：（ 1）由题意知 3, 4Xy?； （ 2）由题意知，因为景点甲的每一天的游客数超过 120 人的概率为 63105? ， 任取 4 天，即是进行了 4 次独立重复试验，其中有 ? 次发生， 7 故随机变量 ? 服从二项分布，则? ? 0 4 3 2 20 1 24 4 43 3 3 2 3 2 3 2 821 5 5 5 5 5 5 6 2 5P C C C? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
16、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?； （ 3）从图中看出：景点甲的数据中符合条件的只有 1 天，景点乙的数据中符合条件的有 4天，所以在景点甲中被选出的概率为 110 ，在景点乙中被选出的概率为 410 . 由题意知： ? 的所有可能的取值为 0， 1， 2. 则 ? ? 9 6 2 70 1 0 1 0 5 0P ? ? ? ? ? ? ? 1 6 9 4 2 11 1 0 1 0 1 0 1 0 5 0P ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 4 22 1 0 1 0 5 0P ? ? ? ? ? 所得分布列为： ? 0 1 2 P 2750 2150 125 ?
17、? 2 7 2 1 1 10 1 25 0 5 0 2 5 2E ? ? ? ? ? ? ? ?. 20.解：（ 1）联立 22221yxx ya? ?，得 ? ?2 2 2 21 4 3 0a x a x a? ? ? ?， 直线 2yx? 与椭圆有公共点， ? ?4 2 21 6 4 1 3 0a a a? ? ? ? ? ?，解得 2 3a? ， 3a? ， 又由椭圆定义知 122PF PF a?， 故当 3a? 时， 12PF PF? 取得最小值， 此时椭圆 C 的方程为 2 2 13x y?； （ 2）设 ? ? ? ? ? ?1 1 2 1 0 0, , , , ,A x y B
18、x y Q x y，且 ? ? ? ?0, , 0,M m N n， QA QMkk? ， 0 1 00 1 0y y y mx x x? ， 即 ? ?0 0 10 01x y yym xx? ?， 8 ? ?0 0 1 0 1 1 00 0 1 0 1x y y x y x ymy x x x x? ? ? ?， 同理，得 0 1 1 001x y x yn xx? ? ， 2 2 2 20 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0220 1 0 1 0 1x y x y x y x y x y x ymn x x x x x x? ? ? ? ? ? ?， 又 2 2220 1011, 133x xyy? ? ? ?， 2 2220 1011 , 133x xyy? ? ? ?， 2222010122012 2 2 20 1 0 111331xxxxxxmnx x x x? ? ?
