1、 1 湖南省长沙市 2018 届高三数学上学期第三次（ 11 月）月考试题 文 本试卷分第 卷 (选择题 )和第 卷 (非选择题 )两部分 ， 共 8 页。时量 120 分钟。满分 150分。 第 卷 一、选择题：本大题共 12 个小题 ， 每小题 5 分 ， 共 60 分 ， 在每小题给出的四个选项中 ，只有一项是符合题目要求的 (1)设 i 是虚数单位 ， 则 1 i i2 i3 i4 ?i 100 (C) (A)1 (B) 0 (C) 1 (D)i 【解析】根据等比数列求和公式 ， 可知原式 11（ i）1011（ i） 1， 故答案选 C. (2)给出命题 p：直线 ax 3y 1 0
2、 与直线 2x (a 1)y 1 0 互相垂直的充要条件是 a 35；命题 q：若平面 内不共线的三点到平 面 的距离相等，则 .下列结论中正确的是 (D) (A)“ p q” 为真命题 (B)“ p q” 为假命题 (C)“ p綈 q” 为假命题 (D)“ p綈 q” 为真命题 【解析】命题 p：直线 ax 3y 1 0 与直线 2x (a 1)y 1 0 互相垂直的充要条件是2a 3(a 1) 0， 得 a 35， 所以为真命题；命题 q：若平面 内不共线的三点到平面 的距离相等 ， 平面 与平面 相交也可以 ， 所以为假命题 ， 即 p 为真命题 ， q 为假命题 ，所以 “ p 綈 q
3、” 为真命题 ， 故答案选 D. (3)如果 f(x) ax2 (2 a)x 1 在区间 ? ? ， 12 上为减函数 ， 则 a 的取值范围是 (C) (A) (0， 1 (B)0， 1) (C)0， 1 (D) (0， 1) (4)计算机执行如图所示的程序 ， 则输出的 S 值为 (C) i 6 S 1 DO S S*i i i 1 LOOP UNTIL i 3 PRINT S END (A)30 (B)120 (C)360 (D)720 【解析】执行循环体依次得 S 6， i 5； S 30， i 4； S 120， i 3； S 360， i 2， 此时满足条件 i 3， 所以输出的
4、S 360， 故答案选 C. (5)在等差数列 an中 ， a1 2016， 其前 n 项和为 Sn， 若 2017S2016 2016S2017 20162017 ，则 S2016的值等于 (C) (A)2018 (B)2017 (C)2016 (D)2015 【解析】利用等差数列性质： ? ?Snn 为等差数列 (6)在 ABC 中 ， 若 bcos Cccos B 1 cos 2C1 cos 2B，则 ABC 的形状是 (D) (A)等腰三角形 (B)直角三角形 (C)等腰直角三角形 (D)等腰三角形或直角三角形 【解析】由已知 1 cos2C1 cos2B 2cos2C2cos2Bco
5、s2Ccos2Bbcos Cccos B， 所以cos Ccos Bbc或cos Ccos B 0.即 C2 90 或 cos Ccos B bc. 由正弦定理 ， 得 bc sin Bsin C， 所以 cos Ccos B sin Bsin C， 即 sin Ccos C sin Bcos B， 即 sin 2C sin 2B. 因为 B、 C 均为 ABC 的内角 ， 所以 2C 2B 或 2C 2B 180 ， 所以 B C 或 B C 90 ，所以 ABC 为等腰三角形或直角三角形故答案选 D. (7)已知某几何体的三视图如下图所示 ， 则该几何体的体积为 (C) (A)2 (B)4
6、 (C)23 (D)43 【解析】由已知的三视图可得：该几何体是一个底面为直角边为 2 的等腰直角三角形 ，高为 1 的三棱锥 ， 故该几何体的体积为 V 23， 故 答案为 C. (8)已知半径为 4 的圆 O 是 ABC 的外接圆 ， 且满足 OA 13AB 13AC 0， 则 CA 在 CB 上的投影为 (A) (A)2 3 (B) 2 3 (C)4 3 (D) 4 3 【解析】 OA 13AB 13AC 0， OA 13(OB OA ) 13(OC OA ) 0， OA OB OC 0，所以 O 为 ABC 的重心 ， 又 O 为 ABC 的外心 ， 所以 ABC 为正三角形 设 AB
7、C 的边长为 a， 则 23 32 a 4， a 4 3. 所以 CA 在 CB 上的投影为 4 3cos 3 2 3， 故答案选 A. (9)在区间 0， 4上随机地选择一个数 p， 则方程 x2 px 3p 8 0 有两个正根的概率为 (A) (A)13 (B)23 (C)12 (D)14 【解析】方程 x2 px 3p 8 0 有两个正根 ， 则有?0x1 x20x1x20即解得 p8 或 83 p4 ， 又 p0 ， 4， 则所求概率为 p 13， 故答案选 A. (10)在直角坐标系中 ， 若不等式?x0yaxy 2x 1表示一个三角形区域 ， 则实数 a 的取值范围是 (D) (A
8、)a0 (B)a 0 (C)a 2 (D)a 2 (11)已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点 ， 左、右焦点分别为 F1、 F2， 且两条曲线在第一象限的交点为 P， PF1F2是以 PF1为底边的等腰三角形 ， 若 | |PF1 10， 椭圆与双曲3 线的离心率分别为 e1， e2， 则 e1e2 1 的取值范围是 (B) (A)( )1， (B)? ?43， (C)? ?65， (D)? ?109 ， 【解析】由三角形 PF1F2三边关系可知?2c 2c10102c ， 5243， 因此 e1e2 1 的取值范围是 ?43， ， 故答案选 B. (12)已知函数 f(x)(x R)满足
9、 f( )1 1， 且 f( )x 的导数 f( x)12， 则不等式 f( )x2 12. F( x) f( x)120， 即函数 F(x)在 R 上单调递增 f(x2)0，f（ x） ， x2sin x2 ， 0 x 2，?12x 1， x0)的焦点 F 与椭圆 ： x22 y2 1 的一个焦点重合 ， 点 M(x0，2)在抛物线上 ， 过焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A， B 两点 () 求抛物线 C 的方程以及 |MF|的值； () 记抛物线 C 的准线与 x 轴交于点 H， 试问是否 存在常数 R， 使得 AF FB 且 |HA|2 |HB|2 854 都成立？若存在 ， 求出实
10、数 的值； 若不存在 ， 请说明理由 【解析】 () 依题意 ， 椭圆 ： x22 y2 1 中 ， a2 2， b2 1， 故 c2 a2 b2 1， 故 F( )1， 0 ，故 p2 1， 则 2p 4， 故抛物线 C 的方程为 y2 4x， 将 M( )x0， 2 代入 y2 4x， 解得 x0 1， 故 | |MF 1 p2 2.4 分 ()( 法一 )依题意 ， F( )1， 0 ， 设 l： x ty 1， 设 A( )x1， y1 ， B( )x2， y2 ， 联立方程?y2 4xx ty 1， 消去 x， 得 y2 4ty 4 0.?y1 y2 4ty1y2 4 且?x1 ty
11、1 1x2 ty2 1， 又 AF FB 则 ( )1 x1， y1 ( )x2 1， y2 ， 即 y1 y 2， 代入 得 ?( )1 y2 4t y22 4， 6 分 7 消去 y2得 4t2 1 2， 且 H( ) 1， 0 ， 8 分 则 |HA|2 |HB|2 ( )x1 12 y21 ( )x2 12 y22 x21 x22 2( )x1 x2 2 y21 y22( )ty1 12 ( )ty2 12 2( )ty1 ty2 2 2 y21 y22 ( )t2 1 ( )y21 y22 4t( )y1 y2 8( )t2 1 ( )16t2 8 4t4 t 8 16t4 40t2
12、 16.由 16t4 40t2 16 854 ， 10 分 解得 t2 18或 t2 218(舍 )， 故 2 或 12.12 分 (法二 )若设直线斜率为 k， 讨论 k 存在与不存在 ， 酌情给分 (21)(本小题满分 12 分 ) 已知函数 f(x) 12ax2 (a2 b)x aln x(a， b R) () 当 b 1 时 ， 求函数 f(x)的单调区间； () 当 a 1， b 0 时 ， 证明： f(x) ex 12x2 x 1(其中 e 为自然对数的底数 ) 【解析】 () 当 b 1 时 ， f(x) 12ax2 (1 a2)x aln x， f (x) ax (1 a2)
13、ax （ ax 1）（ x a）x .1 分 讨论： 1 当 a0 时 ， x a0， 1x0， ax 10 时 ， 令 f( x) 0?x 1a或 a， 当 1a a(a0)， 即 a 1 时 ， 此时 f( x) （ x 1）2x 0(x0)， 此时函数 f(x)单调递增区间为 (0， ) ， 无单调递减区间； 3 分 当 01 时 ， 此时在 ? ?0， 1a 和 (a， ) 上函数 f( x)0， 在 ? ?1a， a 上函数 f( x) 12x2 x 1， 只需证明： ex ln x 10， 设 g(x) ex ln x 1(x0)， 问题转化为证明 ? x0， g(x)0. 令 g
14、( x) ex 1x， g (x) ex 1x20， g (x) ex 1x为 (0， ) 上的增函数 ， 且 g ? ?12 e 20， 8分 8 存在惟一的 x0 ? ?12， 1 ， 使得 g( x0) 0， ex0 1x0， g(x)在 (0， x0)上递减 ， 在 (x0， ) 上递增 .10 分 g(x)min g(x0) ex0 ln x0 1 1x0 x0 12 1 1， g(x)min0 不等式得证 .12 分 (法二 )先证： x 1 ln x(x0) 令 h(x) x 1 ln x(x0)， h (x) 1 1x x 1x 0?x 1， h(x)在 (0， 1)上单调递减
15、 ， 在 (1， ) 上单调递增 h(x)min h(1) 0， h(x) h(1)?x 1 ln x 8 分 1 ln x 1 x 1 x?ln(1 x) x， eln(1 x) ex， 10 分 ex x 1x1 ln x， ex1 ln x， 故 ex ln x 10， 证毕 .12 分 请考生在第 (22) (23)两题中任选一题作答 ， 如果多做 ， 则按所做的第一题计分。做答时请写清题号。 (22)(本小题满分 10 分 )选修 4 4：极坐标与参数方程 已知在平面直角坐标系 xOy 中 ， O 为坐标原点 ， 曲线 C： ?x 3cos sin ，y 3sin cos ( 为参数
16、 )， 在以平面直角坐标系的原 点为极点， x 轴的正半轴为极轴 ， 取相同单位长度的极坐标系 ， 直线 l： sin? ? 6 1. () 求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； () 曲线 C 上恰好存在三个不同的点到直线 l 的距离相等 ， 分别求出这三个点的极坐标 【解析】 () 曲线 ?x 3cos sin ，y 3sin cos ， 可得： ?x2 3cos2 2 3sin cos sin2 ，y2 3sin2 2 3sin cos cos2 ，曲线 C 的普通方程： x2 y2 4.3 分 直线 l： sin? ? 6 1 32 sin 12 cos ， 直线 l 的直角坐标方程： x 3y 2 0.5 分 () 圆 C 的圆心 (0， 0)半径为 2， 圆心 C 到直线的距离为
