1、 1 2016-2017 学年度第一学期高三数学周考（ 13） 一 、填空题：本大题共 14 题，每小题 5 分，共 70 分 .请把答案填写在 答题纸相应位置上 . 1 全集 ? ?4,3,2,1?U ，集合 ? ?3,1?A ,则 ?ACU _ 2 设复数满足 iiz ?)2( ，则 ?z _ 3 如图是一次青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（期中 m 为数字90? 中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为 21,aa ，则21,aa 的大小关系是 _ （填 211221 , aaaaaa ? ） 4 若长方体相邻三个侧面的面积分别
2、是 6,3,2 ， 则该长方体的体积是 _ 5 则平面直角坐标系 xOy ，设双 曲线 )0,0(12222 ? babyax 的焦距为 )0(2 ?cc ，当 ba, 变化时， cba? 的最大值是 _ 6 右图是一个算法流程图，则输出 k 的值是 _ 7 函数 xxy cos3sin ? 的图像可由函数 xxy cos3sin ? 的图像至少向右平移 _个单位长度得到 8 已知等差数列 ?nC 的首项为 11?C ，若 ? ?32 ?nC 为等比数列，则?2017C _ 9 已知点 ),( yxP 满足? ? ? 20 10 yxx，则点 ),( yyxQ ? 构成的图形的面 积为 _ 1
3、0 以抛物线 281xy? 的焦点为圆心，且与双曲线 1322 ?yx 的渐近 线相切的圆的方程是 11 已知 3)tan(,2)tan( ? ? ，则?2cos2sin的值为 _ 12 已知圆 C: 222 ?yx ，直线 02?byx 与圆 C 相交于 A， B 两点，且 OBOAOBOA ? 3 , 则 b 的取值范围为 _ 2 13 已知数列 ?nx 各项为正整数，满足 .12*1 Nnxxxxxnnnnn ? 为奇数为偶数 若 343 ?xx ，则 1x 所有可能取值的集合为 _ 14 设函数 )(xfy? 是定义在 *N 上的增函数，且 xxff 3)( ? ，则 ?)11(f _
4、 二、解答题 : 本大题共 6 小题共 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15 （本题满分 14 分） 在锐角 ABC? 中，角 A、 B、 C 所对应的边长分别为 cba, ，向量 ),3,(sin),co s,1( ? BnBm 且 nm? . （ 1）求角 B 的大小 （ 2）若 ABC? 面积为 ,253,2 33 2bac ? 求 ca, 的值 . 16 如图，在四面体 ABCD 中， AD BD? ， 090ABC?，点 ,EF分别为 ,ABAC 上的点，点 G为棱 AD 的中点，且平面 EFG 平面 BCD 求证：（ 1） 2BC EF?
5、 ； （ 2）平面 EFD? 平面 ABC 3 17 图 1 是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图 2 是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形 ABCD 是矩形，弧 CmD 是半圆，凹槽的横截面的周长为 4 若凹槽的强度 T 等于横截面的面积 S 与边 AB 的乘积，设 2AB x? ， BC y? （ 1）写出 y 关于 x 的函数关系式； （ 2）当 x 多大时， 凹槽的强度 有最大值 18 如图，设椭圆 :C 22 1( 0)xy abab? ? ? ?的离心率为 32 ，点 BA ),1,0( 分别为椭圆 C 的上顶点、右顶点 ，过坐标原点 O 的直线交椭圆 C 于 ,DE两
6、点，交 AB 于 M 点，其中点 E 在第一象限 （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2）若 6DM ME? ，求直线 DE 的斜率； （ 3）求四边形 ADBE 面积的最大值 4 19 已知数列 ?na 满足 1 0a? ， 3 1a? ，且 )(32 *121232 Nnaaa nnn ? ? . （ 1）设 2 1 2 1n n nb a a?()n ?N ，求数列 ?nb 的通项公式； （ 2）设数列11nnbb?的前 n 项的和为 nS ，是否存在正整数 ,pq，且 1 pq?，使得 1,pqS S S 成等比数列？若存在，求出 ,pq的值，若不存在，请说明理由 . 20 已知函数
7、 ( ) ln ,f x ax x? ()a?R （ 1）当 1a? 时，求： ()fx的单调区间； 过原点 (0,0)O 的曲线 ()y f x? 的切线方程； （ 2）若函数 ()fx有两个零点 12,xx，且 12xx? ，实数 m 满足 12ln lnx x m?，求实数 m 的最大值 5 15、解 : 3?B ； 2,3 ? ca ， 3,2 ? ba ； 16、证明：（ 1）因为平面 /EFG 平面 BCD ， 平面 ABD 平面 EFG EG? ，平面 ABD 平面 BCD BD? ， 所以 BDEG/ ，? ? 4 分 又 G 为 AD 的中点，故 E 为 AB 的中点，同理可
8、得， F 为 AC 的中点， 所以 2BC EF? ? 7 分 （ 2）因为 AD BD? ，由（ 1）知， E 为 AB 的中点，所以 AB DE? ， 又 90ABC? ? ? ，即 AB BC? ，由（ 1）知， BCEF/ ，所以 AB EF? ， 又 DE EF E? ， DE ， EF? 平面 EFD ，所以 AB? 平面 EFD ， 又 AB? 平面 ABC ，故平面 EFD? 平面 ABC ? 14 分 17.（本小题满分 14 分） 【解】（）易知半圆 CmD 的半径为 x ，故半圆 CmD 的弧长为 x? 所以 4 2 2x y x? ? ? ，得 ? ?422 xy ?
9、? 2 分 依题意知： 0 xy? ，得 40 4x ? ，所以， ? ?422 xy ? （ 40 4x ? ） ? 6 分 （）依题意，设凹槽的强度为 T ，横截面的面积为 S ，则有 2122 2T A B S x xy x? ? ? ?238 4 3xx? ? ? ? ? 21 6 3 4 3 0T x x? ? ? ? ?， 0x? ， 169 12? ? ? 9 分 因为 16 40 9 12 4?， 所以，当 160 9 12x ? ? 时， 0T? ，当 16 49 12 4x?时， 0T? ， 所以当 169 12x ? ? ，凹槽的强度最大? 13 分 答：所以当 169
10、12x ? ? ，凹槽的强度最大? 14 分 18.解（ 1） 点 ? ?0,1A ?椭圆 C 的方程为 2 2 14x y? 6 设 ? ?11,E x y ， ? ?00,M x y ，则 ? ?11,D x y? ， （ 2） 6DM ME? 6DM ME? ? 6 分 ? ?01106xxDMM E x x? ，即 0175xx? 由 22 14y kxx y? ?，解得1 2414x k? ?；由12y kxx y? ?，解得0 221x k? ? 8 分 224752 1 1 4kk?，即 224 25 6 0kk? ? ? 23k?或 38k? ? 10 分 点 E 到直线 AB
11、 的距离 111 225xyd ?，点 D 到直线 AB 的距离 112 225xyd ? ? 1 1 1 112 2 2 2 211 522 55A D B E x y x yS A B d d ? ? ? ? ? ? ? ? ? 12 分 ? ?1 1 1 1 1 11 2 2 2 2 22 x y x y x y? ? ? ? ? ? ? ? ? 14 分 ? ?2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 14 4 4 4 8 2 2x y x y x y x y? ? ? ? ? ? ? ? ? 当且仅当 112xy? 时取等号所以四边形 ADBE 面积的最大值为 22 ? 16
12、 分 19.解（ 1） 2 3 2 1 2 123n n na a a? ? ? ? ?， ? ? ? ? ? ?2 1 2 12 1 1 2 1 1 3nnnna a a a? ? ? ? ? ? ?即 1 3nnbb? ?，所以数列 ?nb 是以 3 为公差的等差数列 1 3 1 1b a a? ? ? ， ? ?1 1 3 3 2nb n n? ? ? ? ? ? ? ? 4 分 （ 2） 因为 ? ? ? ?11 1 1 1 13 2 3 1 3 3 2 3 1nnb b n n n n? ? ? ? ? ? 所以 1 1 1 1 1 1 1 1113 4 4 7 3 2 3 1 3
13、3 1 3 1n nS n n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 10 分 则1 14S?，31p pS p? ?，31q qS q? ?因为 1S ， pS ， qS 成等比数列， 2 13 1 4 3 1pq?，即26 1 3 4pq? 7 所以 1 pq?， 3 4 433qqq? ? ? ?2613pp?解得 3 2 3 3 2 333p? ? 14 分 又 1p? ，且 *p?N ， 2p?，则 16q? 所以存 在正整数 2p? ， 16q? ，使得 1S ， pS ，
14、qS 成等比数列? 16 分 20. 解（ 1）当 1?a 时， xxxf ln)( ? ， xxxf ? 1)( ， ? ?fx? 的单调增区间为 ),0( ? ； ? 2 分 （ 2）切点为（ 000 ln, xxx ? ），所以0000 11ln xx xx ? ， ex?0 ， 切线方程为 xey )11( ? ? 6 分 有条件知 1122lnlnax xax x? ?，将两式分别相加，相减得 ? ?1 2 1 2ln lnx x a x x? ? ?， ? ?1 2 1 2ln lnx x a x x? ? ?， 设 ? ?12 0,1x tx ? ? ?11 2 2 11 2 1
15、 211 2 22lnl n l nl n l n 11xx x x xx x x xxx x xx? ? ? ? ? ? ? 由题意得 ? ?ln 11tt mt ? ? 对于任意 ? ?0,1t? 成立 整理即得 1ln 01ttmt? 在 ? ?0,1t? 成立 令 ? ? 1ln 1tg t t m t ? ?， ? ?0,1t? ? ? ? ? ? ? ?2222 2 112 11t m tmgt t t t t? ? ? ? ? ? 当 2m? 时， ? ? ? ? ? ?221 22 42011tm mtgt tt? ? ? ? ? ? ? 12 分 8 ?gt 在 ? ?0,1 上单调递增，则 ? ? ? ?10g t g?，满足条件 当 2m? 时， 令 ? 0gt? ? ， ? ?2 21 22 2 4 8 11 2 0 , 12 12m m mt m m m m m m? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?22 1 2 1t m m m? ? ? ? ?（舍） 当 ? ?1,1tt? 时， ? 0gt? ? ， ?gt 在 ? ?1,1t 上单调递减 ? ? ? ?10g t g? ? ?与条件矛盾 综上， max 2m ? ? ? 16 分
