1、 1 2018届高三第二次阶段考试 数学（理）试卷 一、 选择题（共 12小题，每小题 5分，共 60分，每题只有一个选项正确） 1. ),(,2 Rbaibi ia ? ，其中 i 为虚数单位，则 ?ba （ ） A. -1 B. -2 C. 1 D.2 2.设集合 ? ? ? ,2),(,),( 2 xyyxNxyyxM ? 则集合 NM? 的子集个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D.8 3已知 53cos25? ?，则 cos2? （ ） A 725? B 725 C 35? D 35 4 下列函数中，图象的一部分如右图所示的是 ( ) A sin6yx?B cos 26yx?
2、C cos 43yx?D sin 26yx?5.将函数 )2sin( ? xy 的图像沿着 x 轴向左平移 8? 个单位长度后，得到一个偶函数，则 ?的一个可能取值为（ ） A. 8? B. 8? C. 4? D. 4? 6. 执行右面的程序框图，若 8.0?p ，则输出的 n =( ) A 2 B 3 C 4 D 5 7. 设 ? ?dxxxm ? 112 sin3 ，则多项式 61 ? ? xmx 展开式的常数项是（ ） A. 45 B. 45? C. 1615 D. 1615? 8. 下列命题中，真命题的个数为（ ） （ 1） a ? b 0? 是 a ， b 为锐角的充要条件； （ 2
3、）已知 )1,2(),4,3( ? CDAB ，则 AB 在 CD 上的投影为 2? ； 2 （ 3）向量 a ， b 满足 baba ? ，则 a ， b 的夹角为 030 ； （ 4）若 )( ACAB? ? 0)( ? ACAB ，则 ABC? 为等腰三角形。 A 1 B 2 C 3 D 4 9 已知数列 ?na 为等差数列，满足 3 2013OA a OB a OC?，其中 ,ABC 在一条直线上， O为直线 AB 外一点，记数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，则 2015S 的值为（ ） A 20152 B 2015 C 2016 D 2013 10若 ,xy满足 3010xyx
4、yxk? ? ? ? ?，且 2z x y?的最大值为 6，则 k 的值为（ ） A -1 B 1 C -7 D 7 11 若将函数 )0)(2c o s (3)2s in ()( ? ? xxxf 的图象向左平移 4? 个单位长度，平移后的图象关于点 )0,2(? 对称，则函数 )cos()( ? xxg 在 6,2 ? 上的最小值（ ） A 21? B 23? C 22 D 2112. 已知函数? ? ? 0,ln 0,1)( xx xkxxf，则下列关于 ? ? 1y f f x?的零点个数的判 断正确的是（ ） A. 当 k0时，有 3个零点；当 k0时，有 4个零点；当 k0时，有
5、1个零点 C. 无论 k为何值，均有 2个零点 D. 无论 k为何值，均有 4个零点 二 、 填空题（包括 4小题，每小题 5分，共 20分，请将答案写在答题纸上） 13. 已知函数 )1,0(,1l o g )3( ? ? aay xa 且的 图 像 恒 过 定 点 A, 若点 A 在 直 线01?nymx 上，其 中 0?mn ，则 nm 21? 的最小值为 3 14.已知三棱锥 BCDA? 中， AB AC AD、 、 两两垂直，且 1, 2, 3A B A C A D? ? ?，则此三棱锥的外接球的表面积为 _ 15. 平面上三个向量 OA 、 OB 、 OC ，满足 | | 1OA?
6、 ， | | 3OB? ， | | 1OC? ，0OA OB?，则 CACB? 的最大值是 _ 16 在某海滨城市附近海面上有一台风，据监测，当前台风中心位于城市 O （如图）的东偏南 ? 方向 300km 的海面 P 处，并以 20 /kmh 的速度向西偏北 45 方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为 60km ，并且以 10 /kmh的速度不断增大， 问该城市受台风侵袭的时间共 小时 . ? ? 4c o s 4 5 5?其 中 ： 三、解答题（包括 6个题， 17-21题 12分，选做题 10分 ,请写出必要的解答过程） 17.（本小题满分 12分） 在ABC?中，内角,ABC
7、的对边分别为abc已知cos 2 cos 2cosA C c aBb? （ I）求sinsinCA的值； （ II）若1cos 4B?，2b?，求ABC?的面积S。 18 （本小题满分 12分） 已知向量 3(sin , )4ax? ， (cos , 1)bx? (1)当 /ab时，求 2cos sin2xx? 的值； (2)设函数 ( ) 2( )f x a b b? ? ?，已知在 ABC? 中，内角 A B C、 、 的对边分别为 a b c、 、 ， 若 3a? ， 2b? ， 6sin 3B? ，求 ( ) 4 cos(2 )6f x A ?（ 0, 3x ? ）的取值范围 . 4
8、19.（本小题满分 12分） 等比数列 an 的前 n 项 和为 nS ，已知 2S2a n1n ? ( ?Nn ) （ 1）求数列 an 的通项公式； （ 2）在 na 与 1na? 之间插入 n 个数，使这 2n? 个数组成一个公差为 nd 的等差数列 求证：1615d1d1d1 n21 ?( ?Nn ). 20（本小题满分 12分） 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为 2元（不足 1小时的部分按 1 小时计算）。有甲乙两人独立来该租车点则车骑游。各租一车一次。设甲、乙不超过两小时还车的
9、概率分别为 11,42；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为 11,24；两人租车时间都不会超过四小时。 （）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率； （）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量 ? ，求 ? 的分布列与数学期望 E? ； 21 （本小题满分 12分） 已知函数 () xaefx xb? ? ，在 1x? 处的切线方程为 ( 1)4eyx?. 5 （） 求 ,ab的值 （） 当 0x? 且 1x? 时，求证： 1() lnxfx x? . 请考生在第 22 23 题中选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22 (本小题满分 10分 )选修 4 4：坐标系与参数方程。
10、已知曲线 C 的极坐标方程是 48 c o s 4 sin 0? ? ? ? ? ?， 以极点为平面直角坐标 系的原点，极轴 x 轴为正半轴，建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系 xOy ，直线 l 经过? ?5, 2P ? ,倾斜角 3? .（）写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的参数方程； （）设 l 与曲线 C 相交于 ,AB两点，求 AB 的值 . 23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ? ?f x x a?， （）若 2a? ，不等式 ? ? 1f x c x? ? ?对任意的 xR? 恒成立，求实数 c 的取值范围 ； （）若 ? ? 1fx?
11、的解集为 ? ?2,4 ，且 ? ?2 0 , 0m n a m n? ? ? ?，求 224mn? 的最小值 . 参考 答案 一、 选择题 CCBBD CCBAB DB 二、 填空题 13.8 14. ?14 15.3 16.12 三、 解答题 17. 解：（）由正弦定理，得2 2 si n si nsi nc a C AbB?所以c os 2 c os 2 si n si nc os si nA C C ABB?即( c os 2 c os ) si n ( 2 si n si n ) c osA C B C A B? ? ?, 6 化简得si n( ) 2 si n( )A B B C?
12、 ? ?,即sin 2sinCA?因此sin 2si CA?（ 6分） （）由sin 2nCA?的2ca?由2 2 2 cosb a c ac B? ? ?及1cos , 24Bb?得2 2 2 14 4 4 4a a a? ? ?，解得1a，因此c?又0 B ?所以154B?，因此1 15si n24s ac B（ 12 分） 18. 17 解析：（ 1） 33/ / , c o s s i n 0 , t a n44a b x x x? ? ? ? ? ?-2分 222 2 2c o s 2 s i n c o s 1 2 t a n 8c o s s i n 2 s i n c o s
13、1 t a n 5x x x xxx x x x? ? ? ?-5分 （ 2） ( ) 2 ( ) 2 s in ( 2 )4f x a b b x ? ? ? ? ?+32 -6分 由正弦定理得 2s in , ,s in s in 2 4ab AAAB ? ? ?可 得 所 以或 43?A 因为 ab? ，所以 4?A -8分 ? ? ? ? 62cos4 ?Axf ? 2 sin(2 )4x ? 12? , 0,3x ? 112,4 4 12x ? ? ? ? ? ?,-10分 所以 ? ?21262c o s4123 ? ? ?Axf-12 分 19. 7 20（本小 题满分 12分）
14、 （ 1）所付费用相同即为 0,2,4 元。设付 0元为 1 1 1 14 2 8P ? ? ? ，付 2元为 2 1 1 12 4 8P ? ? ? ，付4元为 3 1 1 14 4 16P ? ? ? 则所付费用相同的概率为 1 2 3 516P P P P? ? ? ? （ 2）设甲，乙两个所付的费用之和为 ? ， ? 可为 0,2,4,6,8 1( 0)81 1 1 1 5( 2)4 4 2 2 161 1 1 1 1 1 5( 4)4 4 2 4 2 4 161 1 1 1 3( 6)4 4 2 4 161 1 1( 8 )4 4 16PPPPP? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
15、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分布列 8 ? 0 2 4 6 8 P 18 516 516 316 116 5 5 9 1 78 4 8 2 2E? ? ? ? ? ? 21.解 :(I) ? ? ? ? ?2 1bx bxaexfx? ?, 1 分 由题意知 ：?214)1(efef所以1?ba 4分 (II)设 ? ? ? ? ,14 2? xeexF x 则 ? ? ? ? ? ? .2,12 eexFxeexF xx ? 当 ? ?2ln1,0 ?x 时， ? ? ,0x?F 故 ?xF? 在 ? ?2ln10 ?， 上为减函数；当? ? ,2ln1x 时， ? ,0x?
16、F 故 ?xF? 在 ? ? ,2ln1 上为增函数 .又? ? 02ln1,021)0( ? FeF ， 0)1( ?F （如图），所以，当 ? ?1,0?x 时， ? ? ? ? ,012 ? xeexF x 故 F（ x）在（ 0， 1）上为减函数；当 ? ? ,1x 时， ? ? ? ? ,012 ? xeexF x 故 F（ x）在 ? ?,1 上为增函数 . 因 此 ， 对 一 切 ? ?,0?x 有 ? ? ? ? 即,01 ? FxF ? ? ? ? ，在 0141 xexe x 都成立 . 8分 设 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,0182181,1 )1(4l
17、n 222 ? ? xex exeexxexxGxe xxxG 则故 ?xG 在 ? ?,0 上为增函数，又 ? ? 所以,01 ?G ， 当 ? ? 即时， ,010 ? xGx ? ? ,0)1( 14ln ? xe xx所以 ? ? ;ln 14 1 xxxe ? 当 ? ? 即时， ,01 ? xGx ? ? ,0)1( 14ln ? xe xx所以 ? ? .ln 14 1 xxxe ? 10分 9 综上可得： ? ? xxxexe x ln 1141 ? ，从而有 .ln 12 xxex ? 12 分 注：其他构造函数证明方法酌情给分。 22.解： （）因为 曲线 C 的极坐标方程是 48 c o s 4 sin 0? ? ? ? ? ?， 即 2 8 c o s 4 s in 4 0? ? ? ? ? ? ? ?， 1分 由 cos , sinxy? ? ? ?可 得， 即 22 8 4 4 0x y x y? ? ? ? ?，即 曲线 C 的直角坐标方程 ? ? ? ?224 2 16xy? ? ? ?. 3分 直线 l 的参数方程为152322xtyt?
